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江西省九江市2020年高三下学期4月二模文科数学试题含解析

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2020年江西省高考数学试卷(文科)(4月份)

2020年江西省高考数学试卷(文科)(4月份)

2020年江西省高考数学试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集${U=}$${\{-1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4\}}$，集合${A=}$${\{-1,\, 1,\, 2,\, 4\}}$，集合${B=}$${\{x\in \textbf N\mathrel{|} y = \sqrt{4 - {2}^{x}}\}}$，则${A\cap (\complement _{U}B)=}$( )A.${\{-1,\, 2,\, 3,\, 4\}}$B.${\{-1,\, 4\}}$C.${\{-1,\, 2,\, 4\}}$D.${\{0,\, 1\}}$2. 已知${{\rm i}}$为虚数单位，${z \cdot \dfrac{2}{1 -{\rm i}} = 1 + 2{\rm i}}$，则复数${z}$的虚部是( )A.${\dfrac{3}{2}}$B.${\dfrac{3}{2}{\rm i}}$C.${\dfrac{1}{2}{\rm i}}$D.${\dfrac{1}{2}}$3. 已知等差数列${\{a_{n}\}}$满足${a_{2}+ a_{4}=}$${6}$，${a_{5}+ a_{7}=}$${10}$，则${a_{18}=}$( )A.${12}$B.${13}$C.${\dfrac{13}{3}}$D.${\dfrac{14}{3}}$4. 已知${a}$，${b\in \bf R}$，则“${a+ 2b=}$${0}$“是“${\dfrac{a}{b} = - 2}$”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. ${{2}^{\frac{1}{3}}}$，${{5}^{ - \frac{1}{2}}}$，${\log _{3}2}$的大小关系是( )A.${{2}^{\frac{1}{3}}\lt {5}^{ - \frac{1}{2}}\lt \log _{3}2}$B.${{5}^{ - \frac{1}{2}}\lt {2}^{\frac{1}{3}}\lt \log _{3}2}$C.${\log _{3}2\lt {5}^{ - \frac{1}{2}}\lt {2}^{\frac{1}{3}}}$D.${{5}^{ - \frac{1}{2}}\lt \log _{3}2\lt {2}^{\frac{1}{3}}}$6. 已知${\tan (\alpha + \dfrac{\pi}{6}) = - \dfrac{3}{5}}$，则${\sin (2\alpha + \dfrac{\pi}{3}) = (}$ ${)}$A.${\dfrac{8}{17}}$B.${ - \dfrac{8}{17}}$C.${\dfrac{15}{17}}$D.${ - \dfrac{15}{17}}$ 7. 设${x}$，${y\in \textbf R}$，${\overrightarrow{a} = (x,\, 1)}$，${\overrightarrow{b} = (2,\, y)}$，${\overrightarrow{c} = (-2,\, 2)}$，且${\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow {c}}$，${\overrightarrow{b}\,//\,\overrightarrow {c}}$，则${\mathrel{|} 2\overrightarrow {a} + 3\overrightarrow{b} -\overrightarrow{c}\mathrel{|} =}$( )A.${2\sqrt{34}}$B.${\sqrt{26}}$C.${12}$D.${2\sqrt{10}}$8. 设函数${f(x)=}$${{\rm e}^{x}+ 2x-4}$的零点${a\in ( {m} ,\, m+ 1)}$，函数，${g(x)=}$${\ln x+ 2x^{2}-5}$的零点${b\in (n,\, n+ 1)}$，其中${m\in \bf N}$，${n\in \bf N}$，若过点${A( {m} ,\, n)}$作圆${(x-2)^{2}+ (y-1)^{2}=}$${1}$的切线${l}$，则${l}$的方程为( )A.${y=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}x+ 1}$B.${y=\pm \sqrt{3}x+ 1}$C.${y}$＝${1}$D.${x}$＝${0}$，${y}$＝${1}$9. 若点${(x,\, y)}$在不等式组${\left\{ \begin{matrix} x + y - 1 \geq 0 ，\\ x - y - 1 \leq 0 ，\\ x - 3y + 3 \geq 0，\\ \end{matrix} \right.\ }$表示的平面区域内，则实数${z = \dfrac{2y - 1}{x + 1}}$的取值范围是( )A.${[-1,\, 1]}$B.${[-2,\, 1]}$C.${[ - \dfrac{1}{2},\, 1]}$D.${[-1,\, \dfrac{1}{2}]}$10. 已知三棱锥${A-BCD}$的顶点均在球${O}$的球面上，且${AB=}$${AC=}$${AD = \sqrt{3}}$，${\angle BCD = \dfrac{\pi}{2}}$，若${H}$是点${A}$在平面${BCD}$内的正投影，且${CH = \sqrt{2}}$，则球${O}$的表面积为( )A.${4\sqrt{3}\pi }$B.${2\sqrt{3}\pi }$C.${9\pi }$D.${4\pi }$11. 函数${f(x) = \ln x - \dfrac{1}{4}{x}^{2}}$的大致图象是( )A. B.C.D.12. 已知点${F}$为双曲线${E: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1(a\gt 0,\, b\gt 0)}$的右焦点，若在双曲线${E}$的右支上存在点${P}$，使得${PF}$中点到原点的距离等于点${P}$到点${F}$的距离，则双曲线${E}$的离心率的取值范围是( ) A.${(1,\, 3)}$B.${(1,\, 3]}$C.${(1,\, \sqrt{3}]}$D.${[\sqrt{3},\, 3]}$二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分.中华文化博大精深，丰富多彩．“纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一，“组合花纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹(如图阴影部分所示)的面积，作一个半径为${1}$的圆将其包含在内，并向该圆内随机投掷${1000}$个点，已知恰有${600}$个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是________.抛物线${y=}$${ax^{2}(a\gt 0)}$的焦点与椭圆${\dfrac{{y}^{2}}{10} + {x}^{2} = 1}$的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是________.已知函数${f(x) = \left\{ \begin{matrix} \log_{2}x ，x \geq 4， \\ 2ax - 3，x\lt 4 ，\\ \end{matrix} \right.\ }$ 对任意${x_{1}}$，${x_{2}\in (-\infty ,\, + \infty )}$，都有${\dfrac{f({x}_{1}) - f({x}_{2})}{{x}_{1} - {x}_{2}}\gt 0}$，则实数${a}$的取值范围为________.在三角形${ABC}$中，${\mathrel{|} AB\mathrel{|} =}$${2}$，且角${A}$，${B}$，${C}$满足${2\sin^{2}\dfrac{C}{2} - \dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{2}\cos 2(A + B)}$，三角形${ABC}$的面积的最大值为${M}$，则${M=}$________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后“…小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后“，观察了所在地区${A}$的${200}$天日落和夜晚天气，得到如下${2\times 2}$列联表：参考公式：${{K}^{2} = \dfrac{n{(ad - bc)}^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}}$${(1)}$根据上面的列联表判断能否有${99\% }$的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关？${(2)}$小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取${4}$天，再从这${4}$天中随机抽出${2}$天进行数据分析，求抽到的这${2}$天中仅有${1}$天出现“日落云里走”的概率．设${S_{n}}$为等差数列${\{a_{n}\}}$的前${n}$项和，${S_{7}=49}$，${a_{2}+ a_{8}=18}$． ${(1)}$求数列${\{a_{n}\}}$的通项公式．${(2)}$若${S_{3}}$、${a_{17}}$、${S_{m}}$成等比数列，求${S_{3m }}$．如图所示，四棱锥${P-ABCD}$中，底面${ABCD}$为平行四边形，${O}$为对角线的交点，${E}$为${PD}$上的一点，${PD\perp }$平面${ABE}$，${PA\perp }$平面${ABCD}$，且${PA=2}$，${AB=1}$，${AC = \sqrt{5}}$．${(1)}$求证：${AB\perp AD}$．${(2)}$求三棱锥${P-ABE}$的体积．已知离心率为${\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$的椭圆${C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1(a\gt b\gt 0)}$的左顶点为${A}$，左焦点为${F}$，及点${P(-4,\, 0)}$，且${\mathrel{|} OF\mathrel{|} }$，${\mathrel{|} OA\mathrel{|} }$，${\mathrel{|}OP\mathrel{|} }$成等比数列．${(1)}$求椭圆${C}$的方程．${(2)}$斜率不为${0}$的动直线${l}$过点${P}$且与椭圆${C}$相交于${M}$、${N}$两点，记${\overrightarrow {PM} = \lambda\overrightarrow {PN}}$，线段${MN}$上的点${Q}$满足${\overrightarrow {MQ} = \lambda\overrightarrow {QN}}$，试求${\triangle OPQ}$(${O}$为坐标原点)面积的取值范围．已知函数${f(x)=}$${\ln x-ax}$．${(1)}$若函数${f(x)}$在定义域上的最大值为${1}$，求实数${a}$的值．${(2)}$设函数${h(x)=}$${(x-2){\rm e}^{x}+ f(x)}$，当${a\geq 1}$时，${h(x)\leq b}$对任意的${x \in (\dfrac{1}{3},1)}$恒成立，求满足条件的实数${b}$的最小整数值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]在直角坐标系${xOy}$中，圆${C}$的参数方程为${\left\{ \begin{matrix} x = - 6 + \cos t ，\\ y = - 1 + \sin t ，\\ \end{matrix} \right.\ }$(${t}$为参数)在以坐标原点${O}$为极点，${x}$轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线${l}$的极坐标方程为${\rho \sin (\theta - \dfrac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0}$.${(1)}$求圆${C}$的普通方程和直线${l}$的直角坐标方程．${(2)}$设点${P}$是圆${C}$上任一点，求点${P}$到直线${l}$距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数${f(x)=}$${\mathrel{|} x-2\mathrel{|} -x-1}$，函数${g(x)=}$${-\mathrel{|} x-4\mathrel{|} -x+ 2 {m} -1}$．${(1)}$当${f(x)\gt 0}$时，求实数${x}$的取值范围．${(2)}$当${g(x)}$与${f(x)}$的图象有公共点时，求实数${m}$的取值范围..参考答案与试题解析2020年江西省高考数学试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合${B}$，从而得到${\complement _{U}B}$，由此能求出${A\cap (\complement _{U}B)}$．【解答】解：∵全集${U=}$${\{-1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4\}}$，集合${A=}$${\{-1,\, 1,\, 2,\, 4\}}$，集合${B=}$${\{x\in \textbf N\mathrel{|} y = \sqrt{4 - {2}^{x}}\}=}$${\{0,\, 1,\, 2\}}$，∴ ${\complement _{U}B=}$${\{-1,\, 3,\, 4\}}$，${A\cap (\complement _{U}B)=}$${\{-1,\, 4\}}$．故选${\rm B}$.2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由${z \cdot \dfrac{2}{1 - {\rm i}} = 1 + 2{\rm i}}$，得${z = \dfrac{(1 - {\rm i})(1 + 2{\rm i})}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}{\rm i}}$，则复数${z}$的虚部是${\dfrac{1}{2}}$．故选${\rm D}$.3.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】由题意结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解答】解：∵等差数列${\{a_{n}\}}$满足${a_{2}+ a_{4}=}$${6}$，${a_{5}+ a_{7}=}$${10}$，∴ ${\left\{ \begin{matrix} 2{a}_{1} + 4d = 6， \\ 2{a}_{1} + 10d = 10， \\ \end{matrix} \right.\ }$解得${a_{1} = \dfrac{5}{3}}$，${d = \dfrac{2}{3}}$，则${a_{18}=}$${a_{1}+ 17d }$ ${= \dfrac{5}{3} + 17 \times \dfrac{2}{3} }$${= 13}$．故选${\rm B}$.4.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由${\dfrac{a}{b} = - 2\Rightarrow a+ 2b}$＝${0}$，反之不成立．即可判断出关系．【解答】解：∵ ${\dfrac{a}{b} = - 2\Rightarrow a+ 2b=}$${0}$，反之${a+ 2b=0}$，当${a=b=0}$时，${\dfrac{a}{b}}$无意义，∴ “${a+ 2b=0}$“是“${\dfrac{a}{b} = - 2}$”成立的必要不充分条件．故选${\rm B}$.5.【答案】D【考点】对数值大小的比较函数单调性的性质【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵ ${{2}^{\frac{1}{3}}\gt 2^{0}}$＝${1}$，${1\gt \log _{3}2\gt \log _{3}\sqrt{3} = \dfrac{1}{2}}$，${5{}^{ - \frac{1}{2}}\lt 4{}^{ - \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}}$，∴ ${5{}^{ - \frac{1}{2}}\lt \log _{3}2\lt 2{}^{\frac{1}{3}}}$.故选${\rm D}$.6.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】由题意利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知${\tan (\alpha + \dfrac{\pi}{6}) = - \dfrac{3}{5}}$，则${\sin (2\alpha + \dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{2\sin (\alpha + \dfrac{\pi}{6})\cos(\alpha + \dfrac{\pi}{6})}{{\sin }^{2}(\alpha + \dfrac{\pi}{6}){ + \cos }^{2}(\alpha + \dfrac{\pi}{6})} }$ ${= \dfrac{2\tan (\alpha + \dfrac{\pi}{6})}{{\tan }^{2}(\alpha + \dfrac{\pi}{6}) + 1} }$${= \dfrac{ - \dfrac{6}{5}}{\dfrac{9}{25} + 1} }$${= - \dfrac{15}{17}}$.故选${\rm D}$.7.【答案】A【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义向量的模【解析】根据题意，由向量垂直的判断方法可得${\overset{ \rightarrow }{a}\cdot \overset{ \rightarrow }{c} = - 2x+ 2}$＝${0}$，解可得${x}$的值，即可得${\overset{ \rightarrow }{a}}$的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得${y}$的值，即可得${\overset{ \rightarrow }{b}}$的坐标，进而计算可得${(2\overset{ \rightarrow }{a} + 3\overset{ \rightarrow }{b} - \overset{ \rightarrow }{c})}$的值，由向量模公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，${\overrightarrow{a} = (x,\, 1)}$，${\overrightarrow {b} = (2,\, y)}$，${\overrightarrow{c} = (-2,\, 2)}$，若${\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{c}}$，则${\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c} = - 2x+ 2=0}$，解得${x=1}$，则${\overrightarrow{a} = (1,\, 1)}$.若${\overrightarrow{b}\,//\,\overrightarrow{c}}$，则有${4+ 2y=0}$，解得${y=-2}$，则${\overrightarrow{b} = (2,\, -2)}$.则${(2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})=}$${(10,\, -6)}$，则${\mathrel{|} 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\mathrel{|} =}$${2\sqrt{34}}$.故选${\rm A}$.8.【答案】A【考点】圆的切线方程点到直线的距离公式函数零点的判定定理【解析】先利用零点存在性定理，结合函数${f(x)}$，${g(x)}$的单调性，确定它们的零点所在区间，从而求出${m}$，${n}$的值．再根据圆的切线的求法求出切线方程．【解答】解：因为${f(0)=}$${-3\lt 0}$，${f(1)=}$${{\rm e}-2\gt 0}$，且${f(x)}$是增函数．所以${f(x)}$的零点${a\in (0,\, 1)}$．又因为${g(1)=}$${-3\lt 0}$，${g(2)=}$${\ln 2+ 3\gt 0}$，且函数${g(x)}$在${(0,\, + \infty )}$上单调递增，所以${b\in (1,\, 2)}$，所以${m=}$${0}$，${n=}$${1}$，即${A(0,\, 1)}$．由${(x-2)^{2}+ (y-1)^{2}=}$${1}$得圆心为${(2,\, 1)}$，半径为${1}$．设切线为${y=}$${kx+ 1}$(斜率显然存在)，即${kx-y+ 1=}$${0}$，所以${\dfrac{\mathrel{|} 2k\mathrel{|} }{\sqrt{1 + {k}^{2}}} = 1}$，解得${k = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}}$．故切线方程为${y = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}x + 1}$．故选${\rm A}$．9.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】根据条件画出可行域，通过实数${z = \dfrac{2y - 1}{x + 1}}$的几何意义求最值，只需求出可行域内点和点${(-1,\, \dfrac{1}{2})}$连线的斜率的最值的${2}$倍，从而得到${z}$的取值范围即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域，则实数${z = \dfrac{2y - 1}{x + 1} = 2\cdot \dfrac{y - \dfrac{1}{2}}{x + 1}}$表示可行域内点${Q}$和点${P(-1,\,\dfrac{1}{2})}$连线的斜率的最值的${2}$倍，当${Q}$点在点${C(0,\,1)}$时，直线${PC}$的斜率为${\dfrac{1}{2}}$，当${Q}$点在可行域内的点${B(1,\,0)}$处时，直线${PB}$的斜率为${ - \dfrac{1}{4}}$，∴结合直线${PQ}$的位置可得，当点${Q}$在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：${[ - \dfrac{1}{2},\, 1]}$．故选${\rm C}$.10.【答案】C【考点】球的表面积和体积【解析】根据题意可知${HB}$＝${HC}$＝${HD}$，且${H}$为${BD}$的中点，可求出高${AH}$，并且球心在${AH}$上，根据勾股定理可得半径，求出其表面积．【解答】。

