湖南省2012届高三数学总复习一轮 第2单元第5讲 函数的性质(一)单调性精品课件 理 新课标
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x1 x2
f x1 f x2 0 f x在区间[a，b]上是④ ______.
x1 x2 其几何意义：⑤ ____________________________.
2(x1 x2 )[ f x1 f x2 ] 0 f x在区间[a，b]上是 增函数；(x1 x2 )[ f x1 f x2 ] 0 f x在区间[a，b]
y f g x 由 内 、 外 两 层 (分 别 是 u g x 和 y f u )函
数 构 成 ， 其 单 调 性 可 按 ⑥ __________的 原 则 进 行 判 断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函
数 或 同 是 减 函 数 ， 则 f g x 为 增 函 数 ； 若 是 一 增 一 减 ， 则 f g x 为 减 函 数 ．
因 为 f x为 奇 函 数 ，
所 以 f x 在 (－ ， - a ]和 [ a， ＋ )上 是 增 函 数 ，
在 [－ ，0 ) 和 ( 0，]上 是 减 函 数 ．
评析：利用定义证明单调性是高考考查的重点 知识，随着教材的改革，证明单调性也可用导 数法．
素材2.已知函数f x 3ax (a 1)．
2“. a 1是 函 数 f x | x a | 在 区 间
[1， ＋ )上 为 增 函 数 ” 的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解 析 ： 函 数 f x | x a |的 图 象
如 图 所 示 ， 其 单 调 增 区 间 为 [ a， ＋ )．
【要点指南】 ①；②；③增函数；④减函数； ⑤增(或减)函数图象上任意两点的连线 斜率都大于(或小于)零；⑥同增异减
题型一 判断函数的单调性，求函数的单调区间
例1.1下 列 函 数 中 ， 在 区 间 0,1上
单调递减的是 __________．
① f x sin x;
② f x x＋ 1 ；
解析： 方法2：导数法． 由方法1知，a 3.
由f x 1 a ＝ a 1 0，
a 1 2 3ax 2a 1 3ax 得a(a 1) 0，所以a 0或a 1. 故a的取值范围为{a | a 0或1 a 3}．
题型三 抽象函数的单调性及其应用
评析：(1)①求函数的单调区间或判断函数的单调 性，一般有如下方法：图象法、定义法、导数法． ②复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，要 特 别注意的是内、外层函数所在区间的对应关系． (2)用定义法证明函数的单调性一般步骤为： 区间内取值(设数)→作差→变形→定号→下结论 要注意的是：作差是判断大小常用方法，根据题设 特点亦可采用其他方法比较．变形是解题关键， 目标是为了定号明确，故常用手段与方法是配方、因 式分解等．
所 以 f x 在[ a， ＋ )上 是 增 函 数 ．
因为f x为奇函数，
所 以 f x 在 (， a ]和[ a， ＋ )上 是 增 函 数 ，
在[ a，0)和(0， a ]上 是 减 函 数 ．
解 析 ： 方 法 2： 导 数 法 ． 由 于 函 数 的 定 义 域 为
{ x | x R 且 x 0}， 且 f ( x ) - f x ， 所 以 函 数 f x
解
析
： 2 因
为
x1
x
，
2
所
以
x1
x2
0.
