重庆外国语实验学校2022届高三上学期入学考数学卷及答案

= t2 . OAOB =
x1x2
+
y1 y2
= t2
− 4t
= 12
解得 t = 6 或 t = −2 （舍去）直线l 方程为 x = my + 6 ，直线过定点 Q (6, 0) .
20. 解：（1）记“从 10 所学校中选出的 3 所学校参与“自由式滑雪”都超过 40 人”的事件为
A；
参与“自由式滑雪”的人数超过
9．设 m 、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则以下结论正确的是
（）
A．若 / / ， m ，则 m / /
B．若 m ， n ， m / / ， n / / ，则 / /
C．若 m / / ， m / / ， = n ，则 m // n
D．若 m / / ， m ⊥ ，则 ⊥
B．对 x R ， f ( x) ex 恒成立
C．若 a b e ， ag (b) bg (a)
D．若不等式 f (ax) − ax x − g ( x) 对 x 1恒成立，则正实数 a 的最小值为 1
e
三、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．函数 y = 16 − x2 的值域是___________.
=
cos
x
+
2 cos
x
的最小值为
2
2
11．如图， P 为椭圆 C1 ： x2 + y2 = 1上的动点，过 P 作 C1 切线交圆 C2 ： 86
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x2 + y2 = 24 于 M ， N ，过 M ， N 作 C2 切线交于 Q ，则（ ） A． S OPQ 的最大值为 3
高 2022 级高三入学考试试题
数学试题
(时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z (1− i) = 2i ，则 z = （ ）
A．1
数列an的通项公式为 an = 2n ．
（2）240 18. （1）在 ABC 中，由余弦定理及 a = 4,b = 5, c = 21 ，有
cosC = a2 + b2 − c2 = 1 ，又因为 C (0, ) ，所以 C = .
2ab
2
3
（2）由 a b 及 sinA = 2 7 ，可得 cosA = 1− sin2 A = 21 ，
21．如图，在 Rt SOA 中， OSA = ，斜边 SA = 4 ，半圆 H 的圆心 H 在边 OS 上，且 6
与 SA 相切，现将 Rt SOA 绕 SO 旋转一周得到一个几何体，点 B 为圆锥底面圆周上一
点，且 AOB = 90 ．
（1）求球 H 的半径； （2）求点 O 到平面 SAB 的距离； （3）设 Р 是圆锥的侧面与球的交线上一点，求 PO 与平面 SAB 所成角正弦值的范围．
f
(x) 满足
f
(x + 2)
关于直线
x = −2 对 称 ， 且
f
(x + 2) =
f
1
(x)
，当
2
x
3 时，
f
(x)
=
log2
x
+
11 2
，则
f
219 2
的值为（
）
A． 2
B．3
C．4
D．6
二、多项选择题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，有多个是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）
D．“ m 0 ”是“关于 x 的方程 x2 − 2x + m = 0 有一正一负根”的充要条件.
6.已知函数 f ( x) 的定义域为−2，4 ，则 f (2x +1) 的定义域为（ ）
A． −3，9
B． -2，9
C．
-
3 2
，3 2
D．
-
1 2
，3 2
7．如图，O
是坐标原点，P
是双曲线 E :
BA = x Z | x2 − 4x − 5 0 ，集合 B = x || x | 2 ，则 A B 的子集个数
为（ ）
A．4
B．5
C．7
D．15
( ) 3.已知
0,
2
，若
sin
= 4 ，则 cos 5
−
6
=（
）
A． 4 − 3 3
10
B． 3 3 − 4 10
项．
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（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若 bn =| (log2 a2n ) − 9 | ，求 bn 的前 20 项和．
18.在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c. 已知 a = 4,b = 5,c = 21 .
（1）求角 C 的大小；
（2）求
7
7
sin2A = 2sinAcosA = 2 2 7 21 = 4 3 ， 77 7
cos2A = 1− 2sin2 A = 1− 2 2 7 2 7 = − 1 ， 77 7
所以
sin
2
A
−
4
=
sin2
Acos
4
−
cos2
Asin
4
=
4 3 7
2 2
−
−
1 7
2 2
=4
6+ 14
C41 C62 C130
=
1 2
， P(X
= 2)
=
C42 C61 C130
=3 10
，
P( X
= 3) =
C43 C60 C130
=
1 30
．
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
1
3
1
6
2
10
30
所以 E(X ) = 0 1 + 1 1 + 2 3 + 3 1 = 6 ． 6 2 10 30 5
B． S OPQ 的最大值为 2 3 3
C． Q 的轨迹是 x2 + y2 = 1 36 48
D． Q 的轨迹是 x2 + y2 = 1 72 96
（第 11 题图）
12.关于函数 f ( x) = ex ， g ( x) = ln x 下列说法正确的是（ ）
A．对 x 0 ， g ( x) x −1恒成立
（1）在这 10 所学校中随机选取 3 所来调查研究，求这 3 所学校参与“自由式滑雪”都
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超过 40 人的概率； （2）“单板滑雪”参与人数超过 45 人的学校可以作为"基地学校"，现在从这 10 所学校 中随机选出 3 所，记 X 为选出可作“基地学校”的学校个数，求 X 的分布列和数学期 望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，対“基础站姿、滑行、转弯、停止”这 4 个动作技 巧进行集训．规定：这 4 个动作中至少有 3 个动作达到“优秀"，则总考核记为"优秀 "．在集训前，小李同学 4 个动作中每个动作达到“优秀”的概率为 0.2，在集训后的考 核中，小李同学总考核成绩为“优秀”．能否认为小李同学在集训后总考核达到“优秀” 的概率发生了变化？并说明理由．
sin
2
A
−
4
的值.