2020年江西省高考(文科)数学(4月份)模拟测试试卷 含解析

2020年江西省高考(文科)数学(4月份)模拟测试试卷 含解析

2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{﹣1，1，2，4}，集合B＝{x∈N|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．{﹣1，2，3，4}B．{﹣1，4}C．{﹣1，2，4}D．{0，1}2．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}满足a2+a4＝6，a5+a7＝10，则a18＝（）A．12B．13C．D．4．已知a，b∈R，则“a+2b＝0“是“＝﹣2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．，，log32的大小关系是（）A．＜＜log32B．＜＜log32C．log32＜＜D．＜log32＜E．＜log32＜6．已知，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣7．设x，y∈R，＝（x，1），＝（2，y），＝（﹣2，2），且⊥，∥，则|2+3﹣|＝（）A．2B．C．12D．28．设函数f（x）＝e x+2x﹣4的零点a∈（m，m+1），函数，g（x）＝lnx+2x2﹣5的零点b∈（n，n+1），其中m∈N，n∈N，若过点A（m，n）作圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的切线l，则l的方程为（）A．y＝±x+1B．y＝±x+1C．y＝1D．x＝0，y＝19．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，1]C．[﹣，1]D．[﹣1，]10．已知三棱锥A﹣BCD的顶点均在球O的球面上，且AB＝AC＝AD＝，若H是点A在平面BCD内的正投影，且CH＝，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．9πD．4π11．函数的大致图象是（）A．B．C．D．12．已知点F为双曲线E：（a＞0，b＞0）的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，3]C．（1，]D．[，3]二、填空题：共4小题每小题5分，共20分.13．中华文化博大精深，丰富多彩．“纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一，“组合花纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹（如图阴影部分所示）的面积，作一个半径为1的圆将其包含在内，并向该圆内随机投掷1000个点，已知恰有600个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是14．抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点与椭圆的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是15．已知函数f（x）＝，对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有，则实数a的取值范围为16．在三角形ABC中，|AB|＝2，且角A，B，C满足，三角形ABC的面积的最大值为M，则M＝三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分.17．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后“…小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后“，观察了所在地区A的200天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：夜晚天气下雨未下雨日落云里走出现9010未出现7030临界值表P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k0 2.7063.8416.63510.828参考公式：（1）根据上面的列联表判断能否有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关？（2）小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，再从这4天中随机抽出2天进行数据分析，求抽到的这2天中仅有1天出现“日落云里走”的概率．18．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S7＝49，a2+a8＝18．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若S3、a17、S m成等比数列，求S3m．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线的交点，E 为PD上的一点，PD⊥平面ABE，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，AB＝1．（1）求证：AB⊥AD．（2）求三棱锥P﹣ABE的体积．20．已知离心率为的椭圆）的左顶点为A，左焦点为F，及点P（﹣4，0），且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列．（1）求椭圆C的方程．（2）斜率不为0的动直线l过点P且与椭圆C相交于M、N两点，记，线段MN上的点Q满足＝λ，试求△OPQ（O为坐标原点）面积的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax．（1）若函数f（x）在定义域上的最大值为1，求实数a的值．（2）设函数h（x）＝（x﹣2）e x+f（x），当a≥1时，h（x）≤b对任意的）恒成立，求满足条件的实数b的最小整数值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）﹣＝0（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程．（2）设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣x﹣1，函数g（x）＝﹣|x﹣4|﹣x+2m﹣1．（1）当f（x）＞0时，求实数x的取值范围．（2）当g（x）与f（x）的图象有公共点时，求实数m的取值范围..参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{﹣1，1，2，4}，集合B＝{x∈N|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．{﹣1，2，3，4}B．{﹣1，4}C．{﹣1，2，4}D．{0，1}【分析】求出集合B，从而得到∁U B，由此能求出A∩（∁U B）．解：∵全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{﹣1，1，2，4}，集合B＝{x∈N|y＝}＝{0，1，2}，∴∁U B＝{﹣1，3，4}，A∩（∁U B）＝{﹣1，4}．故选：B．2．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝，则复数z的虚部是．故选：D．3．已知等差数列{a n}满足a2+a4＝6，a5+a7＝10，则a18＝（）A．12B．13C．D．【分析】由题意结合等差数列的通项公式即可直接求解．解：∵等差数列{a n}满足a2+a4＝6，a5+a7＝10，∴，解可得a1＝，d＝，则a18＝a1+17d＝＝13．故选：B．4．已知a，b∈R，则“a+2b＝0“是“＝﹣2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由＝﹣2⇒a+2b＝0，反之不成立．即可判断出关系．解：＝﹣2⇒a+2b＝0，反之不成立．∴“a+2b＝0“是“＝﹣2”成立的必要不充分条件．故选：B．5．，，log32的大小关系是（）A．＜＜log32B．＜＜log32C．log32＜＜D．＜log32＜E．＜log32＜【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵＞20＝1，1＞log32＞log3＝，5＜4＝，则5＜log32＜2，故选：D．6．已知，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：∵已知，则＝＝＝＝﹣，故选：D．7．设x，y∈R，＝（x，1），＝（2，y），＝（﹣2，2），且⊥，∥，则|2+3﹣|＝（）A．2B．C．12D．2【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法可得•＝﹣2x+2＝0，解可得x的值，即可得的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得（2+3﹣）的值，由向量模公式计算可得答案．解：根据题意，＝（x，1），＝（2，y），＝（﹣2，2），若⊥，则•＝﹣2x+2＝0，解可得x＝1，则＝（2，1），若∥，则有4+2y＝0，解可得y＝﹣2，则＝（2，﹣2），则（2+3﹣）＝（10，﹣6），则|2+3﹣|＝2；故选：A．8．设函数f（x）＝e x+2x﹣4的零点a∈（m，m+1），函数，g（x）＝lnx+2x2﹣5的零点b∈（n，n+1），其中m∈N，n∈N，若过点A（m，n）作圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的切线l，则l的方程为（）A．y＝±x+1B．y＝±x+1C．y＝1D．x＝0，y＝1【分析】先利用零点存在性定理，结合函数f（x），g（x）的单调性，确定它们的零点所在区间，从而求出m，n的值．再根据圆的切线的求法求出切线方程．解：因为f（0）＝﹣3＜0，f（1）＝e﹣2＞0，且f（x）是增函数．故f（x）的零点a∈（0，1）．又g（1）＝﹣3＜0，g（2）＝ln2+3＞0，且函数g（x）在（0，+∞）上递增，故b∈（1，2）．所以m＝0，n＝1．故A（0，1）．由（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1得圆心为（2，1），半径为1．设切线为y＝kx+1（斜率显然存在），即kx﹣y+1＝0．所以，解得k＝．故切线方程为．故选：A．9．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，1]C．[﹣，1]D．[﹣1，]【分析】根据条件画出可行域，通过实数的几何意义求最值，只需求出可行域内点和点（﹣1，）连线的斜率的最值的2倍，从而得到z的取值范围即可．解：根据约束条件画出可行域，则实数＝2•表示可行域内点Q和点P（﹣1，）连线的斜率的最值的2倍，当Q点在原点C时，直线PC的斜率为，当Q点在可行域内的点B处时，直线PQ的斜率为﹣，结合直线PQ的位置可得，当点Q在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：[﹣，1]．故选：C．10．已知三棱锥A﹣BCD的顶点均在球O的球面上，且AB＝AC＝AD＝，若H是点A在平面BCD内的正投影，且CH＝，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．9πD．4π【分析】根据题意可知HB＝HC＝HD，且H为BD的中点，可求出高AH，并且球心在AH上，根据勾股定理可得半径，求出其表面积．解：因为AB＝AC＝AD＝，所以由三角形全等可得HB＝HC＝HD，即H为△BCD的外心，因为，则H为BD的中点，则球心在AH上，由勾股定理AH＝，设球O的半径为R，则R2＝（R﹣1）2+2，所以R＝，球O的表面积为4πR2＝9π．故选：C．11．函数的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，利用极限思想进行排除即可．解：当x→+∞，f（x）→﹣∞，排除C，D，函数的导数f′（x）＝﹣x＝，（x＞0），由f′（x）＞0得0＜x＜，此时函数为增函数，由f′（x）＜0得x＞，此时函数为减函数，即当x＝时，函数取得极大值，同时也是最大值f（）＝ln2﹣＜0，排除B，故选：A．12．已知点F为双曲线E：（a＞0，b＞0）的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，3]C．（1，]D．[，3]【分析】取PF中点M，根据条件OM＝PF，分类讨论P为右顶点和不为右顶点的情况，结合三角形三边关系即可．解：设PF中点为M，左焦点为H，则OM＝PF，当点P异于双曲线的右顶点时，连接PH，根据三角形中位线性质，则PH＝PF，根据双曲线定义又有PH﹣PF＝2a，则PF＝2a，根据三角形三边关系可得：，即1＜＜3，当点P事双曲线右顶点时，OM＝a+，PF＝c﹣a，则a+＝c﹣a，解得e＝3，综上1＜e≤3，故选：B．二、填空题：共4小题每小题5分，共20分.13．中华文化博大精深，丰富多彩．“纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一，“组合花纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹（如图阴影部分所示）的面积，作一个半径为1的圆将其包含在内，并向该圆内随机投掷1000个点，已知恰有600个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是【分析】半径为1的圆的面积S圆＝π，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得＝，由此能估计阴影部分的面积．解：半径为1的圆的面积S圆＝π，设阴影部分的面积为S阴，∵该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有600个点落在阴影部分，∴＝，解得S阴＝；∴估计阴影部分的面积是．故答案为：．14．抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点与椭圆的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是y＝﹣3【分析】求出椭圆的焦点坐标，然后求解a，即可求解抛物线的准线方程．解：椭圆的焦点坐标（0，±3），抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点与椭圆的一个焦点相同，可得：，所以抛物线的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．15．已知函数f（x）＝，对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有，则实数a的取值范围为（0，]【分析】利用函数的单调性，结合分段函数，列出不等式组，求解即可．解：函数f（x）＝，对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有，所以函数是增函数，可得：，解得：0＜a≤．故答案为：（0，]．16．在三角形ABC中，|AB|＝2，且角A，B，C满足，三角形ABC的面积的最大值为M，则M＝【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得4cos2C+4cos C+1＝0，解得cos C＝﹣，可得C＝，利用余弦定理，基本不等式可求ab≤，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵，∴8sin2＝2cos2（A+B）+7，即8sin2﹣2cos2（A+B）﹣7＝0，∵8sin2﹣2cos2（A+B）＝8•﹣2cos2（π﹣C）＝4﹣4cos C﹣2cos2C＝4﹣4cos C ﹣2（2cos2C﹣1）＝﹣4cos2C﹣4cos C+6，∴4cos2C+4cos C+1＝0，解得cos C＝﹣，∴C＝，设a，b，c分别为A，B，C的对边，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得4＝a2+b2+ab，又∵4＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，即ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，∴△ABC的面积S＝ab sin C＝ab≤＝M．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分.17．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后“…小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后“，观察了所在地区A的200天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：夜晚天气下雨未下雨日落云里走出现9010未出现7030临界值表P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k0 2.7063.8416.63510.828参考公式：（1）根据上面的列联表判断能否有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关？（2）小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，再从这4天中随机抽出2天进行数据分析，求抽到的这2天中仅有1天出现“日落云里走”的概率．【分析】（1）根据列联表计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样法求出抽取的天数，根据题意求出基本事件数，计算对应的概率值．解：（1）根据列联表计算K2＝＝12.5＞6.635，所以有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关；（2）从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，则从出现“日落云里走”的天气中应抽取1天，从未出现“日落云里走”的天气中应抽取3天，随机抽取2天，总的情况数为6种，仅有1天出现“日落云里走”的情况数为3种，所以根据古典概型的概率公式计算得P ＝＝．18．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S7＝49，a2+a8＝18．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若S3、a17、S m成等比数列，求S3m．【分析】（1）先由题设条件求出等差数列{a n}的基本量a1，d，再求出其通项公式；（2）由S3、a17、S m成等比数列求出m，再代入前n项和公式求出S3m．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S7＝49，a2+a8＝18，∴⇒，解得：d＝2．∴a n＝a4+（n﹣4）d＝2n﹣1．（2）由（1）知：S．∵S3、a17、S m成等比数列，∴S3S m＝a172，即9m2＝332，解得m＝11．故S3m＝S33＝332＝1089．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线的交点，E 为PD上的一点，PD⊥平面ABE，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，AB＝1．（1）求证：AB⊥AD．（2）求三棱锥P﹣ABE的体积．【分析】（1）由PD⊥平面ABE，可得PD⊥AB．同理可得PA⊥AB．再利用线面垂直的判定与性质定理即可证明结论．（2）由（1）可知：底面ABCD为矩形，可得AD＝2．利用等腰直角三角形的性质可得：PD⊥AE，E为PD的中点，利用线面垂直的判定可得AD⊥平面PAB．点E到P平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半，三棱锥P﹣ABE的体积V＝V D﹣PAB．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥AB．PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵PD∩PA＝P，∴AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD．（2）解：由（1）可知：底面ABCD为矩形，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，∴AD＝2．∴△PAD为等腰直角三角形，PD⊥AE，∴E为PD的中点，∵AD⊥PA，AD⊥AB，AD∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．∴点E到P平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半，∴三棱锥P﹣ABE的体积V＝V D﹣PAB＝××2×1×2＝．20．已知离心率为的椭圆）的左顶点为A，左焦点为F，及点P（﹣4，0），且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列．（1）求椭圆C的方程．（2）斜率不为0的动直线l过点P且与椭圆C相交于M、N两点，记，线段MN上的点Q满足＝λ，试求△OPQ（O为坐标原点）面积的取值范围．【分析】（1）由题可列方程组，解得a，c，又a2＝b2+c2，解得b，进而可得椭圆的方程．（2）解法一：设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），M，N点坐标代入椭圆方程两式相减得：＝1，（*），由，＝λ，用坐标表示，代入（*）式得x3＝﹣2，又因为Q在椭圆内，得0＜|y3|＜，所以△OPQ面积S＝＝2|y3|∈（0，2），解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），因为，＝λ，则，y3＝，设直线l的方程为x＝ty﹣4，（t≠0），联立椭圆C的方程得：由△＞0得t2＞2，|t|＞，，消去y2得到，所以y3＝＝＝＝，因此△OPQ的面积S＝＝进而得出结论．解法三：设直线l的方程为x＝ty﹣4，（t≠0），联立椭圆C的方程得：，|MN|═，＝+＝，再分析原点O到直线l的距离d，表示△OPQ的面积S，化简再求出答案．解：（1）根据题意得，解得⇒b＝2，所以椭圆C的方程．（2）解法一：设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则⇒相减得：＝1，（*）由，知，，由＝λ，知，，代入（*）式得，，即x3＝﹣2，又因为Q在椭圆内，所以⇒0＜|y3|＜，所以△OPQ面积S＝＝2|y3|∈（0，2），解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则，y3＝，设直线l的方程为x＝ty﹣4，（t≠0），代入椭圆C的方程得：（t2+2）y2﹣8ty+8＝0，由△＞0得t2＞2，|t|＞，所以，消去y2得到，所以y3＝＝＝＝，因此△OPQ的面积S＝＝∈（0，2）．解法三：设直线l的方程为x＝ty﹣4，（t≠0），代入椭圆C的方程得：，|MN|═，＝+＝，原点O到直线l的距离d＝，所以△OPQ的面积S＝×|y1﹣y2|＝，因为y1＝λy2⇒λ＝，所以S＝|y1﹣y2|＝＝∈（0，2）．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax．（1）若函数f（x）在定义域上的最大值为1，求实数a的值．（2）设函数h（x）＝（x﹣2）e x+f（x），当a≥1时，h（x）≤b对任意的）恒成立，求满足条件的实数b的最小整数值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数在定义域上的单调性，进而可求最大值，即可；（2）由已知整理可得，b≥（x﹣2）e x+lnx﹣ax，对任意的）恒成立，结合a≥1，x＞0，可知（x﹣2）e x+lnx﹣ax≤（x﹣2）e x+lnx﹣x，故只需b≥（x﹣2）e x+lnx﹣x，对任意的x恒成立，构造函数，结合导数可求．解：（1）函数的定义域（0，+∞），，当a≤0时，＞0，函数单调递增，此时没有最大值；当a＞0时，可得f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1＝1，所以a＝，（2）由h（x）＝（x﹣2）e x+f（x）＝（x﹣2）e x+lnx﹣ax≤b对任意的）恒成立，所以b≥（x﹣2）e x+lnx﹣ax，对任意的）恒成立，因为a≥1，x＞0，所以（x﹣2）e x+lnx﹣ax≤（x﹣2）e x+lnx﹣x，只需b≥（x﹣2）e x+lnx﹣x，对任意的x恒成立，令g（x）＝（x﹣2）e x+lnx﹣x，则＝（x﹣1）（），因为x，所以x﹣1＜0，t（x）＝单调递增，且t（）＜0，t（1）＞0，故一定存在，使得t（x0）＝0，即，x0＝﹣lnx0，所以g（x）单调递增区间（），单调递减区间（x0，1），所以g（x）max＝g（x0）＝（x0﹣2）e+lnx0﹣x0＝1﹣2（）∈（﹣4，﹣3），故b的最小值﹣3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）﹣＝0（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程．（2）设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）圆C的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为（x+6）2+（y+1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（）﹣＝0，转换为直角坐标方程为x﹣y+2＝0．（2）该圆的圆心（﹣6，﹣1）到直线x﹣y+2＝0的距离d＝，所以圆上的点P到直线的最小距离为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣x﹣1，函数g（x）＝﹣|x﹣4|﹣x+2m﹣1．（1）当f（x）＞0时，求实数x的取值范围．（2）当g（x）与f（x）的图象有公共点时，求实数m的取值范围..【分析】（1）取绝对值，转化为分段函数，解不等式，（2）有公共点，则函数相等有解，利用不等式解．解：（1）f（x）＞0即|x﹣2|＞x+1，则，或，解之得无解，或x＜，故实数x的取值范围为x＜，（2）因为g（x）与f（x）的图象有公共点，则﹣|x﹣4|﹣x+2m﹣1＝|x﹣2|﹣x﹣1有解，即2m＝|x﹣2|+|x﹣4|有解，因为2m＝|x﹣2|+|x﹣4|≥|x﹣2﹣（x﹣4）|＝2，即m≥1．。

