江西省赣州市十四县(市)2019-2020学年高二上学期期中联考数学(文)试题Word版含解析

江西省赣州市十四县（市）2019-2020学年高二上学期期中联考
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )
A. B. ab<b2 C. －ab<－a2 D.
2.直线l：x sin30°y cos30°＋1＝0的斜率是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若6a3＋2a4－3a2＝15，则S7＝( )
A. 7
B. 14
C. 21
D. 28
4.已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误
．．的命题是（）
A. 若,,,则
B. 若,,则//
C. 若,,,则
D. 若,,,则
5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. 1
B.
C. 3
D. 4
6.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）
A. 各月的平均最高气温都不高于25度
B. 七月的平均温差比一月的平均温差小
C. 平均最高气温低于20度的月份有5个
D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度
7.垂直于直线且与圆相切的直线的方程（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
8.已知圆,若直线与圆交于两点,则弦长的最小值是( )
A. B. C. D.
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）
A. 10000立方尺
B. 11000立方尺
C. 12000立方尺
D. 13000立方尺
10.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，为线段A1B上的动点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
11.若将函数向左平移个单位，所得的函数图像关于原点对称，则角
的终边可能过以下的哪个点（）
A. B. C. D.
12.已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆C:上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是( )
A. B. (1,5) C. (2,5) D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填写在答题卷上．
13.已知向量，，．若，则________ ．
14.已知，，则__________．
15.在三棱锥中,平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________
16.已知圆和圆只有一条公切线，若且，则
的最小值为______________．
三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知公差不为的等差数列的首项,且成等比数列．
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前项和．
18.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数．
19.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，底面为
的中点，为的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
20.已知函数
（1）求函数的对称中心；
（2）已知在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且的外接圆半径为，求
周长的最大值．
21.如下图，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将
沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
22.已知圆与圆关于直线对称,且点在圆上．
(1)求圆的方程;
（2）设为圆上任意一点, ,,与不共线, 为的平分线,且交于.求证:
与的面积之比为定值．
江西省赣州市十四县（市）2019-2020学年高二上学期期中联考
数学（文）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )
A. B. ab<b2 C. －ab<－a2 D.
【答案】D
【解析】
分析：利用作差法比较实数大小即得解.
详解：-（）=，因为，所以
所以.故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.
2.直线l：x sin30°y cos30°＋1＝0的斜率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率公式和特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】由直线的方程，则斜率为，故选A.
【点睛】本题主要考查了直线的方程及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式和特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若6a3＋2a4－3a2＝15，则S7＝( )
A. 7
B. 14
C. 21
D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知式子可得的值，由等差数列的求和公式和性质可得，代值计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，
化简得，即，
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，及等差数列的性质的应用，其中解答中根据题设条件化简
得到的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误
．．的命题是（）
A. 若,,,则
B. 若,,则//
C. 若,,,则
D. 若,,,则
【答案】B
【解析】
【分析】
由线线平行的性质定义能判断A的正误；由面面平行的性质，可判定B的正误，由线面垂直的性质，即可判定C的正误，由线面平行的性质，即可判定D的正误.
【详解】由题意，在A中，若,,,则由面面垂直和线面垂直的性质可得，所以是正确的；
在B中，若,,则或//，所以不正确的；在C中，若,,,则由线面垂直的
判定定理和性质定理，即可得，所以是正确；在D中，如图所示，若,,,过直线作
平面相交的平面，记，可得，进而所以是正确的，故选B.
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中
熟记点、线与面的位置关系的判定定理和性质定理，结合几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. 1
B.
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意两直线平行，得，由直线可化为，再由两直线之间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意直线与直线平行，则，
即，则直线可化为，
所以两直线之间的距离为，故选B.
【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）
A. 各月的平均最高气温都不高于25度
B. 七月的平均温差比一月的平均温差小
C. 平均最高气温低于20度的月份有5个
D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度
【答案】C
【解析】
由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，
选项C的说法是错误的.
故选C．
7.垂直于直线且与圆相切的直线的方程（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，设所求直线的方程为，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解.
【详解】由题意，设所求直线的方程为，再根据直线与圆相切，
利用圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
所以所求直线的方程或，故选D.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，及直线方程的求解问题，其中解答中根据垂直关系，设出所求直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.已知圆,若直线与圆交于两点,则弦长的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，求解圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意，直线过定点，
又由圆的圆心坐标，半径，
则点到圆心的距离可得，
由圆的弦长公式，可得，
即弦长的最小值为，故选D.
【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，圆的标准方程的应用，其中解答中求得圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）
A. 10000立方尺
B. 11000立方尺
C. 12000立方尺
D. 13000立方尺
【答案】A
【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．
故选A．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．
10.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，为线段A1B上的动点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，将面与面沿展开成平面图形，线段即为的最小值，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】由题意，将面与面沿展开成平面图形，如图所示，
线段即为的最小值，
在中，利用余弦定理可得，故选B.
