【初三数学】泉州市九年级数学上(人教版)第24章圆检测试题(解析版)

人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(9)
一．解答题
1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E 是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切．
（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．
4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（Ⅰ）求证：AD平分∠BAC；
（Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
6．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB 于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，∠ABC＝30°，求阴影部分面积．
8．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）
9．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．
10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN 交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；
（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；
（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
13．如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CO交AB于点，其中AC＝AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．
（1）求证：CD∥BM；
（2）连接OE交CD于点G，若DE＝2，AB＝4，求OG的长．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．
参考答案一．解答题
1．（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
2．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
3．（1）证明：如图1，连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED，
∵AD＝AG，
∴∠D＝∠G，
∴∠OED＝∠G，
∴OE∥AG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝90°，
∵OE∥AG，
∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，
∴CH＝，
∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴，
在Rt△OHC中，
OC＝＝＝4，
∵OA＝AC＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
＝＝．
∴S
扇形OAC
4．（Ⅰ）证明：连OD，如图，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴OD∥AC．
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3．
∴∠1＝∠2，
即AD平分∠BAC；
（Ⅱ）解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，即．
解得AC＝．
5．（1）证明：连接OE，如图，
∵AC为切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），
∴BC＝BH；
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝3，
设OE＝r，则OA＝5﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，解得r＝，
∴AO＝5﹣r＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
6．（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
∵∠ODE＝∠OED，
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OD＝OD，OC＝OC，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
∴∠ODA＝90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，∴AB•AE＝k，
如图2，连接DB，
∵EB是⊙O的直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE+∠EDO＝90°，∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠ADE＝∠EBD，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AE•AB，
∵，
∴，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴x
1＝3，x
2
＝1，
∴AE＝1，AB＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
∴⊙O的半径为1．
∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，
∴DC＝BC，
设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，∴，
解得：x ＝
．
∴． 7．（1）证明：连接OD ，如图所示．：
在Rt △ADE 中，点O 为AE 的中心，
∴DO ＝AO ＝EO ＝AE ，
∴点D 在⊙O 上，且∠DAO ＝∠ADO ．
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠CAD ＝∠DAO ，
∴∠ADO ＝∠CAD ，
∴AC ∥DO ，
∵∠C ＝90°，
∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC ，
∵OD 为半径，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵⊙O 的直径为4，
∴AE ＝4，DO ＝AO ＝EO ＝AE ＝2，
∵∠ABC ＝30°，
∴∠CAD ＝∠DAO ＝30°，
∴CD ＝AD ，DE ＝AE ＝2，AD ＝
＝＝2， ∴CD ＝，AC ＝
＝＝3， ∵tan ∠ABC ＝
， ∴BC ＝＝＝3，
∴阴影部分面积＝S △ABC ﹣S 梯形ODCA ﹣S 扇形ODE ＝AC •BC ﹣（OD +AC ）•CD ﹣＝×3×3﹣（2+3）×﹣＝2﹣．
8．（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC切⊙O于点A
∴CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABD＝90°，
而∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠DAB＝∠BED，
∴∠C＝∠BED；
（2）解：连接OD，如图，
∵∠BED＝∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠BED＝100°，
∴的长度＝＝．
9．（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵EC⊥AO，
∴∠ACE＝90°，
∴∠A+∠AEC＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBA+∠DBE＝90°，
∴∠AEC＝∠DBE，
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接OE，
∵OA＝OB，E是AB的中点，
∴∠OEB＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠OBE＝30°，
∴BE＝DE＝，
∴OB＝＝＝2．
10．解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠DOB＝60°
∵∠ABD＝30°，
∴∠ODB＝90°
∴OD⊥BD．
∵点D为⊙O上一点，
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°．
∵OA＝5，
∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为．11．（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BA C＝30°，
∴BD＝AB＝＝4．
12．（1）证明：连接FO，
∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA，
∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN，
∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，
∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°，
∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，
