15 巴拿赫不动点定理

1.5 Banach 不动点定理及应用
巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem )，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．
1.5.1 Banach 不动点定理及推论
定义 1.5.1 不动点(Fixed points)
设X 是一个非空集合，:A X X →为映射，如果存在x X ∗∈满足()A x x ∗∗=，则称x ∗为映射A 的不动点．
例如(1)从R 到R 上的映射2:f x x →有两个不动点，即0x =和1x =．(2)从2R 到2R 上的映射:(,)(,)f x y y x →有无穷多个不动点，即直线y x =上的所有点均是不动点．
设f 是空间X 到自身的映射，方程()0f x =的求解可转化为求映射
:()T x f x x α→+
的不动点，其中常数0α≠(显然当Tx x ∗∗=时，即()f x x x α∗∗∗+=，可得()0f x ∗=)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．
定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)
设X 是一个度量空间，:A X X →为映射，如果存在常数(0,1)α∈，对于任何,x y X ∈，有
(,)(,)d Ax Ay d x y α≤
则称A 为X 上的压缩映射．称常数α为压缩系数．
显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach 于1922年给出的，也称为Banach 不动点定理．
定理 1.5.1 Banach 不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle )
设X 是完备的度量空间，:A X X →是压缩映射，则A 在X 中具有唯一的不动点，即存在唯一的x ∗，使得()x A x ∗∗=．
证明 任取0x X ∈，构造点列{}n x ：
10()x A x =，21()x A x =，32()x A x =，43()x A x =，…，1()n n x A x −=，…．
下面证明 (1)证{}n x 为基本列；(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=；(3)证x ∗的唯一性．
(1)证{}n x 为基本列．
因为A 是压缩映射，所以不妨设(,)(,)d Ax Ay d x y α≤，其中(0,1)α∈，记100(,)d x x c =，于是有
2110100(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤； 23221210(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；
34332320(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；
…… ……
1112120(,)(,)(,)n n n n n n n d x x d Ax Ax d x x c αα−−−−−−=≤≤．
因此对于正整数k 有
1121(,)(,)(,)(,)n n k n n n n n k n k d x x d x x d x x d x x +++++−+≤+++L
110()n n n k c ααα++−≤+++L
0(1)1n k c ααα
−=
−01n
c αα≤−0→ (n →∞) 故{}n x 为基本列．
(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=．
因为X 是完备的度量空间，所以基本列{}n x 收敛，不妨设n x x ∗→(n →∞)；又知压缩映射是连续映射以及1()n n x A x −=，于是
lim n n x x ∗→∞
=1lim ()n n A x −→∞
=1(lim )n n A x −→∞
=Ax ∗=．
(3)证x ∗的唯一性．
若存在1
x X ∗∈且1
1
()x A x ∗∗=，那么
111(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x α∗∗∗∗∗∗=≤
于是1
(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1
(,)0d x x ∗∗≤，即1
x x ∗∗=．□
注1 Banach 不动点定理给出了在完备度量空间X 中求解不动点的迭代法，即1x X ∀∈，由1n n x Ax +=(1,2,n =L )获得不动点n x x ∗→．
第n 次迭代后的近似解n x 与不动点x ∗的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知
0(,)1n
n n k d x x c αα
+≤−，于是令k →∞有
01000(,)(,)(,)111n n n
n d x x c d x x d Ax x αααααα
∗
≤==−−−．
即00(,)(,)1n
n d x x d Ax x αα
∗
≤−．
注 2 Banach 不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当
(,)(,)d Ax Ay d x y <时，未必存在不动点．
