2017-2018学年陕西省榆林市高二(下)期中数学试卷(理科)含解析

2017-2018学年陕西省榆林市高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5.00分）复数z=在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5.00分）已知z1，z2是复数，以下四个结论正确的是（）
①若z1+z2=0，则z1=0，z2=0②若丨z1|+|z2|=0，则z1=0，z2=0
③若z 1+=0，则z1=0④若|z1|=|z2|，则向量与重合
A．仅②正确B．仅②③正确C．②③④正确D．仅②④正确
3．（5.00分）曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为（）
A．1 B．2 C．e D．
4．（5.00分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于（）
A．n B．n+1 C．n﹣1 D．n2
5．（5.00分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）
A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除
C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除
6．（5.00分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假
7．（5.00分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
8．（5.00分）由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1
9．（5.00分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）
A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）10．（5.00分）已知z∈C，且|z|=1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）
A．2﹣1 B．2+1 C．D．2
11．（5.00分）若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜
12．（5.00分）用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5.00分）已知（1+i）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=．14．（5.00分）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为．15．（5.00分）已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a=．
16．（5.00分）dx﹣sinxdx=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10.00分）已知m∈R，复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣1）i．
（1）实数m取什么值时，复数z为实数、纯虚数；
（2）实数m取值范围是什么时，复数z对应的点在第三象限．
18．（12.00分）数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1=1，a n+1=（n=1，2，3…）．
证明：（1）数列{}是等比数列；
（2）S n
=4a n．
+1
19．（12.00分）已知a，b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a ＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）
20．（12.00分）求由抛物线y=﹣x2+4x﹣3与它在点A（0，﹣3）和点B（3，0）的切线所围成的区域的面积．
21．（12.00分）已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数，又．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．
22．（12.00分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3．
（1）若f（1）=﹣5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．
2017-2018学年陕西省榆林市高二（下）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5.00分）复数z=在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z===+i，
∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．
故选：A．
2．（5.00分）已知z1，z2是复数，以下四个结论正确的是（）
①若z1+z2=0，则z1=0，z2=0②若丨z1|+|z2|=0，则z1=0，z2=0
③若z 1+=0，则z1=0④若|z1|=|z2|，则向量与重合
A．仅②正确B．仅②③正确C．②③④正确D．仅②④正确
【解答】解：①若z1+z2=0，则z1=0，z2=0，错误，如z1=﹣1，z2=1；
②若|z1|+|z2|=0，则|z1|=|z2|=0，∴z1=0，z2=0，故②正确；
③若z 1+=0，则z1=0，错误，如z1=i，；
④若|z1|=|z2|，则向量与重合错误，如z1=1+i，z2=1﹣i，满足|z1|=|z2|，但向量与不重合．
∴正确的结论是②．
故选：A．
3．（5.00分）曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为（）
A．1 B．2 C．e D．
【解答】解：由y=e x，得到y′=e x，
把x=0代入得：y′（0）=e0=1，
则曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为1．
故选：A．
4．（5.00分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于（）
A．n B．n+1 C．n﹣1 D．n2
【解答】解：∵1*1=1，（n+1）*1=n*1+1，
∴（n+1）*1=n*1+1=（n﹣1）*1+1+1=（n﹣2）*1+3=…=[n﹣（n﹣1）]*1+n=1+n，∴n*1=n．
故选：A．
5．（5.00分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）
A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除
C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除
【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故选：B．
6．（5.00分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假
【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1
不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．
故选：B．
7．（5.00分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
【解答】解：在等式中，
当n=1时，n+3=4，
而等式左边起始为1的连续的正整数的和，
故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4
故选：D．
8．（5.00分）由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1