江西省九江市2020年第二次高考模拟(4月份)文科数学测试答案

江西省九江市2020年第二次高考模拟(4月份)文科数学测试答案

2 1
-2p -p O
p
-1
-2
f (x) ，则函数
y
=
f (x) xsin x
的图像大致为(
)
y
y
2
-2p
1
-p O
-1
2 -
p
2p x
2 1
-2p -p O
-1 2 -
p
2p x
A
y
2
-2p
1
-p O
1 -
2 -
C
2p
p
x
B
y
2 1
-2p -p O
p
1 -
2 -
2p
x
D 第1页 （共4页）
7.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直的平面 D
(Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 m ；
(Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有 99.9% 的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.
P(K 2 ≥ k ) 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
附： K 2 =
n(ad - bc)2
，n=a+b+c+d .
A. 8
B. 19
C. 16
D.13
5
3
9.在平面直角坐标系
xOy
中，已知双曲线 E :
x2 a2
-
y2 b2
=1( a
>
0,b
>
0 )的右焦点 F
，若存在平行于
x 轴的直
线 l ，与双曲线 E 相交于 A, B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为( )

2020届江西省九江市高三二模文科数学试题(带答案解析)

2020届江西省九江市高三二模文科数学试题(带答案解析)
22．在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 （ 为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 ， 的极坐标方程分别为 ， ， 交曲线E于点A，B， 交曲线E于点C，D．
（1）求曲线E的普通方程及极坐标方程；
（2）求 的值.
23．已知函数 的最大值为m.
（1）求m的值；
（2）若a，b，c为正数，且 ，求证：
14．设x，y满足约束条件 ，则 的最大值是________.
15． 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则 的面积为________.
16．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为________.
17．已知数列 满足 ， ， .
A． B． C． D．
11．已知函数 有两个零点，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ， ， ，则（）
A． B． C． D．
13．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为________．
A． B． C． D．
6．将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，则函数 的图像大致为（）
A． B．
C． D．
7．如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）
A．1B． C．2D．
8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆长轴、短轴和焦距的关系，考查学生对图形的观察能力和数形结合能力，属于基础题.

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

九江市2020年二模试题(文科数学)及答案(word版)

九江市2020年二模试题(文科数学)及答案(word版)