设:A →R R ，()arctan 2
A x x x π=+
−，那么,x y ∀∈R ，有
(,)d Ax Ay Ax Ay =−
(arctan )(arctan )2
2
x x y y ππ=+
−−+
−
(arctan arctan )x y x y =−−−
2
(
)1x y
x y ξ−=−−+(由Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈或(,)y x ξ∈) 2
2()1x y ξξ=−+
(,)x y d x y <−=．
但是，当Ax x =时，方程arctan 2
x π=
无解，因此映射A 在R 中没有不动点．
Lagrange 中值定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 内可导，那么在(,)a b 内至少存在一点ξ(a b ξ<<)，使得()()()()'f b f a f b a ξ−=−．
推论 1.5.1 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →是闭球0(,)B x r 上的压缩映射，并且00(,)(1)d Ax x r α≤−，其中(0,1)α∈是压缩系数，那么A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．
证明 显然0,)B x r 是完备度量空间X 的闭子集，所以0,)B x r 是完备的子空间．0,)x B x r ∀∈，有0(,)d x x r ≤，于是
0000(,)(,)(,)d Ax x d Ax Ax d Ax x ≤+0(,)(1)d x x r αα≤+−(1)r r αα≤+−r ≤
即0(,)Ax B x r ∈．可见A 是完备度量空间0(,)B x r 到0,)B x r 上的压缩映射，因此A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．□
设映射:A X X →，记n n
A AA A =64748
L ，那么映射:n A X X →．
推论 1.5.2 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →，如果存在常数(0,1)α∈和正整数n ，使得,x y X ∀∈有
(,)(,)n n d A x A y d x y α≤
那么A 在X 中存在唯一的不动点．
证明 显然n A 是压缩映射，所以n A 在X 中存在唯一的不动点x ∗，即n x A x ∗∗=．于是
1()()n n n A Ax A x A A x Ax ∗+∗∗∗===
可得Ax ∗也是n A 的不动点，
由不动点的唯一性知：Ax x ∗∗=．同时易得2A x x ∗∗=，3A x x ∗∗=，…，n A x x ∗∗=
下面证明x ∗的唯一性．
设存在1
x X ∗∈且1
1
()x A x ∗∗=，得1
1
2A x x ∗∗=，1
1
3A x x ∗∗=，…，1
1
n A x x ∗∗=，那么
11(,)(,)d x x d Ax Ax ∗∗∗∗==K 1(,)n n d A x A x ∗∗=1(,)d x x α∗∗≤
于是1
(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1
(,)0d x x ∗∗≤，即1
x x ∗∗=．□
1.5.2 Banach 不动点定理的应用
◇ 求方程的近似解
定理 1.5.2 设:f →R R 是可微函数，且()1'f x α≤<，则方程
()f x x =
具有唯一解．
证明 根据Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈，使得
()()()()'f x f y f x y x y ξα−=−≤−，
因此f 是完备度量空间R 上的压缩映射，于是由压缩映射原理知，()f x x =具有唯一解．
例 1.5.1 求方程510x x +−=的根．
解 显然函数5()1g x x x =+−的导函数为4()510'g x x =+>，即g 单调递增，且115
()0232
g =−<，(1)1g =，所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内．原方程可写为 51x x −=
由于51x −不是一个压缩映射，即54(1)5'x x −=在(0.5,1)内并不小于1．将上式改造为
5(1)x x λλ−=，即为
5(1)(1)x x x λλ−+−=，
于是当(0.5,1)x ∈及(0,1)λ∈时有
54[(1)(1)]15'x x x λλλλ−+−=−−1λ<−．
令14λ=
，531
()(1)44
f x x x =+−，那么在(0.5,1)上()f x 满足 3
()14
'f x <
< 于是得()f x 是(0.5,1)上的压缩映射，取00.75x =，由迭代1()n n x f x +=可得
10.7521x =，20.7533x =，30.7540x =，40.7544x =， 50.7546x =，60.7547x =，70.7548x =，80.7548x =，…．
若取8x 作为不动点x ∗的近似解，其误差为
80.750.75210.750.000810.75
n
x x ∗
−≤−=−．□
◇ 解线性代数方程组