设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，
由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，
解得：r＝，
∴圆O的直径为25；
（3）∵CH＝DH＝12，
∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8，
∴CN＝AC＝15，
∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，
∴△FND∽△CNA，
∴，
∵AN＝3，
∴FN＝．
13．（1）证明：∵AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BM，
∵AC＝AD，
∴＝，
∴AB⊥CD，
∴CD∥BM；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AE，
∵AB⊥BE，
∴AB2＝AD•AE，
∴（4）2＝AD（AD+2），
∴AD＝8（负值舍去），
∴AE＝10，
∴BE＝＝＝2，
∴OE＝＝2，
∵DF⊥AB，BE⊥AB，
∴DF∥BE，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝AF﹣OA＝，
∵FG∥BE，
∴＝，
∴＝，
∴OG＝．
14．证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连结DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴，即，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，
∴，
∴OA＝，
∴AF＝．
15．解：（1）连接DC，
∵＝，
∴∠DCA＝∠DOA，
∵∠ADQ＝∠DOQ，
∴∠DCA＝∠ADQ，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，∴∠ADQ+∠ADO＝90°，
∴DP是⊙O切线；
（2）∵∠C＝90°，OC为半径．
∴PC是⊙O切线，
∴PD＝PC，
连接OP，
∴∠DPO＝∠CPO，
∴OP⊥CD，
∴OP∥AD，
∵AQ＝AC＝2OA，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴OP＝6，
∵OP是△ACB的中位线，
∴AB＝12，
∵CD⊥AB，∠C＝90°，
∴BC2＝BD•BA＝96，
∴BC＝4，
∴BP＝2．
人教新版九年级上学期第24章《圆》单元测试卷（含详解）一．选择题
1．下随有关圆的一些结论：
①任意三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，
④圆内接四边形对角互补
其中错误的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）
A．20°B．30°C．40°D．70°
3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cm
C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm
4．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO ＝（）
A．90°B．110°C． 120°D．165°
5．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）
A．πB． +C．D． +
6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（）
A．1 B．C．D．
7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）
A． cm B．3cm C． cm D．2cm
8．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB ＝4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
9．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）
A．20°B．70°C．30°D．90°
10．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝3，则的弧长为（）
A．B．πC．D．3
12．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）
A．4 B．2C．4D．值不确定
二．填空题
13．把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是．
14．（1）已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．
（2）等边△ABC的边长为10cm，则它的外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．
15．在圆内接四边形ABCD中，弦AB＝AD，AC＝2016，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为．
16．已知⊙O的半径为1cm，弦AB＝cm，AC＝cm，则∠BAC＝．
17．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为．
三．解答题
18．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°．（1）求∠B的度数；
（2）若PC＝2，求BC的长．
19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D 作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．
20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点
E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
21．某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线
于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分图形的周长和面积．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
2．解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝40°，
∵∠BOC与∠BDC都对，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故选：A．
3．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是
2.5cm．
故选：D．
4．解：∵OA＝OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，
∵∠ABC＝65°＝∠ABO+∠OBC，
∴∠BAO+∠BCO＝65°，
∵∠ADC＝65°，
∴∠DAO+∠DCO
＝360°﹣（∠ADC+∠BAO+∠BCO+∠ABC）
＝360°﹣（65°+65°+65°）
＝165°，
故选：D．
5．解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC＝，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S
△AOC ＝S
△BOC
，OA＝，
∴S
阴影部分＝S
扇形OAC
＝＝π．
故选：A．
6．解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1＝30°（如图），
∴a＝2cos∠1＝，
∴a＝2．
故选：D．
7．解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠PAO＝90°，
在直角△APO中，OA＝＝2，∵AB⊥OP，
∴AD＝BD，∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠PAO＝90°，
∵∠AOP＝∠DOA，
∴△APO∽△DAO，
∴＝，即＝，
解得：AD＝3（cm），
∴BD＝3cm．
故选：B．
8．解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BF，∵CF＝BF，
∴AC＝AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
易证△CEF≌△BOF，
∴S
阴＝S
扇形OBF
＝＝，
故选：D．
9．解：连接AC，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．
故选：A．
10．解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠DBC＝70°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠ODA＝∠BDC＝70°，
∴∠OCB＝40°，
故选：C．
11．解：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD，
∵AB＝BE＝CD＝3，
∴AB＝BE＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴的弧长为＝π，
故选：B．
12．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA＝∠ABD．
∵∠ADG＝30°，
∴∠ABD＝30°．
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形．
∴AD＝OA＝4．
同理可得：BC＝4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴＝，＝．
∴+＝+＝1．
∴+＝1．
