【数学】辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟考试数学(文)试题含解析

高三模拟考试数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 .
故选：A
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意易知：，，
所以
故选：C
3. “常数是与的等比中项”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵常数是2与8的等比中项，
∴，解得．
∴“常数是2与8的等比中项”是“”的必要不充分条件．选B．
4. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到环）的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是
，故选A.
5. 已知是双曲线：（，）的一个焦点，点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设一条渐近线方程为，，则点到的一条渐近线的距离
，则双曲线的离心率，故选
C.........................
6. 等差数列，，，…的第四项等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，又，故
则数列前三项依次为，，，，从而第四项为
故选：A
7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知该几何体为一个长方体截去了两个半圆柱而形成的，则该几何体的表面积为
故选：D
8. 已知偶函数（，）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，又
∴，，又，∴
故，因此
故选：B
9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解程中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学中上第一道数列题，其规律是：偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以,其前项依次是，，，，，，，，，
，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）
A. 是偶数，
B. 是奇数，
C. 是偶数，
D. 是奇数，
【答案】D
【解析】根据偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以，可知第一个框应该
是“奇数”，执行程序框图，
结束，所以第二个框应该填，故选D.
10. 已知函数在其定义域上单调递减，则函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,即恒成立，结合导数的几何意义，可知选A
故选：A
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
11. 过双曲线：左焦点作圆：的切线，此切线与的左支、右支分别交于、两点，则线段的中点到轴的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为直线过双曲线左焦点，设直线为，因为与圆相切知，解得，当时不与双曲线右支相交，故舍去，所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得，所以，即中点的纵坐标为3，所以线段的中点到轴的距离为3，故选B.
12. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不妨设，则，得，
结合图象可知，则
故选：C
点睛：】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设向量，，，若，则实数__________．【答案】-6
【解析】∵，，∴
又，，
∴，解得-6
故答案为：-6
点睛：两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
14. 设，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
作出不等式组表示的可行域，如图，由可得，由图可知，当直
线过点时，取得最大值，此时，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15. 已知数列的前项和为，且，则__________．
【答案】14
【解析】由题意得．
答案：
16. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，，，，
为圆上的点，，，，分别以，，，为底边的等腰
三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】如图：
连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，则OI=，. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则，，解得，
外接球的体积
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】试题分析：
（1）将条件变形可得，利用余弦定理可得所证的结论．（2）当时，由（1）中的结论可得；再根据正弦定理可得，又又，根据面积公式可得结果．
试题解析：
（1）∵，
∴，
由余弦定理可得，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
由正弦定理得，
∴，
又，
∴.
18. “微信运动”是一个类似计步数据库的公众帐号，用户只需以运动手环或手机协处理器的运动教据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现，现随机选取朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下:
规定:人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.
（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列联表判断是否有的把握认为“评定类型与性别有关”；
附：
（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行在的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.
【答案】(1) 没有的把握认为“评定类型与性别有关”(2)
【解析】试题分析：（1）根据题意完成列联表，计算，根据表格数据进行判断；（2）设步行数在中的男性的编号为，，女性的编号为，，.所有情况包含10种请况，符合条件的有3种，从而得到选中的人中男性人数超过女性人数的概率
试题解析：
（1）根据题意完成下面的列联表：
根据列联表中的数据，得到
所以没有的把握认为“评定类型与性别有关”.
（2）设步行数在中的男性的编号为，，女性的编号为，，.
选取三位的所有情况为：，，，，，，
，共中情形.符合条件的情况有：，，共种情形.
故所求概率为.
19. 如图，在直角梯形中，，，且，，分别为线段，
的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析(2)2
【解析】试题分析：
（1）由折叠问题的特征可得，又，，故可得平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论．（2）过点作交于点，连结，结合条件可得可得，于是得到．然后根据条件求得，，然后根据
可求得点到平面的距离．
试题解析：
（1）证明：由题意可得，
∴，
又，，
∴平面.
∵平面，
∴平面平面．
（2）解：
过点作交于点，连结，则平面，
∵平面，
∴，
又，
∴平面，
又平面
∴．
于是可得，
∴ ，
∴,
∴．
设点到平面的距离为，
由，可得．
∵，
∴平面，
∴．
又,
∴．
又，
∴，
解得．
故点到平面的距离为2．
点睛：
（1）解决折叠性问题时首先要分清在折叠前后哪些量（位置关系或数量关系）发生了变化，哪些量没有发生变化．一般的结论是在折线同侧的量的关系在折叠前后不变，在折线两侧的量的关系在折叠前后改变．
（2）立体几何中求点到平面的距离时，可把所求的距离看作是一个三棱锥的高，利用可利用等体积法求解．
20. 已知椭圆：（）的离心率为，且点过.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），且直线，，的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析：
（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方
程根与系数的关系可得直线的斜率，再根据题意可得，根据此式可求得，为定值．
试题解析：
（1）由题意可得，解得．
故椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由，消去整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴．
设点的坐标分别为，
则，
∴．
∵直线的斜率成等比数列，
∴，
整理得，
∴，
又，所以，
结合图象可知，故直线的斜率为定值．
点睛：
（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线
等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．
（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21. 已知函数.
（1）证明：当时，函数在上是单调函数；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) 见解析(2)
【解析】试题分析：（1）函数在上是单调函数等价于证明恒为非负或恒为非正即可；（2）原问题等价于恒成立，令（），求函数的最小值即可.