定理 1.5.3 设1111n n nn a a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L M M L ，1n
n x x x ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠M R ，1n n b b b ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
M R ，
若对每个1i n ≤≤，矩阵A 满足1
1n ij j a =<∑，即11
max 1n
ij i n
j a α≤≤==<∑，则线性方程组Ax b x +=具有唯一解x ∗．
证明 在n R 上定义距离1(,)max{i i i n
d x y x y ≤≤=−，其中T 12(,,,)n n x x x x =∈L R ，
T 12(,,,)n n y y y y =∈L R ，易验证(,)n d R 是完备的度量空间．令映射:(,)(,)n n T d d →R R 为
Tx Ax b =+．
记T 12(,,,)n Tx u u u u ==L ，T 12(,,,)n Ty v v v v ==L ，于是
11111n i j j n n ni j n j a x b u u u a x b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑M M ，111
11n i j j n
n ni j n j a y b v v v a y b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟
⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠+⎜⎟⎝⎠
∑∑M M ． 因此
1(,)max{}i i i n
d Tx Ty u v ≤≤=−
11
max{()}n
ij j j i n
j a x y ≤≤==−∑
111
max{}max{}n
ij j j i n
i n
j a x y ≤≤≤≤=≤⋅−∑
(,)d x y α=
由11
max 1n
ij i n
j a α≤≤==<∑可知T 是压缩映射，从而存在唯一的不动点x ∗，即线性方程组
Ax b x +=具有唯一解x ∗，且可根据迭代1n n x Ax b +=+求得方程的近似解．□
◇ 证明隐函数存在定理
定理 1.5.4 设二元函数(,)F x y 在区域{(,),}x y a x b y ≤≤−∞<<+∞上连续，关于y 的偏导数存在，且满足条件0(,)'y m F x y M <≤≤，其中m ，M 是正常数，则存在连续函数()y f x =，
[,]x a b ∈满足：[,]x a b ∀∈，(,())0F x f x =．
证明 在完备度量空间[,]C a b 中定义映射T ：
()[,]x C a b φ∀∈，1
()()()(,())T x x F x x M
φφφ=−
． 由于(,)F x y 是连续函数，所以[,]T C a b φ∈，即:[,][,]T C a b C a b →．下面证T 是压缩映射．
设,[,]C a b φϕ∈，根据微分中值定理得，存在(0,1)θ∈，使得
11()(,())()(,())T T x F x x x F x x M M
φϕφφϕϕ−=−
−+ 1
()()[(,())(,())]x x F x x F x x M
φϕϕφ=−+− 1()()[(,()(()())](()()'
y x x F x x x x x x M
φϕφθϕφϕφ=−++−− (1)()()m
x x M
φϕ≤−
−． 记1m
M
α=−
，显然01α<<，于是有T T φϕαφϕ−≤−，因此 [,]
(,)max ()()()()x a b d T T T x T x φϕφϕ∈=−[,]
max ()()x a b x x αφϕ∈≤−(,)d αφϕ=
因此T 是压缩映射，由压缩映射原理知存在唯一的()[,]f x C a b ∈，使得
()()()Tf x f x =
即(,())0F x f x =，[,]x a b ∈．□
◇ 在微分方程方面的应用
设(,)f t x 在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，那么存在0M >使得(,)t x D ∀∈有
(,)f t x M ≤，进一步假定(,)f t x 关于变量x 满足李普希兹(Lipshitz)条件：存在常数K ，12(,),(,)t x t x D ∀∈有1212(,)(,)f t x f t x K x x −≤−，那么有微分方程为
00
d (,)
d ()x
f x t t
x t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2.4) 定理 1.5.5 (皮卡德Picard 定理)
满足上述条件的微分方程(2.4)在区间00[,]t t ββ−+上有唯一解，其中
1
min{,
,}2b a M K
β=． 证明 设00[,]J t t ββ=−+，则J 上的连续函数组成的空间()C J 是完备的度量空间，显然
()C J 的子集0{(),()}E x x C J x t x M β=∈−≤是闭集，于是E 也是完备的度量空间．
通过积分可将微分方程(2.4)写成积分方程0
0()(,())d t
t x t x f x τττ=+∫．
()x t E ∀∈定义：0
0()()(,())d t
t Tx t x f x τττ=+∫，下面验证Tx E ∈．
