误差分析习题解答

“误差分析和数据处理”习题及解答
1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？ （1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。

答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。

2．将下列数据舍入到小数点后3位：
3.14159； 2.71729；
4.510150； 3.21650；
5.6235； 7.691499。

答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。

3．下述说法正确否？为什么？
（1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即
()1
2
m m m =
+左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。

答：（1）错。

等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。

被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即
2
r 1
l m m l =
当l 1 = l 2时，m = m r 。

当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。

为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即
1
l 2
l m m l =
将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得
m =
这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。

（2）错。

有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。

4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。

试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。

解：平均质量 3.69130
0.738265i
i
m
m n
=
=
=∑ 平均误差 ||
0.00012
0.0000245
i
i
m m d n
-=±
=±
=±∑ 标准误差
0.000032σ===±
5．测定某样品的重量和体积的平均结果W = 10.287 g ，V = 2.319 mL ，它们的标准误差分别为0.008 g 和0.006 mL ，求此样品的密度。

解：密度
-110.287 4.436 g mL 2.319
W V ρ=
==⋅ 间接测量结果（乘除运算）的相对标准误差：
0.00270.0027 4.4360.012
ρρσρσ====±=±⨯=± 测量结果表示为：ρ = (4.436 ± 0.012) g ·mL -1
6．在629 K 测定HI 的解离度α时得到下列数据：
0.1914， 0.1953， 01968， 0.1956， 0.1937， 0.1949， 0.1948， 0.1954， 0.1947， 0.1938。

解离度α与平衡常数K 的关系为：
2HI == H 2 + I 2
()2
21K αα⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
试求在629 K 时的平衡常数及其标准误差。

解：略去可疑值0.1914后，α的平均值 α= 0.1950，平均误差 d = ±0.00069，标准误差 σα = ±0.0009 （因 |0.1914−α| > 4|d |，故可疑值0.1914可以舍弃）。

()()()()22
33
0.19500.01467
21210.19500.1950
0.00090.0001721210.19500.014670.00017
K K K K ααααασσσαα⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦∂=±⋅=±⋅=±⨯=±∂--=±
7．物质的摩尔折射度R ，可按下式计算：
2212n M R n d
-=⋅+
已知苯的摩尔质量M = 78.08 g ·mol -1，密度d = 0.879±0.001 g ·cm -3，折光率n = 1.498±0.002，试求苯的摩尔折射度及其标准误差。

解：222
2
1 1.498178.08
26.042 1.49820.879
n M R n d --=⋅=⨯=++
0.09
2R R σ=====±= 6.040.09
±
8．乙胺在不同温度下的蒸气压如下：
试绘出p —t 及lg p —T
关系曲线，并求出乙胺的蒸气压与温度的关系式。

解：作图如下：
从上图所作直线上任意取两个端点，如（3.400, 2.950）、（4.000, 2.060），得直线方程为：
1000
lg 1.4837.992p T
=-⨯
+（和电脑作图所得方程 1000lg 1.48117.9865p T =-⨯
+ 一致）。

9．计算下列某物理量重复测定值的平均值及平均偏差。

（1） 20.20； 20.24； 20.25
（2） ρ(g ·cm -3) 0.8786； 0.8787； 0.8782
（3） 当ρ的准确值为0.8790 g ·cm -3时，求上述ρ的绝对误差和相对误差。

解：（1） 20.2020.2420.25
20.233
i
i
a
a n
++=
=
=∑
||
|20.2020.23||20.2420.23||20.2520.23|
0.023
i
i
a a d n
--+-+-=±
=±
=±∑
（2） 0.87860.87870.8782
0.87853
i
i
n
ρ
ρ++=
=
=∑
||
|0.87860.8785||0.87870.8785||0.87820.8785|
0.0002
3
i
i
d n
ρ
ρ--+-+-=±
=±
=±∑（3） 绝对误差为：0.8785 − 0.8790 = −0.0005 (g ·cm -3) 相对误差为：
0.0005
0.00060.8790
-=-
10．在不同温度下测得偶氮异丙烷分解速率常数，其分解反应式和数据结果如下：
C H NNC H == C H + N
（1）试用直线化法作图验证k 与T 间的关系，可用下列指数函数式表示：E RT
k Ae -
=
（2）求出A 、E 值，并写出完整的方程式。

解：（1）将方程改写为 ln ln E k A RT =-
+，作ln k —1
T
图如下：
所得图形为一直线，得证。

（2）由图可得，斜率 20600E
R
-
=-，截距 ln A = 31.710 故 E = 1.713×105 J ·mol -1，A = 5.91×1013
k 与T 间的方程式为： 5
1.7131013
5.9110RT
k e
⨯-
=⨯
11．某次用光电比色法测得光透过Cu(NH )2+水溶液时的结果如下：
若lg 试用最小二乘法求出上式中a 和b 的值。

解：最小二乘法的根据是在有限次测量中最佳结果应使标准误差最小，也即使残差的平方和为最小，即：()2
21
1
lg n
n
i i i i i a bc R δ==∆==--=∑∑最小
使 Δ 为最小的必要条件为：()1
2lg 0n i i i a bc R a =∂∆=--=∂∑
()1
2lg 0n
i i i i c a bc R b =∂∆
=---=∂∑ 由此即可求得a 和b 。

为此，先列出各个残差如下：
得方程：8a 140a − 3500×b − 212.87 = 0
解得： a = 1.718
b = 0.00788
附电脑作图所得直线及其方程：
12．在不同温度下测得氨基甲酸铵的分解反应
NH 2COONH 4(s ) == 2NH 3(g ) + CO 2(g )
的数据如下：
试用最小二乘法求出方程 1lg p K f T ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，由此求平均等压反应热效应ΔH 。

解：令 c =1，设 lg K p = a − bc ，列出各个残差如下：
0.019339a − 0.00006238×b + 0.049147 = 0
解得： a = 24.36
b = 8340
比较平衡常数与温度的关系：ln p H
K C RT
∆=-+ 或 'lg 2.3026p H K C RT ∆=-
+ 可得： 83402.3026H
b R
∆==
即 ΔH = 1.5967×105 J ·mol -1
附电脑作图所得直线及其方程：。