又 x1
x12＋ 1， x 2
x
2＋
2
1，
所
以
x
＋
1
x2
x
2 1
＋
1＋
x
2 2
＋
1，
所以
x
＋
1
x2
1，
x12＋ 1＋
x
2＋
2
1
所 以 f x1 f x2 0， 即 f x1 f x2 ，
所 以 f x=-x在 R上 是 减 函 数 ．
题型二 含参数函数的单调性
例 2 .讨 论 函 数 fx x ＋ a a 0 的 单 调 性 ．
x
分析：注意到该函数解析式的结构特点是 “增函数＋减函数”的形式，不能直接确定 增减性，需一边分析、讨论，一边论证， 所以可考虑使用函数单调性的定义或求导 数的办法来判断．
解 析 ： 方 法 1： 定 义 法 ． 由 于 函 数 的 定 义 域 为
当x1 x2时，1若都有f x1 ①______ f x2 ，则称f x 在区间D上是增函数；2若都有f x1 ②______ f x2 ， 则称f x在区间D上是减函数．它的等价形式，即若
x1、x2 [a，b]，那么
1 f x1 f x2 0 f x在区间[a，b]上是③ ____；
为 奇 函 数 ， 因 此 可 先 讨 论 f x 在 (0， ＋ )上 的 单 调 性 ．
对
函
数
求
导
数
，
得
f
x
1
a x2
令
f x
0，
即 1－
a x2
0，
解
得
x
a，
所 以 f x 在 [ a， ＋ )上 是 增 函 数 ． 令 f x 0，
可 得 0 x a， 所 以 f x 在 (0， a ]上 是 减 函 数 ．
4.若 二 次 函 数 fxx2(a1)x＋ 5在 区 间 (1， 1)上
2 是 增 函 数 ， 则 a的 取 值 范 围 是 .
解 析 ：依 题 意 ， (1， 1)是 fx增 区 间 的 一 个 子 集 区 间 ，
2 则 -a11， 即 a2， 故 a的 取 值 范 围 为 (， 2]．
22
其递减区间为0,1，故选B.
解 析 ： 2 函 数 f x 的 定 义 域 为 R .
设
x1，
x2
R，
且
x1
x
，
2
则 f x1 f x2 x12＋1 x1 x22＋1＋ x2
x12 x12＋1＋
x
2 2
x 22＋1
( x1
x2
)
( x1 x2 ) (
x1＋ x2
1)．
x12＋1＋ x22＋1
当 a 1时 ， 函 数 f x | x a |
在 区 间 [1， ＋ )上 为 增 函 数 ，
反 之 若 f x | x a |在 区 间
[1， ＋ )上 为 增 函 数 ， 则 a 1 .
于 是 可 得 “a 1?是 “函 数 f x | x a | 在
区 间 [1， ＋ )上 为 增 函 数 ?的 充 分 不 必 要 条数 ， 得 (3a 1) 1＋4a log a 1，
即7 a 1 0， 所 以 a 1 . 7
综 上 ， a的 取 值 范 围 是[ 1 ，1 )， 选 C . 73
易 错 点 ： 忽 视 x 1 与 x 1 之 间 的 递 减 关 系 ， 及 (3 a 1 ) 1 ＋ 4 a lo g a1 的 条 件 ．
1 x 0
素材1：1设函数f x 0 x 0，gx x2 f (x1)，
1 x 0
则函数gx的递减区间是
A．(，0] B．0,1 C．[1，＋) D．[1,0]
2证明：函数f (x) x2＋1 x在定义域上是减函数．
x2 (x0)
解析：1gx0 (x0) ，其图象如图所示．
x2 (x0)
a 1
1若a 0，则f x的定义域为
；
2若f x在0,1上是减函数，则实数a的
取值范围是
.
解 析 ： 1由 3 ax 0且 a 0， 得 x 3 .
a
2 方 法 1： f x 在 0 ,1 上 有 意 义 ， 故 3 a x在 0 ,1 上 恒
大 于 或 等 于 0， 只 需 3 a 0， 所 以 a 3.