由于(,)f t x 在在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，所以()()Tx t 在
00[,]J t t ββ=−+上连续， 00()()Tx t x =，以及
00()()(,())d t
t Tx t x f x τττ−=
∫
(,())d t
t f x τττ≤
∫
0M t t ≤−M β≤，
于是Tx E ∈，即T 映射为:T E E →．
再证T 是压缩映射．根据李普希兹条件得
1212()()()()(,())d (,())d t
t
t t Tx t Tx t f x f x ττττττ−=
−∫
∫
012max J
t t K x x τ∈≤−−
12(,)Kd x x β≤
又由β的定义知1
2
K αβ=≤
，于是1212(,)(,)d Tx Tx Kd x x β≤，即T 是压缩映射．因此T 在E 中存在唯一的不动点x ∗，即存在00[,]J t t ββ=−+上的连续函数x ∗，满足积分方程
0()(,())d t
t x t x f x λτττ=+∫，
两边微分可得x ∗是微分方程(2.4)的唯一解，并且x ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其中
010()(,())d t
n n t x t x f x τττ+=+∫．□
◇ 在积分方程方面的应用
设(,)K t τ在矩形区域{(,),}D t a t b ττ=≤≤连续，()[,]f x C a b ∈，且[,]t a b ∀∈有
(,)d b
a
K t M ττ≤<+∞∫
，
那么费雷德霍姆(Fredholm)积分方程为
()()(,)()d b
a x t f t K t x λτττ=+∫． (2.5)
定理 1.5.6 对于任意的()[,]f x C a b ∈，当1
M
λ<
时，Fredholm 积分方程(2.5)有唯一连续解()x t ∗，并且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其迭代过程为
1()()(,)()d b
n n a x t f t K t x λτττ+=+∫．
证明 设()()()(,)()d b
n a
Tx t f t K t x λτττ=+∫，由(,)K t τ的连续性知，T 是从[,]C a b 到[,]C a b 上
的映射:[,][,]T C a b C a b →．(),()[,]x t y t C a b ∀∈有
(,)max{()()()()a t b
d Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=−
max{(,)()d (,)()d }b b
a
a
a t b
K t x K t y λτττλτττ≤≤=−∫∫
max{(,)[()()]d }b
a
a t b
K t x y λττττ≤≤=−∫
max{(,)()()d }b
a
a t b
K t x y λττττ≤≤≤−∫
max{()()}a b
M x y τλττ≤≤≤−
(,)Md x y λ=
由于1M λ<，即T 是压缩映射，根据压缩映射原理知T 在[,]C a b 上存在唯一的不动点
()x t ∗，即为Fredholm 积分方程的唯一连续解，且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，
其迭代过程为1()()(,)()d b
n n a
x t f t K t x λτττ+=+∫．□
◇ 牛顿迭代法的证明
牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在 17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要．牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，而且其最大优点是在方程的单根*()0f x =附近具有平方收敛，该法还可以用来求方程的重根、复根，另外该方法广泛用于计算机编程中．
定理 1.5.6 设f 是定义在[,]a b 上的二次连续可微的实值函数，*x 是f 在(,)a b 内的单重零点，那么当初值0x 充分靠近存*x 时，由关系式
1()n n x g x +=，()
()()
n n n 'n f x g x x f x =−
所定义的迭代序列收敛于*x ．
证明 因为*()0f x =，依据中值定理可得
***1()()()()'f x f x f x f x x k x x ξ=−=−≤−．
由于*x 是f 的单重零点，所以存在*x 的某闭邻域*1()(,)U x a b ⊂，使得*1()x U x ∀∈，()0f x ≠，而且()"
f x 连续．于是2
()
[()]
"'f x f x 在*1()U x 上有界2k ，所以*1()x U x ∀∈，有 2*21222
[()]()()()()
()1()[()][()]
'""'
''f x f x f x f x f x g x k f x k k x x f x f x −=−=≤≤−． 显然当*1212x x k k −<
时，1
()2
'g x <．令**2121(){}2U x x x x k k =−<
以及***12()()()U x U x U x =I ，于是()g x 在邻域*()U x 内为压缩映射，根据压缩映射原理可知命题成立．□。