2020版高中数学人教版必修2高一数学第一章 空间几何体的表面积与体积(课时作业) (2)

课时作业5　柱体、锥体、台体的表面积与体积
(二)
基础巩固
1．正方体全面积增大为原来的2倍，则它的体积增大为原来的( )
A ．2倍
B ．4倍
C.倍
D ．2倍
22解析：S 全＝6a 2，S ′全＝6a ′2＝2S 全，∴a ′＝a . 2V ＝a 3，V ′＝a ′3＝2a 3＝2V . 2
2答案：D
2．(2019年安徽高二模拟考试) 已知一个简单几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为( )
图1
A ．3π＋6
B ．6π＋6
C ．3π＋12
D. 12
解析： 由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为V ＝××π×32×4＋××3×3×4＝3π＋6，故选A. 14131312
答案： A
3．(2019年晋冀鲁豫高三月考) 若某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为(
)
图2
A.
B.
C ．2
D ．4
43
2
3
图3
解析：据三视图分析知，该几何体是如图3所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥C －ADE ，且D 是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积V ＝××2＝.
13(
12×2×2)
4
3
答案： A
4．(2019年重庆高二月考) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图4所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12. 6(立方寸)，则图中的x 的值为________．
图4
解析：由图可得π××x ＋3×1×(5.4－x )
(12)
2
＝12.6⇒x ＝1.6. 答案：1.6
5.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为________．
图5
解析：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，∴该几何体的体积为
V ＝π×12×2＋
×π×12×1×＝. 131213π6
答案：13π
6
能力提升
1．(2019年安徽高三检测) 一个三棱锥的三视图如图6所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为( )
图6
A．7 B．2C．3 D.
25
解析：由三视图可得三棱锥为如图7所示的三棱锥B1­ABD，其中底面三角形ABD是直角三角形，两直角边分别为AB＝1，AD＝3，BB1⊥底面ABD，且BB1＝2.
图7
结合图形可得最长的棱为DB 1＝＝2.故选B. 12＋（3）2＋2
22答案： B
2．(2019年山东高三模拟)如图8, 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图8所示，则这个四棱锥的体积为( )
图8
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析： 由三视图可知高为h ＝＝3，∴V ＝
××2（13）2－221312
×2×3＝2，应选B.
答案： B
3．在正方体ABCD －A 1
B 1
C 1
D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )
图9
A ．1∶1
B. 1∶
C. 1∶
D. 1∶2
23解析：设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的表面积为S 2＝6a 2，且三棱锥D 1­AB 1C 为各棱长均为a 的正四面体，其中一个面的面积为S ＝××a ×a ＝
21
2322232a 2，所以三棱锥
D 1­AB 1C 的表面积为S 1＝4×
a 2＝2a 2，所以三棱
32
3锥D 1­AB 1C 的体积与正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的表面积之比为S 1∶S 2＝1∶.故选C.
3答案：C
4．如图10，在正方体ABCD ­A 1B 1C
1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P ­BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )
图10
A ．1 B. 2C.
D ．2
3解析：设正方体棱长为1，则三棱锥P ­BCD 的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为×1×1＝；
121
2
三棱锥P ­BCD 的俯视图取最大面积时，P 在A 1处，俯视图面积
的最大值为1×1＝1，
故三棱锥P ­BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为2，故选D.
答案：D
5．如图11，三棱锥A ­BCD 中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且2AF ＝FD ，若三棱锥A ­BEF 的体积是2，则四棱锥B ­ECDF 的体积为________．
图11
解析：因为
＝＝，
S
△AEF
S
△
ACD 1
2AE ·AF ·sin A 12
AC ·AD ·sin A
16V 正＝6V A ­AEF ＝12，则V B ­ECDF ＝10. 答案：10
6．如图12，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为h 1，且h 1＝h ，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h 2，求h 2.
1
3
图12
解：因为＝＝，所以＝.倒置后的体积
V 圆锥SO
V 圆锥SO ′(2
3h h
)
3 8
27
V 水V 圆锥S ′O 11927关系为＝＝，所以h 2＝ ＝h .
V 水
V 圆锥S ′O 1h 23h 319273
19h 3273193
7．如图13，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点
E ，
F 分别在A 1B 1, D 1C 1上，A 1E ＝ D
1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
图13
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：
图14
(1)交线围成的正方形EHGF 如图14.
(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.
因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝＝6，AH ＝10，HB ＝6.
EH 2－EM 2
长方体被平面α分为两个高为10的直棱柱，其体积的比值为
9
7
. (
7
9
也正确)
拓展要求
1．(2019年安徽蚌埠高三第二次质量检查)如图15，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为(
)
图15
A ．15
B ．16
C. D. 503
533
解析：本题主要考查空间几何体的三视图与体积，考查空间想象能力．由三视图可知，该几何体是四棱锥P ­ABCD ，如图16所示，则该几何体的体积V ＝×(×4×4＋×2×2)×5＝.
13121250
3
图16
答案：C
2．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
解：如图17所示，在三棱台ABC ­A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3××(20＋30)h 0＝75h 0.
1
2
图17
上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝×(202＋302)＝32534
3
(cm 2)．
由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝325，
3
11所以h 0＝(cm)． 133
3又O ′D ′＝××20＝(cm), 13321033OD ＝××30＝5(cm)， 13323记棱台的高为h ，则h ＝O ′O ＝
h 02－（OD －O ′D ′）2＝ (1333)2 －(53－1033
)2 ＝4(cm)，
3由棱台的体积公式，可得棱台的体积 V ＝(S 上＋S 下＋) h 3
S 上S 下＝×(325＋×20×30) 43
333
4＝1 900(cm 3).。