一题学懂极值点偏移5大套路

一题弄懂极值点偏移5大套路
已知()2
1ln 2
f x x x mx x =-
-，m ∈R ．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：2
12e x x >（e 为自然对数的底数）．解法一：齐次构造通解偏移套路
证法1：欲证2
12e x x >，需证12ln ln 2x x +>．
若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，
2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．
于是，有112
2ln 0
ln 0x mx x mx -=⎧⎨
-=⎩，解得1212ln ln x x m x x +=+．
另一方面，由112
2ln 0
ln 0x mx x mx -=⎧⎨
-=⎩，得()2121ln ln x x m x x -=-，
从而可得，
2112
2112
ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+．
于是，()()22
21211112221
1
1ln
ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+=
=--．又120x x <<，设2
1x t x =
，则1t >．因此，()121ln ln ln 1
t t x x t ++=-，1t >．要证12
ln ln 2x x +>，即证：()1ln 21
t t t +>-，1t >．即：当1t >时，有()21ln 1
t t t ->+．设函数()()
21ln 1t h t t t -=-+，1t ≥，则()()()()
()()2
22212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++，所以，()h t 为()1.+∞上的增函数．注意到，()10h =，因此，()()10h t h ≥=．于是，当1t >时，有()21ln 1
t t t ->
+．所以，有12ln ln 2x x +>成立，2
12e x x >．
解法二 变换函数能妙解
证法2：欲证2
12e x x >，需证12ln ln 2x x +>．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()
f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．显然0m >，否则，函数()f x '为单调函数，不符合题意．由()1112122
2ln 0
ln ln ln 0x mx x x m x x x mx -=⎧⇒+=+⎨
-=⎩，
即只需证明()122m x x +>即可．即只需证明122
x x m
+>
．设()()210,g x f x f x x m m ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫''=--∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()2
2102mx g x x mx -'=
>-，故()g x 在10,m ⎛⎫↑ ⎪⎝⎭，即()10g x g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()2f x f x m ⎛⎫''<- ⎪⎝⎭
．
由于()11mx f x m x x -''=
-=
，故()f x '在10,m ⎛⎫↑ ⎪⎝⎭，1,m ⎛⎫
+∞↓ ⎪⎝⎭
．设121x x m <
<，令1x x =，则()()2112f x f x f x m ⎛⎫'''=<- ⎪⎝⎭
，又因为2x ，12
1,x m
m ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，()f x '在1,m ⎛⎫
+∞↓ ⎪⎝⎭
，
故有212x x m >-，即122x x m +>．原命题得证．
解法三构造函数现实力
证法3：由1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根得ln x m x =
，令()ln x
g x x
=，()()12g x g x =，由于()2
1ln x
g x x -'=
，因此，()g x 在()1,e ↑，()e,+∞↓．设121e x x <<<，需证明2
12e x x >，只需证明()2
12e 0,e x x >∈，
只需证明()212e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()222e f x f x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，即()222e 0f x f x ⎛⎫
-
> ⎪⎝⎭
．即()()()()2e 1,e h x f x f x x ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
，()()()2222
1ln e 0e x x h x x --'=>，故()h x 在()1,e ↑，
故()()e 0h x h <=，即()2e f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭．令1x x =，则()()2211e f x f x f x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，因为2x ，
()2
1
e e,x ∈+∞，()
f x 在()e,+∞↓，所以221e x x >，即212e x x >．
解法四巧引变量（一）
证法4：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由112
2ln 0
ln 0x mx x mx -=⎧⎨
-=⎩得
1122112
2e e e t t t t t t m t m t -⎧=⇒=⎨=⎩，设120k t t =-<，则1e e 1k k
k t =-，2e 1k k t =-．欲证2
12e x x >，需证12ln ln 2x x +>．即只需证明122t t +>，即
()()()()()1e 21e 2e 11e 2e 10e 1
k k k k k k k k k +>⇔+<-⇔+--<-．设
()()()()1e 2e 10k k g k k k =+--<，()e e 1k k g k k '=-+，()e 0k g k k ''=<，
故()g k '在(),0-∞↓，故()()00g k g ''>=，故()g k 在(),0-∞↑，因此()()00g k g <=，命题得
证．
解法五巧引变量（二）
证法5：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由112
2ln 0
ln 0x mx x mx -=⎧⎨
-=⎩得
1122
1122e e e
t t t t t t m t m t -⎧=⇒=⎨=⎩，设()120,1t k t =∈，则1ln 1k k t k =-，2ln 1k t k =-．欲证2
12e x x >，需证12ln ln 2x x +>，即只需证明122t t +>，即
()()()1ln 21212ln ln 01
1
1
k k
k k k k k k k +-->⇔<⇔-
<-++，设
()()()()21ln 0,11
k g k k k k -=-
⇔+，()()()
2
2
101k g k k k -'=>+，故()g k 在()0,1↑，因此
()()10g k g <=，命题得证．。