试题解析：
（1），
令，则.
则当时，，当时，.
所以函数在取得最小值，.
故，即函数在上是单调递增函数.
（2）当时，，即
令（），则
令（），则.
当时，单调递增，.
则当时，，所以单调递减.
当时，，所以单调递增.
所以，所以.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，：（）.
（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；
（2）若直线的极坐标方程为（），设与的交点为、，与的交点为，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）根据，把圆的普通方程转化为极坐标方程，把的极坐标方程转化为普通方程；（2）利用极径与极角的几何意义表示的面积.
试题解析：
（1）因为圆的普通方程为，
把，代入方程得.
所以的极坐标方程为，
的平面直角坐标系方程为.
（2）分别将，代入，得，.
则的面积为.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得和互为相反数，求a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解之即可；
（2）因为存在，，使得成立.所以
.
试题解析：
（1）由题意可得，
当时，，得，无解.
当时，，得，即. 当时，，得.
综上，的解集为
（2）因为存在，，使得成立.
所以.
又，由（1）可知，则. 所以，解得.
故的取值范围为.
2018年高考考前猜题卷
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足i
i
i z 2|2|++=
，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．10
2．已知全集R U =，集合}012|{2
≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=
N M C U )(（ ）
A ．}1|{≤x x
B ．}121|{≤<-x x
C ．}12
1
|{<<-x x D ．}2
1
1|{<<-x x
3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π
-
B ．43
C ．6
3π D ．41
4．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交
于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+
5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）
A ．2-或2
B ．2-或2
C ．2-或2
D ．2-或2 6．已知函数)2
||,0)(3
sin()(π
ϕωπ
ω<
>+
=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，将函数)(x f y =的图象向左平移3
π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12
(
π
对称 B ．关于点)0,12
(π
-
对称
C ．关于直线12
π
=
x 对称 D ．关于直线12
π
-
=x 对称
7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）
A.
3
2 B.
43
C. 2
D. 4
11 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6
)2(x
x -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）
A ．160
B ．160-
C ．350
D ．320- 9．已知函数)0(2
1
2)(<-
=x x f x
与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
A ．)2,(--∞
B ．)2,(-∞
C ．)22,(--∞
D ．)2
2,
22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）
A ．π16
B ．π20
C ．π65
D ．
π4
65 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0
120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若
n n a a a c b ==++1111,2，2
,211n
n n n n n a b c a c b +=+=
++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列
C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列
D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .
14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .
15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-2
2
，则
B
A tan 1
tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)
(log )12(1
12+⋅+=
n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.
（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；
（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为0
30，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.
20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .
（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.
（注：2
2
2
r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）
21．已知函数x a x g x x f ln )(,2
1)(2
==
. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；
（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()
('1
)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值
范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ）
，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且0
90=∠AOB . （1）求b 的值；
（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；
（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2
<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)3
3
2,
1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=28242
23
21
m S m S m S ，)(R m ∈，
从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比22
3
==
a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.
（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)1
21
1
21(
2
1)
12)(12(1+-
-⨯=
-+=
n n n n b n ∴)1
211215131311(2121+--++-+-⨯=
+++=n n b b b T n n 1
2+=
n n
. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；1201
1)(310==C B P ，10312036)(3
10
2416===C C C C P ，
21
12060)(3101
426===C C C D P ，6
112020)(31036===C C E P
∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.
（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则
18
1
)|(2912==C C F G P .
（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为
由题意得，若要不亏本，则
032
12103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.
19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1
又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.
（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -
∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为0
30，∴0
30=∠ABO
设1=AO ，则3=BO ，∵0
160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形
∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，
则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩
⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n
设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则4
6
||
||||,cos |sin =
=><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42
020=+y x ，
则)24,2(),2,
2(0
00y x F y x E +--， ∴41
164164164244242
2
002000
0021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则1441224122
21=+⇒-=+⋅-⇒
-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为14
22
=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨
⎧=++=4
42
2y x m
x y 消去y ，得044852
2=-++m mx x ，
设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
4
4,5822121-=-=+m x x m x x ，
由0)44(20642
2>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m
∴222212
212
55
2
45444)58(24)(1
1||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，
易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，
∴2
2
)
3(554||||m m ST PQ S S OST
OPQ +-===
∆∆λ，
令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，
则4
5)431(4544
65
422
2+--⨯=
-+-=
t t t t λ， 当431
=
t ，即43=t 时，λ取得最大值5
52，此时35-=m . 21．解：（1）x
a
x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得32
2=-
a
，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 2
12
+=
对任意两个不等的正数21,x x ，
2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，
令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 2
1)(2
-+=
在),0(+∞上为增函数 2)('-+
=x
a
x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，
所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+
等价于0
000ln 1x a
x a x x -<+，
整理得01ln 0
00<++
-x a
x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m
2
222)
1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=
因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1
①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.
令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得
)1ln(1
1+<++a a
a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为
t t t ln 1
1
<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++
-=e
a
a e e m 解得1
1
2-+>e e a .
综上所述，实数a 的取值范围是),1
1
(
)2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，
4)2(22=++y x
∵0
90=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2
>=a ay x ，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=t
y t x 22222（t 为参数）
，代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 042
12
>+=
∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.
23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，
即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩
⎨⎧≤+--<9331x x
解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.
（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立
⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5
0a a 5≥⇒a .。