x
0，
则 f x 在 0,1上 递 减 ；
对 于 ③ ， 令 u x＋ 3， 在 0 ,1 上 递 增 ，
而 y log u为 减 函 数 ， 由 复 合 函 数 单 调 性 知 ，
f x lo g 1 ( x＋ 3)在 0,1 上 单 调 递 减 ．
2
综 上 可 知 ， ② ③ 在 0,1上 为 减 函 数 ．
(影 响 f x 单 调 性 的 两 大 要 素 为 ： ① a 1的 符 号 ， 即 a 与
1的 大 小 ； ② a 与 0的 大 小 ． 故 需 分 类 讨 论 )
当 a 0时 ， f x 在 0,1上 为 减 函 数 ； 当 a 0时 ， f x 在 0,1上 无 单 调 性 ； 当 0 a 1时 ， f x 在 0 ,1 上 为 增 函 数 ； 当1 a 3时 ， f x 在 0,1上 为 减 函 数 ． 综 上 可 知 ， a ( ，0 ) 1, 3 ．
5.1函 数 fx2x23x＋ 1的 单 调 递 增 区 间 是 2函 数 fx|2x23x＋ 1|的 单 调 递 增 区 间 是
(3)f(x) 2x23x＋ 1的 单 调 递 增 区 间 是
； ；
.
解 析 ： (1 )显 然 递 增 区 间 为 [3 ， ＋ )． 4
解析： 2函数f x | 2x2 3x＋1 |的图象如图，
x
③ f x log 1 ( x＋3); ④ f x | x＋1 | .
2
2 求 证 ： 函 数 f x x 3＋ x在 ( ， ＋ )
上是增函数．
解 析 ： 1结 合 基 本 函 数 性 质 及 图 象
分析可知：①、④不满足题意．
对
于
②
，
f
x
1
1 x2
，
当
x
0 ,1时
，
f
3.f (x) lo3gaax1x＋4a
x1 是(，＋)上的 x1
减函数，那么a的取值范围是
A． 0,1
B． (0,1) 3
C． [1,1) 73
D． [1,1) 7
解析： 因为f x是减函数，
所 以 y (3a 1) x＋4a和 y log a x都 是 减 函 数 ， 所 以3a 1 0， 且 0 a 1， 即0 a 1 .
递增区间是[ 1 ，3 ]和[1，＋)． 24
3 对于f x 2x2－3x＋1，
定义域是[1，＋) (，1 ]． 2
利用复合函数的单调性知， 递 增 区 间 是[1， ＋ )．
1．函数的单调性及其几何意义
一般的，设函数f x的定义域为I：如果对于定义域
I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，
{ x | x R 且 x 0}， 且 f ( x ) - f x ，
所 以 函 数 f x为 奇 函 数 ， 因 此 可 先 讨 论
f x 在 (0， ＋ )上 的 单 调 性 ．
设
0
x1
x
，
2
则
f
x1
f
x2
x
＋
1
a x1
x2
a x2
( x1
x 2 )(1
a )． x1 x2
当 0 x1 x2
a 时 ， 恒 有 a 1， x1 x2
此 时 f x1 f x2 0， 即 f x1 f x2 ．
所 以 f x 在 (0， a ]上 是 减 函 数 ．
解析：
当
a
x1
x
时
2
，
恒
有
0
a x1 x2
1，
此 时 f x1 f x2 0， 即 f x1 f x2 ，
上是减函数．
2． 单 调 函 数 及 单 调 区 间
如 果 函 数 y f x 在 区 间 D 上 是 增 函 数 (或 减 函 数 )， 我 们就说f x在这个区间上具有严格的单调性，区间D 叫 做 f x 的 增 区 间 (或 减 区 间 )， 统 称 为 单 调 区 间 ．
3． 复 合 函 数 的 单 调 性 复 合 函 数
解析： 2 证法1：任取x1 x2，则x1 x2 0， 所以f x1 f x2 ( x＋x1 ) ( x＋x2 )
( x x)＋( x1 x2 ) ( x1 x2 )( x＋x1x2＋x＋1)
( x1 x2 )[( x1＋x2 )2＋x＋1] 0，即f x1 f x2 ， 所以f x x3＋x在(，＋)上是增函数． 证法 2：因为f x 3x2＋1 0在(，＋)上 恒成立，故f x在R上为增函数．
理解函数的单调性及其几何意义，掌握判 断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单 调性解题．
1 .(2010 惠州模拟)给出下列四个函数：
①f x x＋1；②f x 1；
x
③f x x2；④f x sin x.