∴PE+PF＝4．
∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝5，
所以圆锥的高＝＝．
故答案为．
14．解：（1）如果设这个直角三角形的直角边是a，b，斜边是c，那么由题意得：S
＝ab＝12，a+b+c＝12，
△
∴ab＝24，a+b＝12﹣c，
根据勾股定理得
a2+b2＝c2，
（a+b）2﹣2ab＝c2，
（12﹣c）2﹣48＝c2，
解得c＝，
所以直角三角形外接圆的半径是cm；
设内切圆的半径是r，则×12r＝12，
解得：r＝cm．
故答案是：，；
（2）连接OC和OD，如图：
由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点
所以OD⊥BC，∠OCD＝30°，OD即为圆的半径．
又由BC＝10cm，则CD＝5cm
在直角三角形OCD中：＝tan30°
代入解得：OD＝CD＝，
则CO＝×10＝；
故答案为：，．
15．解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
∵∠ADF+∠ABC＝180（圆的内接四边形对角之和为180），∠ABE+∠ABC＝180，∴∠ADF＝∠ABE．
∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF．
又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）．
∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝30°，
∴CF＝1008，AF＝，
＝2×CF×AF＝88144．
∴四边形ABCD的面积＝2S
△ACF
故答案为：88144．
16．解：当圆心O在弦AC与AB之间时，如图（1）所示，
过O作OD⊥AC，OE⊥AB，连接OA，
由垂径定理得到：D为AB中点，E为AC中点，
∴AE＝AC＝cm，AD＝AB＝cm，
∴cos∠CAO＝，cos∠BAO＝＝，
∴∠CAO＝45°，∠BAO＝30°，
此时∠BAC＝∠CAO+∠BAO＝45°+30°＝75°；
当圆心在弦AC与AB一侧时，如图（2）所示，
同理得：∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝45°﹣30°＝15°，
综上，∠BAC＝15°或75°．
故答案为：15°或75°．
17．解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧AD的中点，
∴∠BOD＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，
又∵OA＝OA′＝3，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
18．解：（1）∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠P＝30°，
∴∠POA＝60°，
∴∠B＝∠POA＝×60°＝30°，
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°且∠B＝30°，
∴BC＝AC，
设OA＝OB＝OC＝x，
在Rt△AOP中，∠P＝30°，
∴PO＝2OA，
∴2+x＝2x，x＝2．即OA＝OB＝2．
又在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∴BC＝tan60°•AC＝AC＝2．
19．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°．
∵BD＝CD，OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD＝∠ODF＝90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴＝＝，
∵FC＝1，
∴EC＝2，
∵OD＝AC＝2，
∴AC＝4，
∴AE＝EC＝2，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC＝4，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵OD∥AC，
∴∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴的长：＝．
20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
21．解：如图所示：
连接OC，
∵OA＝AE＝0.5m，
∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，
∴BC＝＝＝3.2＞3m ∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．
22．（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1
∴AO＝2；
∴AF＝即AE＝；
∴；
∵∠AOE＝120°，AO＝2；
∴；
∴S
＝．
阴影
23．解：（1）设CD交AB于E．
∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，
∵CD⊥AB，CD＝2，
∴CE＝ED＝，
∴OC＝EC÷os30°＝2，
∴AB＝2OC＝4．
（2）连接BC，OD，
∵∠CBO＝∠BOD＝60°，
∴BC∥OD，
∴S
△BCD ＝S
△BCO
，
∴S
阴＝S
扇形OBC
＝＝π，
阴影部分的周长＝2+2+＝2+2+π．24．（1）证明：
∵AH＝AC，AF平分线∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，∴∠HAF＝∠BCE，
∵E为的中点，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠E BD，
∴BE∥AF；
（2）解：连接OH、CD．
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．
25．证明：（1）∵AC平分∠BCD
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AE∥BC
∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD
∴AE＝CE，且AE＝EF
∴AE＝CE＝EF
∴△CAF是直角三角形
∴∠CAF＝90°
∴AF是⊙O的切线
（2）连接AD，
∵AC是直径
∴∠ABC＝90°＝∠ADC
∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°
∴△ABC≌△ADC（AAS）
∴AB＝AD＝12，BC＝CD
在Rt△AED中，DE＝＝5
∵AE＝CE＝EF＝13
∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，
∵AE∥BC
∴＝
∴EG＝9
∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4
人教版九年级上册第二十四章《圆》培优练习卷（含答案）
一．选择题
1．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π
2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长
是（）
A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣6
3．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）
A．2πB．3πC．4πD．π
4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）
A．55°B．70°C．110°D．125°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）
A．6 B．7 C．7D．12
7．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）
A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16
8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE ＝3，则EG的长为（）
A．B．C．D．
9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）
A．8cm B．6cm C．3cm D．4cm
10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）
A．8.5 B．5C．4D．
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）
A．24πB．20πC．18πD．6π
12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，CD＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
二．填空题
13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角
度数是．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．
15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．
16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．
17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．
18．在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为．
三．解答题
19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．。