【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，以及棱柱的侧面展开的
应用，其中解答中把棱柱的侧面展开为平面图形，利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
11.若将函数向左平移个单位，所得的函数图像关于原点对称，则角
的终边可能过以下的哪个点（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，化简得函数，利用三角函数的图象变换，得由函数的解析式，进而求得，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，
将函数的图象向左平移个单位，
得，
又由函数的图象关于原点对称，则，
求解，则角的终边始终过点，故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的定义的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式，再由三角函数的性质，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12.已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆C:上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是( )
A. B. (1,5) C. (2,5) D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，根据题意可得两点到直线的距离为2，得的方程为，当圆上只有一个点到直线的距离为2时，求得半径的值，当圆上只有3个点到直线的距离为2时，求出半径，从而求出满足条件的半径的取值范围，即可得到答案.
【详解】由题意可得，
根据和的面积为5，可得两点到直线的距离为2，
由于的方程为，
若圆上只有一个点到圆的距离为2，
则有圆心到直线的距离，
若圆上只有三个点到圆的距离为2，
则有圆心到直线的距离，
所以实数的取值范围是，故选B.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中合理应用直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填写在答题卷上．
13.已知向量，，．若，则________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量的坐标运算法则，求出，再由，即可求解.
【详解】由题意，向量，，，可得，
又由，所以，解得.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及其应用，其中解答中根据向量的坐标运算，求得的坐标，再利用，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14.已知，，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：同角的基本关系.
15.在三棱锥中,平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________
【答案】
【解析】
【分析】
以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.
【详解】由题意，在三棱锥中，平面，
以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，
所以三棱锥的外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以
为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
16.已知圆和圆只有一条公切线，若且，则
的最小值为______________．
【答案】9
【解析】
【分析】
由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式，可求解.
【详解】由题意，根据两圆分别为和圆，
圆心分别为，半径分别为2和1，故有，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9.
【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，及利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据两圆的位置关系，根据“1”的代换，利用基本不等式求最小值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的
能力，属于中档试题.
三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知公差不为的等差数列的首项,且成等比数列．
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前项和．
【答案】(1); (2) .
【解析】
【分析】
（1）设数列的公差为,根据题意，求解，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法，即可求解.
【详解】(1)设数列的公差为,则.
由成等比数列,得
即,得 (舍去)或.
所以数列的通项公式为
(2)因为
所以
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项相消法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
18.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数．
【答案】(1) 散点图见解析.为正相关
(2) .
(3)7.
【解析】
分析：（1）根据表中数据，画出散点图即可；
（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可；
（3）由线性回归方程预测x=9时，y的平均值为7
详解：
(1)散点图如图所示.为正相关.
x i y i＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.＝＝6,＝＝4,
x＝42＋52＋72＋82＝154,
则＝＝＝1,＝－＝4－6＝－2,
故线性回归方程为＝x＋＝x－2.
(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.
点睛：
本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．
19.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，底面为
的中点，为的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，进而证得平面
（2）根据异面直线所成钝角的定义，得到为异面直线与所成的角，进而可求解异面直线所成的角.
【详解】（1）取中点，连接∵
又∵,∴平面平面，∴平面
（注：也可利用线面平行的判定定理证明）
（2）∵,∴为异面直线与所成的角（或其补角）
由题易得为等边三角形，又∵平面，∴
∴
∴在等腰中，
所以AB与MD所成角的余弦值大小为.
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及面面垂直的判定与性质的应用，其中解答中熟记面面垂直的判定定理和性质定理，以及异面直线所成的角的概念是解答的关键，同时准确认识几何体的结构特征是解答的基础，着重考查了推理与论证能力，以及数形结合思想的应用.
20.已知函数
（1）求函数的对称中心；
（2）已知在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且的外接圆半径为，求
周长的最大值．
【答案】（1）；（2）9.
【解析】
【详解】由
（1）令
所以函数与对称中心为
（2）由得
，由正弦定理得：
又因为，所以
由得，所以，即
又的外接圆的半径为，所以
由余弦定理得：
即
当且仅当时取等号，∴周长的最大值为9
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及利用正弦定理和余弦定理解三角形问题,其中解答中熟记三角函数的图象与性质,以及合理使用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
21.如下图，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将
沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由余弦定理以及勾股定理可证明，根据面面垂直的性质定理可得平面；
（Ⅱ）先求出，可得，利用可得结果.
试题解析：（Ⅰ）证明：由已知可得：，，
由余弦定理从而，
平面平面，平面平面
平面．
（Ⅱ）由已知，易求．
，设点到平面的距离为，
又可求，，
点到平面的距离为．
22.已知圆与圆关于直线对称,且点在圆上．
(1)求圆的方程;
（2）设为圆上任意一点, ,,与不共线, 为的平分线,且交于.求证:
与的面积之比为定值．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，求出圆的圆心关于直线的对称点为和圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解. （2）因为为的角平分线上一点,推得，设，求得的值，进而可进行判断. 【详解】（1）因为圆的圆心关于直线的对称点为,
所以
所以圆的方程为
（2）因为为的角平分线上一点,所以到与的距离相等,所以
设,则,
所以,所以,所以为定值.
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意求得N点关于直线的对称点，利用圆的标准方程求解，以及合理、准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。