其中在(0，＋)上是增函数的有 A
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
f x1 f x2 0 f x在区间[a，b]上是④ ______.
x1 x2 其几何意义：⑤ ____________________________.
2(x1 x2 )[ f x1 f x2 ] 0 f x在区间[a，b]上是 增函数；(x1 x2 )[ f x1 f x2 ] 0 f x在区间[a，b]
y f g x 由 内 、 外 两 层 (分 别 是 u g x 和 y f u )函
数 构 成 ， 其 单 调 性 可 按 ⑥ __________的 原 则 进 行 判 断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函
数 或 同 是 减 函 数 ， 则 f g x 为 增 函 数 ； 若 是 一 增 一 减 ， 则 f g x 为 减 函 数 ．
因 为 f x为 奇 函 数 ，
所 以 f x 在 (－ ， - a ]和 [ a， ＋ )上 是 增 函 数 ，
在 [－ ，0 ) 和 ( 0，]上 是 减 函 数 ．
评析：利用定义证明单调性是高考考查的重点 知识，随着教材的改革，证明单调性也可用导 数法．
素材2.已知函数f x 3ax (a 1)．
2“. a 1是 函 数 f x | x a | 在 区 间
[1， ＋ )上 为 增 函 数 ” 的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解 析 ： 函 数 f x | x a |的 图 象
如 图 所 示 ， 其 单 调 增 区 间 为 [ a， ＋ )．
【要点指南】 ①；②；③增函数；④减函数； ⑤增(或减)函数图象上任意两点的连线 斜率都大于(或小于)零；⑥同增异减
题型一 判断函数的单调性，求函数的单调区间
例1.1下 列 函 数 中 ， 在 区 间 0,1上
单调递减的是 __________．
① f x sin x;
② f x x＋ 1 ；
解析： 方法2：导数法． 由方法1知，a 3.
由f x 1 a ＝ a 1 0，
a 1 2 3ax 2a 1 3ax 得a(a 1) 0，所以a 0或a 1. 故a的取值范围为{a | a 0或1 a 3}．
题型三 抽象函数的单调性及其应用
评析：(1)①求函数的单调区间或判断函数的单调 性，一般有如下方法：图象法、定义法、导数法． ②复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，要 特 别注意的是内、外层函数所在区间的对应关系． (2)用定义法证明函数的单调性一般步骤为： 区间内取值(设数)→作差→变形→定号→下结论 要注意的是：作差是判断大小常用方法，根据题设 特点亦可采用其他方法比较．变形是解题关键， 目标是为了定号明确，故常用手段与方法是配方、因 式分解等．
所 以 f x 在[ a， ＋ )上 是 增 函 数 ．
因为f x为奇函数，
所 以 f x 在 (， a ]和[ a， ＋ )上 是 增 函 数 ，
在[ a，0)和(0， a ]上 是 减 函 数 ．
解 析 ： 方 法 2： 导 数 法 ． 由 于 函 数 的 定 义 域 为
{ x | x R 且 x 0}， 且 f ( x ) - f x ， 所 以 函 数 f x
解
析
： 2 因
为
x1
x
，
2
所
以
x1
x2
0.