19．如图，已知抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上一点 M (2, m) 到焦点 F 的距离为 3 ，直线 l 与
抛物线交于 A( x1, y1), B( x2, y2 ) 两点，且 y1 0, y2 0,OAOB = 12 ( O 为坐标原点).
（1）求抛物线的方程; （2）求证直线 l 过定点;
A．45 钱
B．54 钱
5．下列说法中错误的是（ ）
C．53 钱
D．63 钱
A. 命题 P： x, y (0,1) ， x + y 2 ，则 p ： x0 , y0 (0,1) ， x0 + y0 2 . B．“ a 1， b 1”是“ ab 1”成立的充分不必要条件.
C．“ x y ”是“ x y ”的必要条件.
2
19. （1）由题意可得 2 + p = 3, p = 2 2
抛物线方程为 y2 = 4x
（2）设直线 l 方程为 x = my + t ， (t 0) ，
代入抛物线方程 y2 = 4x 中，消去 x 得， y2 − 4my − 4t = 0
y1 y2
=
-
4t ， x1x2
=
1 16
(
y1
y2
)2
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2022 级高三入学考试数学试题 （参考答案）
一 单选题 1-8 BADBCCBB
二 多选题 9 ACD 10 BC 11 AD 12 ABD
三 填空题 13 0，4 14 101 15.540 16.2
四 解答题
17.（1）设等比数列an的首项为 a1 ，公比为 q ．
C． 4 3 − 3 10
D． 4 + 3 3 10
4.中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计
数”，如图，一位古人在从右到左依次排列的红绳子上打结，满三进一，用来记录每年
进的钱数，由图可得，这位古人一年的收入的钱数为（ ）
5．下列说法错误的是（ ）
A．命题 P： x, y (0,1) ， x + y 2 ，
ex (x 0)
__________个． 四、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.其中第 17 题 10 分，其余每个题都是 12 分. 应有必要的文字说明、推理过程或运算步骤）
17．已知单调递增的等比数列an满足： a2 + a3 + a4 = 28 ，且 a3 + 2 是 a2 ， a4 的等差中
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 右支上的一点，F
是
E
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的右焦点，延长 PO，PF 分别交 E 于 Q，R 两点，已知 QF⊥FR，且| QF |= 2 | FR | ， 则 E 的离心率为（ ）
A． 17 4
B． 17 3
C． 21
4
D． 21
3
8. 已 知 函 数
20.2022 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克 运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的 到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑 雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了 10 所学校进行研究，得到 如下数据：
10．下列说法正确的是（ ）
A．对 x, y R ， x2 + y2 3xy ,当且仅当 x = y 时“=”成立.
B．若 x ， y 0 ， x + y = 4 ，则 2x + 2y 无最大值.
C．若 x 1 函数 y = 2x + 1 最大值为 −1．
2
2x −1
D．若
x
0,
2
，
y
14.已知 a = (−1, 2) ， b = (1, 4) ，则| a + 2b | 等于__________.
15.在建党 100 周年来领之际，我们国家的脱贫攻坚取得了重大胜利，某县为了巩固脱 贫攻坚的胜利成果，选派 6 名工作区人员去 A,B,C 三个村去，每个村至少 1 人，则不 同的人员分配方式有__________种。
22.已知函数 f ( x) = ax ln x ， a R .
（1）当 a
= 1时，直线 l 与
y
=
f
2
( x) 相切于点 e3 ,
f
2 e3
，求
f
( x) 的极值，并写出直线
l 的方程；
（2）若函数 g ( x) = f ( x) + x2 有且只有两个不同的零点 x1 ， x2 ，求证： x1x2 e2 .
16．若直角坐标系内 A,B 两点满足：（1）点 A,B 都在 f (x) 的图像上；（2）点 A,B 关
于原点对称，则称点对 (A, B) 是函数 f (x) 的一个“姊妹点对”，点对 (A, B) 与 (B, A) 可看
x2 + 2x(x 0)
作一个“姊妹点对”.已知函数
f
(x)
=
2
，则 f (x) 的“姊妹点对”有
依题意，有 2(a3 + 2) = a2 + a4 ，代入 a2 + a3 + a4 = 28 ，可得 a3 = 8 ，
a2 + a4 = 20 ，
a1q a1q
2 = 8, + a1q
3
=
解之得 20,
q = 2, a1 = 2
或
q= a1 =
1, 2 32.
又数列an单调递增，所以 q = 2 ， a1 = 2 ，
（3）答案不唯一．
答案示例 1：可以认为小李同学在集训后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：
集训前，小李同学总考核为“优”的概率为： C43 0.22 0.8 + C44 0.24 = 0.0272 ．
集训前，小李同学总考核为“优”的概率非常小，一且发生，就有理由认为集训后总考核达
40
人的学校共
4
所，随机选择
3
所学校共C
3 4
=
4 种，
所以 P( A)
=
C43 C130
=
4 10 98
=
1 30 ．
3 21
（2）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，参加“单板滑雪”人数在 45 人以上的学校共 4 所．
所以 P(X
= 0)
=
C40 C63 C130
=
1 6
， P(X
= 1) =