新民市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新民市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣
）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移
个长度单位 D ．向右平移
个长度单位
2． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的
面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
3． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
4． 如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 在
中，角
、
、
所对应的边分别为、、，若角
、
、
依次成等差数列，且
，
,则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
6． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．
7． 已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2-
8． 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值
范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞ 9．
在二项式
的展开式中，含x 4
的项的系数是（ ）
A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
10．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
11．设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n
，则=（ ）
A ．2
B ．4
C
．
D
．
12．如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A
． B
． C
． D
．
二、填空题
13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．
14．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1
sin 3
BAM ∠=
，则AC 的长为_________. 15．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
16．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2
f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，
对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222
b a
c +的最大值为__________．
17．椭圆的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．
18．以抛物线y 2
=20x 的焦点为圆心，且与双曲线：
的两条渐近线都相切的圆的方程为 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ
为参数，],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïî
a
a （t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的极坐标； （II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
20．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通过的概率分别为
23，34，4
5
，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为X ，求X 的分布列和数学期望。

21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
22．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．
23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
新民市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，
∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2
C，
∴sinC=2sin2
C，且sinC＞0，
∴sinC=，
∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC的面积的最大值S
△ABC=absinC≤=4，
∴a=b=4，
则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
3．【答案】B
【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；
B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D中选项也可能相交．
故选：B．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
4． 【答案】D
【解析】解：设过点M （﹣2，0）的直线l 的方程为y=k （x+2），
联立
，得（2k 2+1）x 2+8k 2x+8k 2
﹣2=0，
∵过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆
有公共点，
∴△=64k 4﹣4（2k 2+1）（8k 2
﹣2）≥0，
整理，得k 2
，
解得﹣
≤k ≤
．
∴直线l 的斜率k 的取值范围是[﹣，
]．
故选：D ．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．
5． 【答案】C
【解析】 因为角
、
、
依次成等差数列，所以
由余弦定理知，即
，解得
所以， 故选C
答案：C
6． 【答案】C
【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则
sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=，
又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 8． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12
a ≤时，12a -≥-
，z ax y =+在点1,0A （）
取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121
a a ⎧
≤
⎪⎨⎪<⎩或
12
1113
3a a ⎧
>⎪⎪⎨
⎪+<⎪
，∴2a <，选A ． 9． 【答案】B 【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4， ∴r=2， 则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2
=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
10．【答案】C
【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系， 设AA 1=2AB=2AD=2，
A 1（1，0，2），C 1（0，1，2），=（﹣1，1，0），
B （1，1，0），G （0，1，1），
=（﹣1，0，1），
设直线A1C1与BG所成角为θ，
cosθ===，
∴θ=60°．
故选：C．
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．
11．【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴；
故选：C．
12．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】
【解析】
约束条件表示的区域如图，
当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，z min＝2＋b，∴2＋b ＝3，∴b＝1.
答案：1
14．
【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）. 15．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73
.
考点：线性规划． 16．
【答案】2
【解析】试题分析：根据题意易得：()'2f x ax b =+，由()()'f x f x ≥得：()2
20ax b a x c b +-+-≥在R
上恒成立，等价于：0{ 0a >≤，可解得：()22444b ac a a c a ≤-=-，则：22
2222241441c b ac a a
a c a c c a ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
令1,(0)c t t a =->
，24422222t y t t t t
==≤=++++，故22
2
b a
c +
的最大值为2． 考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 17．【答案】 20 ．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ． ∴△PQF 2的周长=20．， 故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
18．【答案】 （x ﹣5）2+y 2=9 ．
【解析】解：抛物线y 2
=20x 的焦点坐标为（5，0），双曲线：
的两条渐近线方程为3x ±4y=0
由题意，r
=3，则所求方程为（x ﹣5）2+y 2=9
故答案为：（x ﹣5）2+y 2
=9．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D 点坐标为)q q ，由已知得C 是以(0,0)O 因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线OD 与直线+2=0x y +的斜率相同，34
π
θ=，故D 点的直角坐标
为(1,1)-，极坐标为3)4
p ． （Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，则2
AB
k ==-故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--.
20．【答案】（1）2
5
（2）X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=--
解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ，则P （A ）＝23423455
⨯⨯= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
2
5
-------------4分 （2）X 的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
21(0)133P X ==-
=，231(1000)(1)346P X ==⨯-=，2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-= 2342
(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分
所以，X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------12分 21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．
假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
11()bx f x b x x
-'=-
=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e
==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <
<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫
==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分
③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分
综上，存在实数2
e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()
f x 最小值是3．……………………………12分
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，
∴所求概率为22
44225516
125
C C P C C =-⋅=（6分）
（Ⅱ）0,1,2,ξ= 23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，2
2251
(2)10
C P C ξ===
，（9分） 故
的分布列为：
（10分）
∴3314
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯= （12分） 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，
∴
，解得a 2=4，b 2
=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），
∴=||=15×||=180×||，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y==在[1，）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
24．【答案】
【解析】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴，，．
设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．
则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．
===．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，
∴=，=（0，3，﹣4），
∵，∴，
∴，解得t=．
∴．
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．。