又 x1
x12＋ 1， x 2
x
2＋
2
1，
所
以
x
＋
1
x2
x
2 1
＋
1＋
x
2 2
＋
1，
所以
x
＋
1
x2
1，
x12＋ 1＋
x
2＋
2
1
所 以 f x1 f x2 0， 即 f x1 f x2 ，
所 以 f x=-x在 R上 是 减 函 数 ．
题型二 含参数函数的单调性
例 2 .讨 论 函 数 fx x ＋ a a 0 的 单 调 性 ．
x
分析：注意到该函数解析式的结构特点是 “增函数＋减函数”的形式，不能直接确定 增减性，需一边分析、讨论，一边论证， 所以可考虑使用函数单调性的定义或求导 数的办法来判断．
解 析 ： 方 法 1： 定 义 法 ． 由 于 函 数 的 定 义 域 为
当x1 x2时，1若都有f x1 ①______ f x2 ，则称f x 在区间D上是增函数；2若都有f x1 ②______ f x2 ， 则称f x在区间D上是减函数．它的等价形式，即若
x1、x2 [a，b]，那么
1 f x1 f x2 0 f x在区间[a，b]上是③ ____；
为 奇 函 数 ， 因 此 可 先 讨 论 f x 在 (0， ＋ )上 的 单 调 性 ．
对
函
数
求
导
数
，
得
f
x
1
a x2
令
f x
0，
即 1－
a x2
0，
解
得
x
a，
所 以 f x 在 [ a， ＋ )上 是 增 函 数 ． 令 f x 0，
可 得 0 x a， 所 以 f x 在 (0， a ]上 是 减 函 数 ．
4.若 二 次 函 数 fxx2(a1)x＋ 5在 区 间 (1， 1)上
2 是 增 函 数 ， 则 a的 取 值 范 围 是 .
解 析 ：依 题 意 ， (1， 1)是 fx增 区 间 的 一 个 子 集 区 间 ，
2 则 -a11， 即 a2， 故 a的 取 值 范 围 为 (， 2]．
22
其递减区间为0,1，故选B.
解 析 ： 2 函 数 f x 的 定 义 域 为 R .
设
x1，
x2
R，
且
x1
x
，
2
则 f x1 f x2 x12＋1 x1 x22＋1＋ x2
x12 x12＋1＋
x
2 2
x 22＋1
( x1
x2
)
( x1 x2 ) (
x1＋ x2
1)．
x12＋1＋ x22＋1
当 a 1时 ， 函 数 f x | x a |
在 区 间 [1， ＋ )上 为 增 函 数 ，
反 之 若 f x | x a |在 区 间
[1， ＋ )上 为 增 函 数 ， 则 a 1 .
于 是 可 得 “a 1?是 “函 数 f x | x a | 在
区 间 [1， ＋ )上 为 增 函 数 ?的 充 分 不 必 要 条数 ， 得 (3a 1) 1＋4a log a 1，
即7 a 1 0， 所 以 a 1 . 7
综 上 ， a的 取 值 范 围 是[ 1 ，1 )， 选 C . 73
易 错 点 ： 忽 视 x 1 与 x 1 之 间 的 递 减 关 系 ， 及 (3 a 1 ) 1 ＋ 4 a lo g a1 的 条 件 ．
1 x 0
素材1：1设函数f x 0 x 0，gx x2 f (x1)，
1 x 0
则函数gx的递减区间是
A．(，0] B．0,1 C．[1，＋) D．[1,0]
2证明：函数f (x) x2＋1 x在定义域上是减函数．
x2 (x0)
解析：1gx0 (x0) ，其图象如图所示．
x2 (x0)
a 1
1若a 0，则f x的定义域为
；
2若f x在0,1上是减函数，则实数a的
取值范围是
.
解 析 ： 1由 3 ax 0且 a 0， 得 x 3 .
a
2 方 法 1： f x 在 0 ,1 上 有 意 义 ， 故 3 a x在 0 ,1 上 恒
大 于 或 等 于 0， 只 需 3 a 0， 所 以 a 3.
x
0，
则 f x 在 0,1上 递 减 ；
对 于 ③ ， 令 u x＋ 3， 在 0 ,1 上 递 增 ，
而 y log u为 减 函 数 ， 由 复 合 函 数 单 调 性 知 ，
f x lo g 1 ( x＋ 3)在 0,1 上 单 调 递 减 ．
2
综 上 可 知 ， ② ③ 在 0,1上 为 减 函 数 ．
(影 响 f x 单 调 性 的 两 大 要 素 为 ： ① a 1的 符 号 ， 即 a 与
1的 大 小 ； ② a 与 0的 大 小 ． 故 需 分 类 讨 论 )
当 a 0时 ， f x 在 0,1上 为 减 函 数 ； 当 a 0时 ， f x 在 0,1上 无 单 调 性 ； 当 0 a 1时 ， f x 在 0 ,1 上 为 增 函 数 ； 当1 a 3时 ， f x 在 0,1上 为 减 函 数 ． 综 上 可 知 ， a ( ，0 ) 1, 3 ．
5.1函 数 fx2x23x＋ 1的 单 调 递 增 区 间 是 2函 数 fx|2x23x＋ 1|的 单 调 递 增 区 间 是
(3)f(x) 2x23x＋ 1的 单 调 递 增 区 间 是
； ；
.
