部分区(五区联考)2019届高三二模数学(文)试题及答案

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）
数学（文）试题参考答案与评分标准
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．5 10．e −1 11．16
12．(x +1)2+(y +1)2=2 13．92 14．(0,1)
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）
15．解：（Ⅰ）∵(3a +b )cos C +c cos B =0，由sin sin sin a b c A B C
== ……1分 ∴(3sin A +sin B )cos C +sin C cos B =0， ………………………………2分 ∴3sin A cos C +sin (B +C )=0， ……………………………………………4分 在∆ABC 中，由于sin (B +C )=sin A ≠0， ……………………………………5分 ∴cos C =1
3
−. ………………………………………………．．．．…………6分 （Ⅱ）∵c =√6，由（Ⅰ）及由余弦定理，得6=a 2+b 2−2ab cos C ，……7分
即6=a 2+b 2−2ab ×(1
3
−)， ∴a 2+b 2+23ab =6，∴(a +b )2−43ab =6.（※） ……………………9分
由（Ⅰ）知sin C =√1−cos 2C =3
. ……………………10分
由题意，得S ∆ABC =12ab sin C =4，∴ab =94. ………………………12分 结合（※）式，得a +b =3. ……………………………………………13分
16．解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人数为5334671000+=，………………………1分
被录用的人数为264169433+=． …………………………………2分 所以，从表中所有应聘人员中随机选择1人，
此人被录用的概率约为P =4331000
. …………………………………………4分 （Ⅱ）记应聘D 学科的男性为123,,A A A ,应聘D 学科的女性为123,,B B B ，从应聘D 学科的6
人中随机选择2人，共有15种结果：12{,},A A 13{,},A A 11{,},A B
1213{,},{,}A B A B ，23{,},A A 212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B
33{,}A B ，121323{,},{,},{,}.B B B B B B ……………………………………8分
事件M “抽取的2人性别不同”情况有9种：
11{,},A B 1213{,},{,}A B A B ，212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B
33{,}.A B …………………………………………10分 易得，其概率为93=155
…………………………………………12分 所以事件M 发生的概率为
35 ……………………………13分
17．解：（Ⅰ）如图所示，四边形BCDE是等腰梯形，所以DE∥BC.
所以∠ADE就是异面直线AD与BC所成的角，……2分
在∆ADE中，AD=AE.
又O为DE的中点，所以AO⊥DE.
在∆ADO中，AD=√5,AO=2，
所以异面直线AD与BC所成角的正弦值为
5
.……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥DE. ………………………………………6分因为平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED=DE,且AO⊂平面A1DE，所以AO⊥平面BCED，…………………………………………………… 7分
所以CO⊥AO.……………………………………………………………8分
在∆OBC中，BC=4，易得OB=OC=2√2，所以CO⊥BO，
又因为AO∩BO=O，所以CO⊥平面AOB. ……………………………9分
又CO⊂平面AOC，
所以平面AOB⊥平面AOC.……………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知CO⊥平面AOB，
所以直线AC与平面AOB所成角就是∠CAO. ……………………………11分
在Rt∆AOC中，OC=2√2,AO=2，所以tan∠CAO=OC
OA
=√2，
所以直线AC与平面AOB所成角的正切值为√2．………………………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，………………………………………1分
由{a 4−2a 3=9,a 2=3 得{a 2(q 2−2q )=9,a 2=3
………………………………2分 解得3q =或1q =-. …………… …………………………………………3分
因为数列{a n }为正项数列，所以q =3， …………………………………5分
所以，首项a 1=2a q
=1， 故其通项公式为a n =3n−1. ………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =(2n −1)∙log 3a 2n+2=(2n −1)(2n +1)， ………8分 所以11111()(21)(21)22121
bn n n n n ==−−+−+…………………………10分 所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =
+++=−+−++−−+L L 11=242
n −+ 所以T n <12
. …………………………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得
2c a =且22211a b
+= ，又因为a 2=b 2+c 2， ……………………………3分 解得a 2=4，b 2=2.
所以，椭圆C 的方程为22
142
x y += . …………………………………………5分 （Ⅱ）易知，“椭圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶
点的点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立”． …………………………………6分
依题意，点A (−2,0)，设B (t,0),P (m,n )，则有m 2+2n 2=4,① ……7分
且PA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−n )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −m,−n )， 所以(−2−m,−n )∙(t −m,−n )=0，
即(−2−m )(t −m )+n 2=0. ② …………………………………………9分
由①得， n 2=2
42m −代入②，得 (−2−m )(t −m )+2
42
m −=0，③ …………………………………………10分 因为−2<m <2，所以③化为m −t +22
m −=0， 即m =2t −2. ………………………………………………………………12分
所以−2<2t −2<2，解得0<t <2.
故所求点B 的横坐标的取值范围是(0,2)． ………………………………14分
20．解：（Ⅰ）由a =0，得f (x )=(x −3)e x ，
所以f′(x )=(x −2)e x ， ………………………………2分
由f ′(x )<0得x <2, 由f ′(x )>0得x >2,
所以，函数()
f x 的单调增区间是()2+∞，；单调减区间是()2−∞，.………4分 （Ⅱ）f (x )=(x −3)[e x +a (x −3)]，
易得函数f (x )有一个零点x =3. ……………………………………………5分
令g (x )=e x +a (x −3).
1）若a =0，则g (x )=e x >0，g (x )无零点，
所以函数f(x)只有一个零点；………………………………………6分2）若a≠0，则g′(x)=e x+a，
①当a>0时，有g′(x)>0，所以函数g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，
而g（
1
a
−）=e−1a−1−3a<0, g(3)=e3>0，此时函数g(x)在
1
(3)
a
−,内有一
个零点，
所以f(x)有两个零点. ……………………………………………………7分
②当a<0时，由g′(x)=e x+a=0，得x=ln(−a)，
所以函数g(x)在区间(−∞,ln(−a))单调递减，在区间(ln(−a),+∞)单调递增，
所以函数g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]. …………………………8分
（ⅰ）当ln(−a)−4<0，即−e4<a<0时，
g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]>0,
此时函数g(x)在其定义域内无零点，所以函数f(x)只有一个零点.
（ⅱ）当ln(−a)−4=0，即a=−e4<0，此时函数g(x)有一个零点为4，所以函数f(x)有两个零点.
（ⅲ）当ln(−a)−4>0，即a<−e4时，g(x)min<0，
此时函数g(x)有两个零点，因为(3)0
g≠，所以这两个零点均不为3.
所以函数()
f x有三个零点. ………………………………………………12分
综上述，当a=0或−e4<a<0时，函数f(x)只有一个零点；
当a>0或a=−e4时，函数f(x)有两个零点；
当a<−e4时，函数f(x)有三个零点. ………………………14分。