绝密 ★ 启封并使用完毕前九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试文科数学答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题 60 分）一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A {2, 1, 0,1, 2}， B {x | x2 2} ，则 A I B (C)A.{0,1}B.{ 1,1}C.{ 1, 0,1}D.{0}解: Q B {x | 2 x 2} ， A I B { 1, 0,1}，故选 C.2.已知复数 z 满足 z(3 i) 10 ，则 z (D)A. 3 iB. 3 i解:z10 3i10(3 i) (3 i)(3 i)3i，故选D.C. 3 iD. 3 i3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1 ， S4 6 ，则 S7 (D)A. 7B. 9C.11D.14解:法一:由a11，S46 ，得414(4 21)d6，解得d1 3，S77 1 7 (7 21)1 3 14，故选D.法二:QS44(a1 a4 ) 2 6 ，又 a11 ，a42 ，S77(a1 a7 ) 27 2a4 214 ，故选D.4.已知 sin 1 cos 2 ，则 tan (A)A. 4 3B. 3C. 443D. 2解:Q1sin cos2 sin 2cos 22cos2 tan 22 ，tan2tan 21 tan2 4 ，故选 A. 3225.已知 0 a b 1 ，则下列结论正确的是(B)A. ba bbB. ab bbC. aa abD. ba aa解:法一:Q 0 a b 1， y xb ，y xa 在 (0, ) 上单调递增，y ax ，y bx 在 (0, ) 上单调递减，故选 B.法二:取 a 1 ， b 1 ，则 aa 421 2， ab1 2， bb1 2， ba1 42，显然 ab bb，故选B.6.将函数y 2cos(2x6 )的图像向左平移 6个单位得到函数f(x)，则函数yf (x) xsin x的图像大致为(D)ABCD解:依题意得f(x)2 cos[ 2( x6 )6 ]2cos(2x 2 )2sin2x，则yf (x) xsin x2sin x sin2x x4cos xx，x k ， k Z ，显然该函数为奇函数，且当 x (0, π) 时， y 0 ，故选 D.2 7.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直的平面DC截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为(C)A.1B. 2ABC. 2D. 2 2解:Q AC 为椭圆的长轴，2a 2 2 ，a 2 ，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即 2b 2 ，b 1，c2 a2 b2 1，2c 2，故选 C.8.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为(C)开始否是 输出结束A. 8B. 19C. 16D.1353解:依题意得输出 S 的值为1,2,3,5,8,13 的平均数，即 S 1 2 3 5 8 13 16 ，故选 C.639.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 E : x2 y2 1( a 0,b 0 )的右焦点 F ，若存在平行于 x 轴的直a2 b2线 l ，与双曲线 E 相交于 A, B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为(B)A. 2 3 1B. 3 1C. 3D. 2 3解:如图，由对称性知 OA OB ，OAF 为边长为 c 的等边三角形，( c , 3c ) 22在双曲线 E上，c2 4a23c2 4b21，c2 a23c2 c2 a2 4 ，e23e2 e2 14，解得e 3 1，故选 B.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称 “档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算 珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表 示数字 65.若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数 字为奇数的概率为(C)A. 1B. 4C. 5D. 23993解:依题意得所拨数字可能为 610，601，511，160，151，115，106，61，16 ，共 9 个，其中有 5 个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为 5 ，故选 C. 911.已知函数 f (x) x a ln x a ( a R )有两个零点，则 a 的取值范围是(B)A. (e,+)B. (e2 , )C. (e2 ,e3)D. (e2 ,2e2 )解: f (x) 1 a x a ( x 0 ),当 a 0时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0,+) 上单调递增，不合题意， xx当 a 0 时， 0 x a 时， f (x) 0 ； x a 时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, a) 上单调递减，在 (a, ) 上单调递增， f (x)min f (a) 2a a ln a ，依题意得 2a a ln a 0 ，a e2 ，取 x1 e ， x2 a2 ，则 x1 a ， x2 a ， 且 f (x1) f (e) e 0 ， f (x2 ) f (a2 ) a2 2a ln a a a(a 2 ln a 1) ， 令 g(a) a 2ln a 1，则 g(a) 1 2 0 ， g(a) 在 (e2, ) 上单调递增， g(a) g(e2 ) e2 3 0 ，a f (x2 ) 0 ，故 a 的取值范围是 (e2, ) ，故选 B. 12.现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为 l1, l2 , l3, l4 ，则(B)A. l1 l2 l3 l4B. l1 l2 l3 l4C. l1 l2 l3 l4D. l1 l2 l3 l4解:正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为2 n，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长ln2 nr2r，圆的中心运动轨迹长也为2r，依题意得边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足 r1 r2 r3 r4 ，l1 l2 l3 l4 ，故选 B.第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量 a, b 满足 a 1， b 2 ， a (a b) ，则 a 与 b 的夹角为 60 .解:Q a (a b) ，a2 a b 0 ，11 2cos a,b 0 ，cos <a, b> 1 ，a 与 b 的夹角为 60 . 22 1 – –O 114.设x,y满足约束条件22xx y y 2 2≤ ≥0 0，则z3x2y的最大值是 y ≥ x2 3.解: 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过 ( 2 , 2) 时取得最大值， 33即zmax32 3 22 32 3．15.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2b2c28 tan C，则ABC的面积为2.解:由余弦定理知 a2 b2 c22ab cos C， 8 tan C2ab cos C，ab sin C4 ,SABC1 2absin C2.16.如图，在一个底面边长为 2 ,侧棱长为 10 的正四棱锥 P ABCD 中，大球 O1 内切于该四棱锥，小球 O2 与大球 O1 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 O2 的体积为2 24.解:设 O 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M ，连接 PM,OM, PO ，则 OM 1，PM PA2 AM 2 10 1 3 ，PO 9 1 2 2 ，如图，在截面 PMO 中，设 N 为球 O1 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且 O1N PM ，设球 O1 的半径为 R ，则 O1NR ，Q sin MPO OM PM1 3，NO1 PO11 3，则PO1 3R ，PO PO1 OO1 4R 22 ， R 2 2，设球 O1 与球 O2相切于点 Q，则PQPO2R2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ4r， rR 22 4，故小球 O2 的体积V 4 r3 2 .324三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知数列 {an }满足a11，a21 2，anan12an2．(Ⅰ)求证:{an1 an}为等比数列；(Ⅱ)求{an} 的通项公式．解:(Ⅰ)由anan12an2，得2(an2an1 )(an1an )，即an+2an11 2(an+1an)…………2分又 a2 a11 2， an+2 an1 an+1 an1 2…………4分{an1an}是以1 2为首项，1 2为公比的等比数列………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知an+1an(12) (1 )n1 2(1)n 2………6分anan1(1 )n1 2,an1an2(1)n2 ，…， 2a2a1(12)(n2 )，累加得ana1(12 )(1)2 2L(1 )n2 2(1 )n1 21 2(1 2)n1(1 2) 1 2 ( 1)n ………9 分 33 2又a11 ，an11 32 3(1)n 22 32 ( 1)n 32(n2 )………11分又a11 也符合上式，an2 32 3(1)n 2………12分18.(本小题满分 12 分)BMI 指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index ，简称 BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI 体重 (kg) / 身高 (m) 的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当 BMI ≥ 28 时为肥胖.某地区随机调查了1200名 35 岁以上成人的身体健康状况，其中有 200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：高血压非高血压(Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 ； (Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有 99.9% 的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关.P(K 2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001肥胖 不肥胖 合计k3.841 6.635 10.828高血压附： K 2 n(ad bc)2，nabcd .非高血压(a b)(c d )(a c)(b d )合计解:(Ⅰ)根据频率分布直方图，200 名高血压患者中，BMI值在 [28,30) 的人数为 0.12200 40 ，在 [30,32) 的人数为 0.05 2 200 20 ，在 [32,34) 的人数为0.0252200 10 ………2 分1000 名 非 高 血 压 患 者 中 ， BMI 值 在 [28,30) 的 人 数 为 0.0821000 160 ， 在 [30,32) 的 人 数 为0.0321000 60，在[32,34) 的人数为 0.00521000 10………4 分被调查者中肥胖人群的BMI平均值(40160) 29 (20 60) 31 (10 10) 40 20 10 160 60 103329.8………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 200名高血压患者中，有 40 20 10 70 人肥胖， 200 70 130人不肥胖………7 分 1000 名非高血压患者中，有160 60 10 230人肥胖，1000 230 770人不肥胖………8 分肥胖 不肥胖 合计高血压 70130 200非高血压 230 770 1000合计 300 900 1200………9 分 K 2 1200 (70 770 230130)2 12.8 10.828 ………11 分2001000 900 300有 99.9% 的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关………12 分19.(本小题满分 12 分)如图所示的几何体 ABC A1B1C1 中，四边形 ABB1A1 是正方形，四边形 BCC1B1 是梯形，B1C1//BC，且B1C11 2BC，ABAC，平面ABB1 A1平面ABC.(Ⅰ)求证：平面 A1CC1 平面 BCC1B1 ；(Ⅱ)若 AB 2 ， BAC 90，求几何体 ABC A1B1C1 的体积.解:(Ⅰ)取 BC 的中点 E ，连接 AE,C1E ，Q AB AC ，AE BC ………1 分 Q ABB1A1 是正方形，BB1 AB ，又平面 ABB1A1 平面 ABC ，BB1 平面 ABC ， 又Q AE Ü 平面 ABC ， AE BB1 ………2 分又Q BB1, BC Ü 平面 BCC1B1 ， BB1 I BC B ，AE 平面 BCC1B1 ………3 分Q B1C1 //BE ，四边形 BB1C1E 为平行四边形，C1E //B1B//A1A ，四边形 AA1C1E 为平行四边形………4 分 AE//A1C1 ， A1C1 平面 BCC1B1 ………5 分又 A1C1 Ü 平面 A1CC1 ，平面 A1CC1 平面 BCC1B1 ………6 分(Ⅱ)由(Ⅰ)知所求几何体为四棱锥 C AA1C1E 和直三棱柱 ABE A1B1C1 的 组合体………7 分Q CE AE ， CE AA1 ， AA1, AE Ü 平面 AA1C1E ，CE 平面 AA1C1E ，四棱锥 CAA1C1E的体积VC AA1C1E13 S矩形AA1C1E CE1 3AA1 AE CE1 32 224 3………9分直三棱柱ABEA1B1C1 的体积VABEA1B1C1S ABEAA11 2BEAE AA11 222 2 2 ………11 分所求几何体ABC A1B1C1 的体积V VC AA1C1E VABE A1B1C14 3210 3………12分20.(本小题满分 12 分)过点 A(1,0) 的动直线 l 与 y 轴交于点T (0,t) ，过点T 且垂直于 l 的直线 l 与直线 y 2t 相交于点 M ．(Ⅰ)求 M 的轨迹方程；(Ⅱ)设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆 O 与 y 轴相交于点 N ，且 NMA 30 ，求 AM 的值．解:(Ⅰ) Q A(1,0) ， T (0,t) ，当 t 0 时， M 的坐标为 (0,0) ………1 分y当t 0 时， kl0t 10 t ，kl 1 kl1 t，l的方程为y1xt t………2分由 y 2t 得 x t2 ，M (t2 , 2t) ………3 分验证当 t 0 时，也满足 M (t2, 2t) ………4 分 xM 的坐标满足方程 y2 4x ，即 M 的轨迹方程为 y2 4x ………5 分(Ⅱ)法一:设M (x0 ,y0 )(x0 ,y00)，则y024x0，O(x01 ,2y0 2)，圆 O 的方程为 (x 1)(x x0 ) ( y 0)( y y0 ) 0 ………6 分令x0得y2y0 yx0 0 ，即y2y0 yy02 4 0，yy0 2，即 N(0,y0 ) ，ON//x 轴………8 2分QNMA 30， QNOA 60 ，kAM 3 ，直线 AM 的方程为 y 3(x 1) ………10 分联立 y y 23(x 4x1)，消去y整理得 3x210x30 ，解得x3或x1 3(舍)，即x03 ………11分Q A 为抛物线 y2 4x 的焦点， AM x0 1 4 ………12 分法二:作 OO1 y 轴于 O1 ， MM1y 轴于 M1 ，则OO11 2(MM1OA ) ………6 分又 A 为抛物线 y2 4x 的焦点， OO11 2MA，故圆 O 与 y 轴相切于点 N………8 分QNMA 30， QNOA 60 ，kAM 3 ，直线 AM 的方程为 y 3(x 1) ………10 分联立 y y 23(x 4x1)，消去y整理得 3x210x30 ，解得x3或x1 3(舍)，即x03 ………11分Q A 为抛物线 y2 4x 的焦点， AM x0 1 4 ………12 分21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) (x 1)ln x .(Ⅰ)求 f (x) 的单调性；(Ⅱ)若不等式 ex f (x) x aex 在 (0,) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．解:(Ⅰ)法一：由f(x)(x 1) lnx，知f(x)lnx11 x………1分当0x1时，lnx0,11 x0，lnx11 x0，此时f(x)0………3分当x 1 时，lnx0,11 x0，lnx11 x0，此时f(x)0………4分 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,) 上单调递增………5 分法二：由f(x)(x1)ln x ，知f(x)lnx11 x………1分令 h(x)f(x) lnx 11 x(x 0 )，则 h(x)1 x1 x2x x210，h(x)在 (0,)上单调递增………3分Qh(1)ln1 11 10，当x (0,1)时，h(x)0；当x(1,)时，h(x)0………4分 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,) 上单调递增………5 分(Ⅱ)不等式 exf(x) x aex等价于 af(x) x ex………7分令g(x)x ex，则g(x)1 x ex，当 0 x 1时，g(x)0，当 x 1时，g(x)0， g ( x)x ex在 (0,1) 上单调递增，在 (1,)上单调递减………9分又Qf (x)在 (0,1) 上单调递减，在 (1,)上单调递增， yf(x) x ex在 (0,1) 上单调递减，在 (1,)上单调递增，即 y f(x)x ex在x1处取得最小值1 e………11 分a1 e，故实数a的取值范围是(,1 e]………12分请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 x y 1 2cos 2sin(为参数)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1, l2的极坐标方程分别为 0 ， 0 2(0 (0, ) )，l1交曲线 E于点A,B ，l2交曲线 E 于点 C, D .(Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；(Ⅱ)求 BC 2 AD 2 的值.解:(Ⅰ)由E的参数方程 x y 1 2cos 2sin(为参数)，知曲线E是以(1,0)为圆心，半径为2的圆，曲线 E 的普通方程为 (x 1)2 y2 4 ………2 分令 x cos ， y sin 得 ( cos 1)2 2 cos 2 4 ，即曲线 E 极坐标方程为 2 2 cos 3 0 ………4 分(Ⅱ)依题意得 l1 l2 ，根据勾股定理， BC2 OB2 OC2 ， AD2 OA2 OD2 ………5 分将 0 ， 0 2代入22 cos30 中，得 2 2 cos030， 22 sin03 0………7 分设点 A, B,C, D 所对应的极径分别为 1, 2 , 3, 4 ，则 1 2 2cos0 ， 12 3 ， 3 4 2sin0 ， 12 3 ………8 分 BC 2 AD 2 OA 2 OB 2 OC 2 OD 2 12 22 32 42 (1 2 )2 212 (3 4 )2 234 4cos2 0 6 4sin2 0 6 16 ………10 分 23.[选修 4─5：不等式选讲](本小题满分 10 分）x 1 2 x已知函数 f (x) 的最大值为 m ．2x 1(Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)若 a,b, c 为正数，且 a b c m，求证: bc ac ab 1.ab c 解:(Ⅰ) f (x) 的定义域为{x R | x 1} ，2Q x 1 2 x (x 1) (2 x) 2x 1 ，(x 1)(2 x) 0当且仅当 x1 2，即 1 x 1 或 1 x 2 时取等号………3 分 22 f (x) 2x 1 1，m 1………5 分 2x 1(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a b c 1………6 分Q bc ac 2 bc ac 2c ， bc ab 2 bc ab 2b ， ac ab 2 ac ab 2a ………8 分ababacacbcbc相加得 2(bc ac ab) 2(a b c) ，当且仅当 a b c 1 时取等号………9 分ab c3 bc ac ab 1………10 分 ab c命题人：王锋 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航。

