人教高一数学必修一第一章知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理
第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤知识要点：
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.
¤例题精讲：
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.
（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.
【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；
由325k +=-，解得73
k Z =∉，所以5A -∉；
由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合.
解：（1）3
{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨
=-+⎩
. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x
==≠.
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.
*【例4】已知集合2{|1}2
x a
A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程
2
12
x a
x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：
A B
B
A
A
B A B
A ．
B ．
C ．
D ．
⑴方程有等根且不是 △=0，得94
a =-，此时的解为12
x =，合．
⑵方程有一解
为，而另一解不
是：
将x =代入
得a =，此时另一
解
1x =
⑶方程有一解为
，而另一解不是
：将x =
代入得a =
，此时另一解为1x =，合．
综上可知，9{,4
A =-．
点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.
第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系
¤知识要点：
1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.
2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.
3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper
subset ），记作A ≠
⊂B （或B ≠⊃A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；
若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=；
0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；
（2）=， ∈， ，.
【例2】设集合1,,}22
{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是
（ ）.
解：简单列
举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2
222
B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，
易知B ≠⊂
A ，故答案选A ．
另解：由21
,}2
{|n x n B x +=
∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ． 【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.
解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；
（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a
==-或，解得11
23a a ==-或.
故所求实数a 的值为0或12或1
3
-.
点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而
需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.
解：若2
2a b ax a b ax
+=⎧⎨
+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2
=0，即a =0或x =1.
当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.
若22a b ax a b ax
⎧+=⎨
+=⎩⇒2ax 2
-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12
x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述1
2
x =-.
点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.
第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）
¤知识要点：
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解
B （读作“B （读作“,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求ð解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，
(){|1,9}U C A B x x x =<-≥或，
【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：
（1）()A B C ； （2）()A A B C ð. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. （1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------.
∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.
【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围. 解：由A B A =，可得A B ⊆.
在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：
由图形可知，4m ≥.
点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.
解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =. 由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}
U C A B = 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =， ()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.
由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =， ()()()U U U C A C B C A B =.
另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.
点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.
第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）
¤知识要点：
1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.
2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.
¤例题精讲：
【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值.
解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =，则有：
当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.
3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，
不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意. 所以，3a ＝－.
【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）
解：{1,4}B =.
当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；
当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.
点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．
解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.
(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；
当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．
(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；
当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）
解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.
点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .
第5讲 §1.2.1 函数的概念
¤知识要点：
1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.
2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；
{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.
符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则 {|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域： （1）1
21
y x =
+-；（2）y =
.
解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.
（2）由
30
20x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，
所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.
【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）32
54x y x
+=
-； （2）22y x x =-++.
解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得5
4
x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4
x x ≠.
32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4
y y ≠-. （2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9
(,]4-∞.
【例3】已知函数1()1x
f x x
-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式
解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1
(2)3
f =-.
（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=
+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x
f x x
-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.
【例4】已知函数2
2
(),1x f x x R x =∈+.
（1）求1()()f x f x
+的值；（2）计算：111
(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.
解：（1）由22222222
21
111()()1111111x x x x f x f x x x x x x
++=+=+==+++++. （2）原式11117
(1)((2)())((3)())((4)())323422
f f f f f f f =++++++=+=
点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的
关键.
第6讲 §1.2.2 函数的表示法
¤知识要点：
1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.
2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.
3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.
判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：
【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．
解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.
又由20a x >－，解得2
a
x <.
所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2
a x x <<.
【例2】已知
f (x )=33x x
-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+
∞，求f [f (0)]的值.
解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f
又 ∵
，
∴ f
)3
-3=2+1
2=52，即f [f (0)]=52
. 【例3】画出下列函数的图象：
（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.
解：（1）由绝对值的概念，有2,2
|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩
.
所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.
（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪
=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩
，
所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.
点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.
【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如
[3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.
解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3
x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪
=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪
=⎩. 函数图象如右：
点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.
第7讲 §1.3.1 函数的单调性
¤知识要点：
1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.
2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )
的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.
3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.
¤例题精讲：
【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1
x
f x x =
-在区间（0，1
）上的单调性
.
解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()
()()11(1)(1)
x x x x f x f x x x x x --=
-=
----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.
所以，函数2()1
x
f x x =
-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.
解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则
22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.
若0a <，当122b x x a <≤-
时，有120x x -<，12b
x x a
+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)
2b
a
-+∞上单调递减.
【例3】求下列函数的单调区间：
（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.
解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪
=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩
，其图象如右.
由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.
（2）22
223,0
2||323,0
x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.
由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减
函数.
点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.
第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值
¤知识要点：
1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.
2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成
224()24b ac b y a x a a -=++
后，当0a >时，函数取最小值为2
44ac b a -；当0a <时，函数取最大值2
44ac b
a
-. 3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.
4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：
【例1】求函数26
1y x x =
++的最大值.
解：配方为2613()24y x =++，由2133
()244x ++≥，得260813()24
x <
≤+
+.
所以函数的最大值为8.
【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.
解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为 (8)[10010(10)]y x x =---.
即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.
所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3
】求函数2y x =.
解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =
时，min 22y =+，函数的最小值为2.
点评：
形如y ax b =+性法研究，也可以用换元法研究.
【另解】
令t ，则0t ≥，21x t =+，所以
22115
222()48
y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，mi n 2y =，
故函数的最小值为2.
【例4】求下列函数的最大值和最小值：
（1）25332,[,]22
y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b
x a
=-
，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，m a x 4y =； 当3
2
x =
时，m i n 9
4
y =-.
所以函数25332,[,]22
y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为9
4-.
（2） 3 (2)
|1||2|2 1 (12)3 (1)
x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.
作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.
第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性
¤知识要点：
1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.
2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.
3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.
¤例题精讲：
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（1）31()f x x x
=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有 3311
()()()()f x x x f x x x
-=--
=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有 ()|1||1||1||1|f x x x x x f x
-=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1
()()1
f x
g x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.
则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧
-=⎪⎪+⎨⎪--=
⎪-+⎩
.
两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21
()1
g x x =-.。