【解答】解：由曲线y=x2，y=，联立，因为x≥0，所以解得x=0或x=1
所以曲线y=x2与y=所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=
故选：B．
9．（5.00分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）
A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）
【解答】解：因为y=上的导数为y′=﹣=﹣，
∵e x+e﹣x≥2=2，
∴e x+e﹣x+2≥4，
∴y′∈[﹣1，0）
即tanα∈[﹣1，0），
∵0≤α＜π
∴π≤α＜π．
即α的取值范围是[π，π）．
故选：D．
10．（5.00分）已知z∈C，且|z|=1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）
A．2﹣1 B．2+1 C．D．2
【解答】解：∵|z|=1且z∈C，作图如图：
∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1=2﹣1．
故选：A．
11．（5.00分）若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜
【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．
令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，
∴x=±．
又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．
故选：A．
12．（5.00分）用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
【解答】解：，
=
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5.00分）已知（1+i）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=2．【解答】解：（1+i）2=1+2i+i2=2i，
∵（1+i）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），
∴，
∴a+b=2，
故答案为：2．
14．（5.00分）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为﹣7．
【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2+2ax+b，
又∵在x=1时f（x）有极值10，
∴，
解得或，
验证知，当a=﹣3，b=3时，在x=1无极值，
故a+b的值﹣7．
故答案为：﹣7
15．（5.00分）已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a= 44．
【解答】解：由已知中：x∈（0，+∞）时，
x+≥2，x+=++≥3，x+=+++≥4
…
归纳推理得：x+≥n+1，
若x+≥5，
则n+1=5，即n=4，
此时a=n n=44，
故答案为44．
16．（5.00分）dx﹣sinxdx=．
【解答】解：求dx﹣sinxdx．
由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于．
sinxdx=．
∴dx﹣sinxdx=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10.00分）已知m∈R，复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣1）i．
（1）实数m取什么值时，复数z为实数、纯虚数；
（2）实数m取值范围是什么时，复数z对应的点在第三象限．
【解答】解：（1）当m2﹣1=0，即m=±1时，
复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣1）i为实数；
当，即m=3时，
复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣1）i是纯虚数；
（2）由题意，，解得﹣1＜m＜1．
∴当m∈（﹣1，1）时，复数z对应的点在第三象限．
18．（12.00分）数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1=1，a n+1=（n=1，2，3…）．
证明：（1）数列{}是等比数列；
=4a n．
（2）S n
+1
=（n=1，2，3…），a n+1=S n+1﹣S n得
【解答】证明：（1）由a n
+1
S n=S n+1﹣S n，
=•S n，
∴S n
+1
∴=2，
∴数列{}是等比数列；
（2）由（1）知，数列{}的公比是2，
则=4=•，
=4a n．
∴S n
+1
19．（12.00分）已知a，b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a ＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）
【解答】证明：∵b a＞0，a b＞0，
∴要证：b a＞a b只要证：alnb＞blna，
只要证＞．（∵a＞b＞e），
设f（x）=，
∴f′（x）=，
∴当x＞e时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（e，+∞）上是单调递减．
∴当a＞b＞e时，有f（b）＞f（a），
即＞，
∴b a＞a b．
20．（12.00分）求由抛物线y=﹣x2+4x﹣3与它在点A（0，﹣3）和点B（3，0）的切线所围成的区域的面积．
【解答】解：y'=﹣2x+4，k1=y'（0）=4，k2=y'（3）=﹣2，
所以过点A（0，﹣3）和点（3，0）的切线方程分别是y=4x﹣3和y=﹣2x+6，两条切线的交点是，围成的区域被直线x=分成了两部分，分别计算再相加，得：
S=+=（2x2﹣3x）[﹣+（﹣x2+6x）[﹣
=，
即所求区域的面积是．
21．（12.00分）已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数，又．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）=3ax2+2bx+c，由已知f’（0）=f’（1）=0，
即，解得，
则f’（x）=3ax2﹣3ax，，解得：a=﹣2，
函数的解析式为：f（x）=﹣2x3+3x2．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即﹣2x3+3x2﹣x≤0，
则x（2x﹣1）（x﹣1）≥0，
求解不等式可得：或x≥1，
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立
∴．
22．（12.00分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3．
（1）若f（1）=﹣5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（1）=﹣5，0﹣a﹣3=﹣5，解得a=2．
∴f（x）=2lnx﹣2x﹣3．
∴f′（x）=﹣2=，（x＞0）．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）∵f（x）=alnx﹣ax﹣3，∴f′（x）=﹣a．
由题意可得：f′（2）=﹣a=tan45°=1，解得a=﹣2．
∴f（x）=﹣2lnx+2x﹣3．f′（x）=﹣+2．
g（x）=x3+x2[f′（x）+]=x3+x2=x3+x2﹣2x，
∴g′（x）=3x3+（m+4）x﹣2．g′（0）=﹣2．
函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，
∴，由题意可知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立．
∴3t2+（m+4）t﹣2＜0，则﹣（m+4）＞3t﹣对任意的t∈[1，2]成立．
又3t﹣在t∈[1，2]为增函数，则﹣（m+4）＞6﹣1，∴＜m＜﹣9．。