2020届高考江西省九江市二模试题文科数学

2020届高考江西省九江市二模试题文科数学

绝密★启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{}2|2B x x =<，则A B ⋂=（ ）． A ．{0,1} B ．{1,1}- C ．{1,0,1}- D ．{0} 2．已知复数z 满足(3)10z i -=，则z =（ ）．A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7S =（ ）． A ．7 B ．9 C ．11 D ．144．已知sin 21cos αα=+，则tan α=（ ）． A ．43- B ．34- C ．43D ．25．已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ）．A ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a ab a <6．将函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x =的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，圆柱的轴截面ABCD 为边长为2的正方形，过AC 且与截面ABCD 垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）．A ．1BC ．2D ．8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）．A ．8B ．195 C ．163D ．13 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F ，若存在平行于x 轴的直线l ，与双曲线E 相交于A ，B 两点，使得四边形ABOF 为菱形，则该双曲线E 的离心率为（ ）．A ．1+B 1+CD ．10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）．A ．13 B ．49 C ．59 D ．2311．已知函数()ln ()f x x a x a a R =-+∈有两个零点，则a 的取值范围是（ ）． A ．(,)e +∞ B ．()2,e +∞ C ．()23,e e D ．()22,2e e12．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则（ ）．A ．1234l l l l <<<B ．1234l l l l <<=C ．1234l l l l ===D ．1234l l l l ==<第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a r ，b r 满足||1a =r，||2b =r ，()a a b ⊥-r r r ，则a r 与b r 的夹角为________．14．设x ，y 满足约束条件220220x y x y y x +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =-的最大值是________．15．ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2228tan a b c C+-=，则ABC V 的面积为________．16．如图，在一个底面边长为2P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足11a =，212a =，122n n n a a a +++=． （Ⅰ）求证：{}1n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分）BM 指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重(kg)/身高(m)的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI 28≥时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BIM 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11B C BC ∥，且1112B C BC =，AB AC =，平面11ABB A ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面11A CC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）若2AB =，90BAC ︒∠=，求几何体111ABC A B C -的体积． 20．（本小题满分12分）过点(1,0)A 的动直线l 与y 轴交于点(0,)T t ，过点T 且垂直于l 的直线l '与直线2y t =相交于点M ．（Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）设M 位于第一象限，以AM 为直径的圆O '与y 轴相交于点N ，且30NMA ︒∠=，求||AM 的值．21．（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln f x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()xxe f x x ae ≥+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ，2l 的极坐标方程分别为0θθ=，()00(0,)2πθθθπ=+∈，1l 交曲线E 于点A ，B ，2l 交曲线E 于点C ，D ．（Ⅰ）求曲线E 的普通方程及极坐标方程； （Ⅱ）求22||||BC AD +的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数||1||2||()|21|x x f x x +--=-的最大值为m ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，求证：1bc ac ab a b c++≥．绝密★启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试文科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C解：∵{|B x x =<<，∴{1,0,1}A B ⋂=-，故选C ．2．D解：1010(3)33(3)(3)i z i i i i +===+--+，故选D ． 3．D解：法一：由11a =，46S =，得4(41)4162d ⨯-⨯+=，解得13d =，∴77(71)1711423S ⨯-=⨯+⨯=，故选D ． 法二：∵()144462a a S +==，又11a =，∴42a =，∴()17477721422a a a S +⨯===，故选D ． 4．A解：∵22sincossin 22tan 21cos 22cos 2αααααα===+，∴22tan42tan 31tan 2ααα==--，故选A ． 5．B解：法一：∵01a b <<<，∴by x =，ay x =在(0,)+∞上单调递增，xy a =，xy b =在(0,)+∞上单调递减，故选B ． 法二：取14a =，12b =，则a a =12b a =，b b =，ab =b b a b <，故选B ． 6．D解：依题意得()2cos 22cos 22sin 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()2sin 2sin sin f x x y x x x x -==4cos x x -=，x k π≠，k ∈Z ，显然该函数为奇函数，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y <，故选D ． 7．C解：∵AC为椭圆的长轴，∴2a =，a =22b =，∴1b =，2221c a b =-=，∴22c =，故选C ．8．C解：依题意得输出S 的值为1，2，3，5，8，13的平均数，即12358131663S +++++==，故选C ．9．B解：如图，由对称性知||||OA OB =，∴OAF V 为边长为c 的等边三角形，∴22c⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线E 上，∴22223144c c a b -=，∴2222234c c a c a -=-，∴222341e e e -=-，解得1e =+，故选B ． 10．C解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选C ． 11．B解：()1(0)2a x a f x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意，当0a >时，0x a <<时，()0f x '<；x a >时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，∴min ()()2ln f x f a a a a ==-，依题意得2ln 0a a a -<，∴2a e >，取1x e =，22x a =，，则1x a <，2x a >，且()1()0f x f e e ==>，()()2222ln (2ln 1)f x f a a a a a a a a ==-+=-+，令()2ln 1g a a a =-+，则2()10g a a'=->，∴()g a 在()2,e +∞上单调递增，∴()22()30g a g e e >=->，∴()20f x >，故a 的取值范围是()2,e +∞，故选B ． 12．B解：正n 边形的中心运动轨迹是由n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为2nπ，每段圆弧的半径r 为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长22l n r r nππ=⋅⋅=，圆的中心运动轨迹长也为2r π，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足1234r r r r <<=，∴1234l l l l <<=，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．60︒解：()a a b ⊥-r r r ，∴20a a b -⋅=r r r ，112cos ,0a b -⨯〈〉=r r ，∴1cos ,2a b 〈〉=r r ，∴a r 与b r 的夹角为60︒．14．23解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max 22232333z =⨯-⨯=． 15．2解：由余弦定理知2222cos a b c ab C +-=，∴82cos tan ab C C =，∴sin 4ab C =，∴1sin 2ABC S ab C =V 2=．16．24解：设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =PM=3==，PO ==如图，在截面PMO 中，设N 为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，114PO PO OO R =+==2R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴2R r ==，故小球2O的体积34324V r π==．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）由122n n n a a a +++=，得()()2112n n n n a a a a +++-=--，即()21112n n n n a a a a +++-=-- 1分又2112a a -=-，∴21112n n n n a a a a +++-=-- 4分 ∴{}1n n a a +-是以12为首项，12-为公比的等比数列 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知11111222n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6分 ∴1112n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21212n n n a a ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，…，211(2)2a a n ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加得2211111111121221222233212nn n nn a a --⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+-++-+-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭… 9分又11a =，∴1212211(2)332332nnn a n ⎛⎫⎛⎫=---=--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11分又11a =也符合上式，∴221332nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12分18．解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，BMI 值在[28,30)的人数为0.1220040⨯⨯=，在[30,32)的人数为0.05220020⨯⨯=，在[32,34)的人数为0.025220010⨯⨯= 2分 1000名非高血压患者中，BMI 值在[28,30)的人数为0.0821000160⨯⨯=，在[30,32)的人数为0.032100060⨯⨯=，在[32,34)的人数为0.0052100010⨯⨯= 4分被调查者中肥胖人群的BMI 平均值(40160)29(2060)31(1010)3329.84020101606010μ+⨯++⨯++⨯==+++++ 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，200名高血压患者中，有40201070++=人肥胖，20070130-=人不肥胖 7分 1000名非高血压患者中，有1606010230++=人肥胖，1000230770-=人不肥胖 8分9分221200(70770230130)12.810.8282001000900300K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 11分有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关 12分19．解：（Ⅰ）取BC 的中点E ，连接AE ，1C E ，∵AB AC =，∴AE BC ⊥ 1分 ∵11ABB A 是正方形，∴1BB AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ， 又∵AE Ü平面ABC ，∴1AE BB ⊥ 2分又1,BB BC Ü平面11BCC B ，1BB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面11BCC B 3分∵11B C BE =∥，∴四边形11BB C E 为平行四边形，∴111C E B B A A ==∥∥，四边形11AAC E 为平行四边形 4分 ∴11AE AC ∥，∴11AC ⊥平面11BCC B 5分 又11A C Ü平面11ACC ，∴平面11ACC ⊥平面11BCC B 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求几何体为四棱锥11C AAC E -和直三棱柱111ABE A B C -的组合体 7分 ∵CE AE ⊥，1CE AA ⊥，1,AA AE Ü平面11AAC E ，∴CE ⊥平面1AA CE ，∴四棱锥11C AAC E -E 的体积1113C AA C E V S -=矩形1111142333AA C E CE AA AE CE ⋅=⋅⋅⋅== 9分直三棱柱111ABE A B C -的体积11111112222ABE A B C ABE V S AA BE AE AA -=⋅=⋅⋅⋅=⨯= 11分∴所求几何体111ABC A B C -的体积11111410233C AA C E ABE A B C V V V --=+=+= 12分20．解：（Ⅰ）∵(1,0)A ，(0,)T t ，当0t =时，M 的坐标为(0,0) 1分 当0t ≠时，010l t k t -==--，∴11l l k k t '=-=，∴l '的方程为1y x t t=+ 2分由2y t =得2x t =，∴()2,2M t t 3分 验证当0t =时，也满足()2,2M t t 4分∴M 的坐标满足方程24y x =，即M 的轨迹方程为24y x = 5分（Ⅱ）法一：设()()0000,,0M x y x y >，则2004y x =，001,22x y O +⎛⎫⎪⎝⎭', 圆O '的方程为()()00(1)(0)0x x x y y y --+--= 6分令0x =得2000y y y x -+=，即220004y y y y -+=，02y y =，即00,2y N ⎛⎫⎪⎝⎭，∴O N x '∥轴 8分∵30NMA ︒∠=，∵60NO A ︒'∠=，∴AM k =AM 的方程为1)y x =- 10分联立21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 整理得231030x x -+=，解得3x =或13x =（舍），即03x = 11分∵A 为抛物线24y x =的焦点，∴0||14AM x =+= 12分 法二：作1O O y '⊥轴于1O ，1MM y ⊥轴于1M ，则()111||2O O MM OA '=+ 6分 又A 为抛物线24y x =的焦点，∴11||2O O MA '=，故圆O '与y 轴相切于点N 8分∵30NMA ︒∠=，∵60NO A ︒'∠=，∴AM k =AM 的方程为1)y x =- 10分联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 整理得231030x x -+=，解得3x =或13x =（舍），即03x = 11分 ∵A 为抛物线24y x =的焦点，∴0||14AM x =+= 12分 21．解：（Ⅰ）法一：由()(1)ln f x x x =-，知1()ln 1 f x x x'=+- 1分 当01x <<时，ln 0x <，110x -<，1ln 10x x +-<，此时()0f x '< 3分 当1x >时，ln 0x >，110x ->，1ln 10x x+->，此时()0f x '> 4分∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 5分法二：由()(1)ln f x x x =-，知1()ln 1f x x x'=+-1分 令1()()ln 1(0)h x f x x x x '==+->，则22111()0x h x x x x+'=+=>，∴()h x 在(0,)+∞上单调递增 3分∵1(1)ln1101h =+-=，∴当(0,1)x ∈时，()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，()0h x > 4分∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 5分（Ⅱ）不等式()x xe f x x ae ≥+等价于()xxa f x e ≤- 7分 令()x x g x e =，则1()xxg x e -'=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<， ∴()x xg x e=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 9分又∵()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()x xy f x e=-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()x x y f x e =-在1x =处取得最小值1e- 11分∴1a e≤-，故实数a 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦12分请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．解：（Ⅰ）由E 的参数方程12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），知曲线E 是以(1,0)为圆心，半径为2的圆，∴曲线E 的普通方程为22(1)4x y -+= 2分 令cos x ρθ=，sin y ρθ=得222(cos 1)cos 4ρθρθ-+=， 即曲线E 极坐标方程为22cos 30ρρθ--= 4分（Ⅱ）依题意得12l l ⊥，根据勾股定理，222BC OB OC =+，222AD OA OD =+ 5分 将0θθ=，02πθθ=+代入22cos 30ρρθ--=中，得202cos 30ρρθ--=，202sin 30ρρθ+-=7分设点A ，B ，C ，D 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，3ρ，4ρ，则1202cos ρρθ+=，123ρρ=-，3402sin ρρθ+=-，123ρρ=- 8分∴()2222222222212341212||||||||||||2BC AD OA OB OC OD ρρρρρρρρ+=+++=+++=+-()22234340024cos 64sin 616ρρρρθθ++-=+++= 10分23．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1|2x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭， ∵||1||2|||(1)(2)||21|x x x x x +--≤+--=-，当且仅当(1)(2)012x x x +-≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，即112x -≤<或122x <≤时取等号 3分 ∴|21|()1|21|x f x x -≤=-，∴1m = 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a b c ++= 6分∵2bc ac c a b +≥=，2bc ab b a c +≥=，2ac ab a b c +≥= 8分 相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时取等号 9分 ∴1bc ac ab a b c++≥ 10分 命题人：王峰 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航。