解 析 ： (1 )显 然 递 增 区 间 为 [3 ， ＋ )． 4
解析： 2函数f x | 2x2 3x＋1 |的图象如图，
x
③ f x log 1 ( x＋3); ④ f x | x＋1 | .
2
2 求 证 ： 函 数 f x x 3＋ x在 ( ， ＋ )
上是增函数．
解 析 ： 1结 合 基 本 函 数 性 质 及 图 象
分析可知：①、④不满足题意．
对
于
②
，
f
x
1
1 x2
，
当
x
0 ,1时
，
f
3.f (x) lo3gaax1x＋4a
x1 是(，＋)上的 x1
减函数，那么a的取值范围是
A． 0,1
B． (0,1) 3
C． [1,1) 73
D． [1,1) 7
解析： 因为f x是减函数，
所 以 y (3a 1) x＋4a和 y log a x都 是 减 函 数 ， 所 以3a 1 0， 且 0 a 1， 即0 a 1 .
递增区间是[ 1 ，3 ]和[1，＋)． 24
3 对于f x 2x2－3x＋1，
定义域是[1，＋) (，1 ]． 2
利用复合函数的单调性知， 递 增 区 间 是[1， ＋ )．
1．函数的单调性及其几何意义
一般的，设函数f x的定义域为I：如果对于定义域
I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，
{ x | x R 且 x 0}， 且 f ( x ) - f x ，
所 以 函 数 f x为 奇 函 数 ， 因 此 可 先 讨 论
f x 在 (0， ＋ )上 的 单 调 性 ．
设
0
x1
x
，
2
则
f
x1
f
x2
x
＋
1
a x1
x2
a x2
( x1
x 2 )(1
a )． x1 x2
当 0 x1 x2
a 时 ， 恒 有 a 1， x1 x2
此 时 f x1 f x2 0， 即 f x1 f x2 ．
所 以 f x 在 (0， a ]上 是 减 函 数 ．
解析：
当
a
x1
x
时
2
，
恒
有
0
a x1 x2
1，
此 时 f x1 f x2 0， 即 f x1 f x2 ，
上是减函数．
2． 单 调 函 数 及 单 调 区 间
如 果 函 数 y f x 在 区 间 D 上 是 增 函 数 (或 减 函 数 )， 我 们就说f x在这个区间上具有严格的单调性，区间D 叫 做 f x 的 增 区 间 (或 减 区 间 )， 统 称 为 单 调 区 间 ．
3． 复 合 函 数 的 单 调 性 复 合 函 数
解析： 2 证法1：任取x1 x2，则x1 x2 0， 所以f x1 f x2 ( x＋x1 ) ( x＋x2 )
( x x)＋( x1 x2 ) ( x1 x2 )( x＋x1x2＋x＋1)
( x1 x2 )[( x1＋x2 )2＋x＋1] 0，即f x1 f x2 ， 所以f x x3＋x在(，＋)上是增函数． 证法 2：因为f x 3x2＋1 0在(，＋)上 恒成立，故f x在R上为增函数．
理解函数的单调性及其几何意义，掌握判 断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单 调性解题．
1 .(2010 惠州模拟)给出下列四个函数：
①f x x＋1；②f x 1；
x
③f x x2；④f x sin x.
其中在(0，＋)上是增函数的有 A
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个