安徽省马鞍山二中高二下学期期中考试(数学文)

安徽省马鞍山二中高二下学期期中考试（数学文）
一.
选择题 (每小题4分, 共40分)
1. 0a =是复数(,)a b a b R i +∈为纯虚数的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2. 要描述一个工厂某种产品的生产步骤, 应用 ( )
A.程序框图
B.工序流程图
C.知识结构图
D.组织结构图
3. 一位母亲记录了儿子从3岁到9岁的身高, 数据如下表, 由此建立的身高与年龄的回归模型为
7197393...y x =+ 以此模型预测这个孩子10岁时的身高, 则正确的叙述是 ( )
A.一定是145.83 cm
B.在145.83 cm 以上
C. 在145.83 cm 左右
D. 在145.83 cm 以下
4. 函数2
()f x x x =+
的单调递减区间是 ( )
A.
(0, B. [0) C. (0,[0) D. (0,和[0)
5. “所有9的倍数 (m) 都是3的倍数 (p) , 某奇数 (s ) 是9的倍数 (m), 故某奇数 (s ) 是3的倍数 (p) . 以上推理是
( )
A.小前提错
B.结论错
C.正确的
D.大前提错 6. 如果所有样本点都落在一条直线上, 残差平方和
以及解释变量和预报变量间的相关系数分别为 ( ) A.0, 0 B.1, 0 C.0, 1 D.1, 1
7. 设110a b <<, 则在①22a b >; ②a b +>③2ab b <;
④2
2
||||a b a b +>+中恒成立的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 阅读 图1的框图，若输入3=m ，则输出=i ( ) （参考数值：
3log 20106943
.≈）
A.7
B.8
C. 9
D.10
9. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若2χ的观测值为6.635，我们有99 %的把握认为吸烟与患
肺病有关系”这句话的意思是指 ( )
A. 在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病
B. 有1 %的可能性认为推理出现错误
C. 若某人吸烟，则他有99 %的可能性患有肺病
D. 若某人患肺病，则99%是因为吸烟
10. 将正整数12分解成两个整数的乘积有: 112,26,34⨯⨯⨯三种, 又34⨯是这三种分解中两数的差最小
的, 我们称34⨯为12的最佳分解. 当()p q p q ⨯≤是正整数n 的最佳分解时,我们规定函数
().p
f n q =
如
3(12).
4f = 以下有关
()p f n q =的说法中, 正确的个数为 ( ) ①(4)1;f = ②
3(24);8f = ③ 1(27);3f = ④ 若n 是一个质数, 则1
();
f n n = ⑤ 若n 是一个完全平方数, 则()1;f n = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.
填空题 (每小题4分, 共
11.函数()ln f x x x =的单调递增区间是
12. 若2x >, 则
245
()24x x f x x -+=
-的最小值为 13. 给出程序框图 (图2)，那么，输出的数是 14. 考察下列一组不等式：
3322252525,+>⋅+⋅
4433252525,+>⋅+⋅ 4
4
3
3
252525,+>⋅+⋅ 553223252525,
+>⋅+⋅.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是
15. 对命题: ① 任意两个确定的复数都不能比较大小; ② 若||1z ≤; 则11z -≤≤; ③ 若22
120z z +=,
则
120
z z == ( 以上
12
,,z z z 是复数 ). 其中错误的是 (只填序号)
三.
解答题 (共40分)
16 ( 本题满分9分 ). 求过原点与曲线(1)(2)y x x x =--相切的直线方程.
17( 本题满分9分 ). 已知0,0.x y >> 用分析法证明:
(
)()
112
23
323.
x y
x
y +
>+
18( 本题满分9分 ). 已知函数()1
f x x =
，问：是否存在这样的正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒
有|()|f x A <成立？试证明你的结论.
19( 本题满分13分 ). 已知函数
22()()().x
ax f x x e a R --∈=
（1）当0a ≥时，求()f x 的极值点； （2）设()f x 在 [ - 1 ，1 ] 上是单调函数，求出a 的取值范围.
参考答案
二. 填空题 (每小题4分, 共
11. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
12. 1 13.
2450
14.
()
,0,,,0m n m n m n n m a b a b a b a b a b m n +++>+>≠>（或,0,,,a b a b m n >≠为正整数）
注：填2
52525m n
m n m n n m +++>+或是未注明字母的取值范围和关系，均不扣分．
15. ①②③ ( 少一个得2分 ) 三. 解答题 (每小题10分, 共40分)
16. 求过原点与曲线(1)(2)y x x x =--相切的直线方程.
解析. 设切点坐标为P （,a b ），23
62y x x '=-+ ----------- 2分
则有
3232
32330028362b a a a a or a b or b b a a a
⎧=-+⎪
⇒==⇒==-⎨=-+⎪⎩ ---------- 5分
∴ P （0,0）或（
33
,28-
） ----------- 7分 ∴ 所求切线方程为20x y -=或40x y +=. ------------------ 9分
17. 已知0,0.x y >> 用分析法证明: (
)()
112
23
32
3
.
x y
x
y
+>+
证明：∵0,0.x y >> ∴要证
(
)()
112
23
32
3
.
x y
x
y
+>+
只要证
()()
3
2
2233x y x y +>+ ------------------ 4分
即证
22332x y xy +> （*） ∵
222223322()()0x y xy x y x y +-=++-> ∴ （*）成立. 故原不等式成立. -------------------------- 9分
18. 已知函数，问：是否存在这样的正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有
|()|f x A <成立？试证明
你的结论.
解析. 不存在正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有
|()|f x A <成立.
证明：【反证法】 假设存在一个
0A >，使得(,0)(0,)x ∈-∞+∞时，
|()|f x A <恒成立. 即：1
A
x <时，恒成立. ------------ 4分
取
12x A =
，则有1
21
2A A A
A <⇒<，这是矛盾不等式.----- 8分
故不存在正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有
|()|f x A <成立. --- 9分
19. 已知函数22()()().x ax f x x e a R -=-∈
（1）当0a ≥时，求()f x 的极值点； （2）设
()f x 在 [ - 1 ，1 ] 上是单调函数，求出a 的取值范围.
解析.（1）令 2()[2(1)2]0x f x e ax a x -'=-++-= (0)a ≥
当a=0时，解得：x=1
∵ 1,()0;
1,()0x f x x f x '
'<<>> ∴ x=1时，f （x ）取得极小值；---- 3分
当0a >
时，
12a a
x x =
=
易得：
12
11a a a
a
x x +-
++
=
<
=，从而有下表
∴
1a a
x +-
=
是函数的极小值点；
1a
a
x ++
=
是函数的极大值点.-- 6分
（2）当a=0时，由（1）可知，函数在[-1，1]上单减，符合题意； ---- 8分
当0a >时，若函数在[-1，1]上单增，则111a a a ++≥≤-⎨
⎪⎪⎩ 解得：a φ∈
若函数在[-1，1]上单减，则
11
a a
+-≥或
11
a a
++
≤-
解得：a φ∈
当0a <
时，
12
11a a a
a
x x +-
++
=
>
=
若函数在[-1，1]
上单增，则
11
a a
+-≤-
或
11
a a
++
≥
解得：a φ∈
若函数在[-1，1]
上单减，则1143
101a a a a
a a R +-+≥≤--≤<⇒∈⎧⎪
⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩
解得：
[4
,0)
3
a ∈-
综合得：[]
4,03
a ∈-时，函数在[-1，1]上是单减函数. --------------- 13分。