江西省九江市2020届第二次高考模试统一考试文科数学试题

江西省九江市2020届第二次高考模试统一考试文科数学试题

绝密 ★ 启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题60分） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|2}B x x =<，则A B =I ( ) A.{0,1}B.{1,1}-C.{1,0,1}-D.{0}2.已知复数z 满足()103i z -=，则z =(D ) A.3i -- B.3i -+C.3i -D.3i +3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7S =() A.7 B.9C.11D.144.已知sin 21cos aa=+，则tan a =(A)A .43B .34C.43D .25.已知01a b <<<，则下列结论正确的是( ) A.a b b b < B.b b a b <C.a b a a <D.a a b a <6.将函数2cos(2)6y x p =+的图像向左平移6p 个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x=的图像大致为( )DCB A 文科数学试题(官方）7.如图，圆柱的轴截面ABCD 为边长为2的正方形，过AC 且与截面ABCD 垂直的平面 截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为( ) A.1C.2D.8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.8B.195C.163D.139.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1y x E a b-=(0,0a b >>)的右焦点F ，若存在平行于x 轴的直线l ，与双曲线E 相交于,A B 两点，使得四边形ABOF 为菱形，则该双曲线E 的离心率为()A.11+D.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为( ) A.13B.49C.59D.2311.已知函数()ln f x x a x a =-+(R a Î)有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(e,+)¥B.2(e ,)+¥C.23(e ,e )D.22(e ,2e )12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为1234,,,l l l l ，则( ) A.1234l l l l <<< B.1234l l l l <<= C.1234l l l l === D.1234l l l l ==<第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 满足1=a，2=b ，()^-a a b ，则a 与b 的夹角为.15.ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2228tan a b c C+-=，则ABC D 的面积为 . 16.如图，在一个底面边长为2P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足11a =，212a =，122n n n a aa +++=． (Ⅰ)求证:1{}n n a a +为等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式．18.(本小题满分12分) BMI 指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重(kg)/身高(m)的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI 28≥时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：2O1OB14.设,x y 满足约束条件220220x y x y y x +-ì-+íî≤≥≥，则32z x y =-的最大值是.(Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值m ；(Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 肥胖 不肥胖 合计高血压非高血压 合计高血压非高血压20.(本小题满分12分)过点(1,0)A 的动直线l 与y 轴交于点(0,)T t ，过点T 且垂直于l 的直线l ¢与直线2y t =相交于点M ． (Ⅰ)求M 的轨迹方程；(Ⅱ)设M 位于第一象限，以AM 为直径的圆O ¢与y 轴相交于点N ，且30NMA Ð=°，求AM 的值． 19.(本小题满分12分)如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B11//B C BC ，且1112B C BC =，AB AC =，平面11ABB A ^平面ABC .(Ⅰ)求证：平面11ACC ^平面11BCC B； (Ⅱ)若2AB =，90BAC Ð=°，求几何体111ABC A B C -的体积.1B21.(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln f x x x =-. (Ⅰ)求()f x 的单调性； (Ⅱ)若不等式e ()e x xf x x a ³+在(0,)+¥上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10分)在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos 2sin x y jj =+ìí=î(j 为参数)，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ,2l 的极坐标方程分别为0q q =，02q q p=+(0(0,)q Îp )，1l 交曲线E 于点,A B ，2l 交曲线E 于点,C D .(Ⅰ)求曲线E 的普通方程及极坐标方程；(Ⅱ)求22BC AD +的值.23.[选修4─5：不等式选讲](本小题满分 10分） 已知函数12()21x x f x x +--=-的最大值为m ．(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证:1bc ac ab a b c++³.。

2020年江西省九江市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年江西省九江市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

A. 1
B. 0
C. 2
D. -1
8. 在△ABC 中，若 2 2=
，则△ABC 是（ ）
A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形
B. 直角三角形 D. 等边三角形
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9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则 该几何体的表面积为（ ）
6.答案：B
解析：【分析】 本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题，是基础题． 设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，根据题意画出图形，结合图形求出 R 与 r 的关 系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值． 【解答】 解：设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的截面是该等边三角形的内切 圆，
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
11.答案：B
解析：解：由 x2+y2（lny-lnx）-axy=0（a∈R）成立，可得 x＞0，y＞0； 同时除以 xy，
可得
存在实数解；
令 ，（t＞0）
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可得函数 f（t）=
，
∴f′（t）=
令 f′（t）=0， 可得 t=1， 当 t 在（0，1）时，f′（t）＜0，那么 f（t）在（0，1）上单调递减； 当 t 在（1，+∞）时，f′（t）＞0，那么 f（t）在（1，+∞）上单调递增； ∴f（t）min=f（1）=1； 使得 x2+y2（lny-lnx）-axy=0（a∈R）存在实数解， 则 a≥1， 故选：B． 存在性问题转化为有解问题求解，利用到函数研究其单调性求解最小可得 a 的范围； 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，导函数的单调性的应用．

2020年江西省九江市十校高考(文科)数学(4月份)模拟试卷 含解析

2020年江西省九江市十校高考(文科)数学(4月份)模拟试卷 含解析

2020年高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}，B＝{x|2﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞6}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜1}D．{x|2＜x＜6} 2．＝（）A．B．1C．D．i3．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%4．若x，y满足约束条件且z＝x+2y，则（）A．z的最大值为6B．z的最大值为8C．z的最小值为6D．z的最小值为85．若双曲线mx2+ny2＝1（m＞0）的离心率为，则＝（）A．B．C．4D．﹣46．如图，在等腰直角△ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），过E 作AD的垂线，垂足为F，则＝（）A．B．C．D．7．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P﹣ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P﹣ABC的体积为C．三棱锥P﹣ABC的侧面积为3D．|PA|＝|PB|＝|PC|＝8．已知a＝40.6，b＝21.1，c＝log412，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．若曲线y＝x4﹣x3+ax（x＞0）存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）11．设S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，且a n+1＝﹣S n S n+1，则++…+＝（）A．﹣66B．77C．88D．9912．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）A．λ＜﹣16B．λ＝﹣16C．﹣12＜λ＜0D．λ＝﹣12二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线．13．某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人、女员工40人，第2个部门男员工150人、女员工200人，第3个部门男员工240人、女员工160人．若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为．14．在等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a4+a5＝27，则{a n}的前5项和为．15．已知f（x）为偶函数，当0≤x＜4时，f（x）＝2x﹣3，当x≥4时，f（x）＝21﹣2x，则不等式f（x）＞5的解集为．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为．三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，已知a tan B＝3b sin A．（1）求cos B；（2）若a＝3，，求△ABC的面积．18．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]六组，得到如下频率分布直方图．（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4）内的概率．19．已知椭圆的焦距为，短轴长为．（1）求Ω的方程；（2）若直线y＝x+2与Ω相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程．20．如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在的平面，平面ADE⊥平面ACD，且CD∥BE．（1）证明：CD＝BE．（2）若AC＝1，AB＝，异面直线AD与BE所成的角是45°，求四棱锥A﹣BCDE 的内切球的半径．21．已知函数f（x）＝lnx+sin x+1，函数g（x）＝ax﹣1﹣blnx（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）证明：当a＝b＝1时，g（x）≥0．（3）证明：f（x）＜（x2+1）e sin x．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知点P的直角坐标为（﹣2，0），过P的直线l与曲线C相交于M，N两点．（1）若l的斜率为2，求l的极坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求•的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，记不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）设a，b∈M，证明：|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}，B＝{x|2﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞6}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜1}D．{x|2＜x＜6}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：因为A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}＝{x|x＜1或x＞6}，B＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，所以A∩B＝{x|x＜1}．故选：C．2．＝（）A．B．1C．D．i【分析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数．解：．故选：A．3．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100＝800（万元），共中水费支出250（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100＝800（万元），共中水费支出250（万元），∴去年的水费开支占总开支的百分比为：＝6.25%．故选：A．4．若x，y满足约束条件且z＝x+2y，则（）A．z的最大值为6B．z的最大值为8C．z的最小值为6D．z的最小值为8【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域，由图可知，当直线z＝x+2y经过点（2，2）时z取得最小值6，z无最大值．故选：C．5．若双曲线mx2+ny2＝1（m＞0）的离心率为，则＝（）A．B．C．4D．﹣4【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，由定义可得离心率的表达式再由题意可得所求的值．解：由题意双曲线化为标准方程：﹣＝1（m＞0），所以离心率e＝＝，则＝＝4，即＝﹣4，故选：D．6．如图，在等腰直角△ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），过E 作AD的垂线，垂足为F，则＝（）A．B．C．D．【分析】由题意设BC＝6，表示出DE＝2，AD、AE的值，求出∠DAE的余弦值，再利用平面向量的线性运算计算即可．解：设BC＝6，则DE＝2，，，所以，所以；因为，所以．故选：D．7．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P﹣ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P﹣ABC的体积为C．三棱锥P﹣ABC的侧面积为3D．|PA|＝|PB|＝|PC|＝【分析】根据三视图画出该三棱锥P﹣ABC的直观图，结合图形判断选项中的命题是否正确即可．解：根据三视图知，该三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，且PD⊥底面ABC，所以PA、PB、PC不可能两两垂直，A错误；计算三棱锥P﹣ABC的体积为V＝××2×2×2＝，所以B错误；计算三棱锥P﹣ABC的侧面积为S＝×2×+×2×+×2×2＝2+2，所以C错误；由题意计算|PA|＝|PB|＝|PC|＝＝，所以D正确．故选：D．8．已知a＝40.6，b＝21.1，c＝log412，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质比较a，b，c与2的大小得答案．解：a＝40.6＝21.2＞21.1＝b＞2，c＝log412＜log416＝2，∴c＜b＜a．故选：A．9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用辅助角公式将函数y＝f（x）的解析式化简为，根据题意得出，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值．解：∵，由于该函数的图象关于直线对称，则，得，∵ω＞0，当k＝0时，ω取得最小值．故选：C．10．若曲线y＝x4﹣x3+ax（x＞0）存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【分析】先对函数求导数，既然存在斜率小于1的切线，即导数小于1这个不等式有解．再将问题转化为函数的最值问题即可．解：由题意得y′＝4x3﹣3x2+a＜1当x＞0时有解．设f（x）＝4x3﹣3x2+a（x＞0），∴f′（x）＝12x2﹣6x＝6x（2x﹣1），令f′（x）＜0得，令，∴，则．故选：C．11．设S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，且a n+1＝﹣S n S n+1，则++…+＝（）A．﹣66B．77C．88D．99【分析】本题先将a n+1＝S n+1﹣S n代入a n+1＝﹣S n S n+1，进一步转化可得﹣＝，从而发现数列{}是以为首项，为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式可计算出++…+的值．解：由题意，可知a n+1＝S n+1﹣S n，∵a n+1＝﹣S n S n+1，∴S n+1﹣S n＝﹣S n S n+1，两边同时乘以，整理得﹣＝，∵＝＝，∴数列{}是以为首项，为公差的等差数列，∴++…+＝22×+×＝88．故选：C．12．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）A．λ＜﹣16B．λ＝﹣16C．﹣12＜λ＜0D．λ＝﹣12【分析】分别求出两条直线与两条曲线的相交弦长，代入可得λ的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则，因为直线y＝k（x﹣1）经过C的焦点，所以．同理可得，所以λ＝4﹣16＝﹣12．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线．13．某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人、女员工40人，第2个部门男员工150人、女员工200人，第3个部门男员工240人、女员工160人．若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为24．【分析】用样本容量乘以女员工所占的比例，即得所求．解：女员工占的比例为＝，故应抽取的女员工人数为51×＝24（人），故答案为：24．14．在等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a4+a5＝27，则{a n}的前5项和为．【分析】由已知结合等比数列的性质可求首项及公比q，然后代入等比数列的求和公式可求．解：∵等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a4+a5＝（a1+a2）•q3＝27，∴q＝3，∴a1+a2＝a1+a1q＝1，∴a1＝，则{a n}的前5项和＝故答案为：．15．已知f（x）为偶函数，当0≤x＜4时，f（x）＝2x﹣3，当x≥4时，f（x）＝21﹣2x，则不等式f（x）＞5的解集为（﹣8，﹣3）∪（3，8）．【分析】求出不等式f（x）＞5在x∈[0，+∞）的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式f（x）＞5在R上的解集．解：当0≤x＜4时，令f（x）＝2x﹣3＞5，可得2x＞8，解得x＞3，此时3＜x＜4；当x≥4时，令f（x）＝21﹣2x＞5，解得x＜8，此时4≤x＜8．所以，不等式f（x）＞5在x∈[0，+∞）的解为3＜x＜8．由于函数f（x）为偶函数，因此，不等式f（x）＞5的解集为（﹣8，﹣3）∪（3，8）．故答案为：（﹣8，﹣3）∪（3，8）．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为12．【分析】设AB＝a，AA1＝h，则4π×（）2＝12π，利用基本不等式即可表示出侧面积最值解：设AB＝a，AA1＝h，则4π×（）2＝12π，即有2a2+h2＝12≥2，所以ah≤3，当且仅当2a2＝h2，即h＝a＝时，等号成立，故该四棱柱的侧面积最大值为3×4＝12．故答案为：12．三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，已知a tan B＝3b sin A．（1）求cos B；（2）若a＝3，，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B的值；（2）利用余弦定理求出c的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B的值，最后利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积【解答】解（1）因为a tan B＝3b sin A，所以sin A tan B＝3sin B sin A，又sin A＞0，所以，因为sin B＞0，所以；（2）由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，则，整理得c2﹣2c﹣8＝0，∵c＞0，解得c＝4．因为，所以，所以△ABC的面积．18．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]六组，得到如下频率分布直方图．（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4）内的概率．【分析】（1）平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．（2）写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率．解：（1）因为答对题数的平均数约为（1×0.025+3×0.025+5×0.0375+7×0.125+9×0.1875+11×0.1）×2＝7.9．所以这40人的成绩的平均分约为7.9×10＝79．（2）答对题数在[2，4）内的学生有0.025×2×40＝2人，记为A，B；答对题数在[4，6）内的学生有0.0375×2×40＝3人，记为c，d，e．从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取2人的情况有（A，B），（A，c），（A，d），（A，e），（B，c），（B，d），（B，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种，恰有1人答对题数在[2，4）内的情况有（A，c），（A，d），（A，e），（B，c），（B，d），（B，e），共6种，故所求概率．19．已知椭圆的焦距为，短轴长为．（1）求Ω的方程；（2）若直线y＝x+2与Ω相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程．【分析】（1）根据题意求出a和b的值，即可求出椭圆Ω的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆Ω的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB的中点和|AB|，即可得出所求圆的标准方程．解：（1）设椭圆Ω的焦距为2c（c＞0），则，，所以，，a2＝b2+c2＝8，所以Ω的方程为；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y，得5x2+16x+8＝0．由韦达定理得，，所以，线段AB的中点坐标为，，所以，所求圆的标准方程为．20．如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在的平面，平面ADE⊥平面ACD，且CD∥BE．（1）证明：CD＝BE．（2）若AC＝1，AB＝，异面直线AD与BE所成的角是45°，求四棱锥A﹣BCDE 的内切球的半径．【分析】（1）证明BCDE是平行四边形即可证明CD＝BE．（2）利用等体积法求解，【解答】（1）证明：∵点C在直径为AB的半圆O上，AB是直径，∴CB⊥AC∵CD⊥平面ACB，BC⊂平面ACDB，∴CB⊥CD∵CB∩CD＝C，∴CB⊥平面ACD又∵平面ADE⊥平面ACD，∴BC平面∥ADEBC⊂平面ECDB，∴CB⊥CD平面ECDB∩平面ADE＝DE∴BC∥DE，且CD∥BE．∴平面BCDE是平行四边形，即得CD＝BE．（2）解：CD∥BE．异面直线AD与BE所成的角是45°，∴∠ADC为AD与BE所成的角是45°，∴CD＝AC＝1，BC＝＝2由（1）可知AC⊥平面BCDE，∴四棱锥A﹣BCDE的体积V＝；∵四棱锥A﹣BCDE的表面积S＝＝故得四棱锥A﹣BCDE的内切球的半径R＝．21．已知函数f（x）＝lnx+sin x+1，函数g（x）＝ax﹣1﹣blnx（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）证明：当a＝b＝1时，g（x）≥0．（3）证明：f（x）＜（x2+1）e sin x．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性；（2）结合（1）中单调性可求函数的最值；（3）由（2）可得x2e sin x﹣1﹣ln（x2e sin x）≥0，即x2e sin x≥1+2lnx+sin x，利用不等式的性质可证．解：（1）函数g（x）的定义域（0，+∞），，当a＞0，b＜0时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0，b＞0时，由g′（x）＞0可得x＞，此时函数单调递增，令g′（x）＜0可得0＜x＜，此时函数单调递减，当a＜0，b＞0时，g′（x）＜0，函数在（0，+∞）单调递减，当a＜0，b＜0时，由g′（x）＞0可得0＜x＜，此时函数单调递增，令g′（x）＜0可得x＞，此时函数单调递减，（2）当a＝b＝1时，g（x）＝x﹣1﹣lnx，由（1）知，g（x）min＝g（1）＝0，所以g（x）≥0，（3）因为x＞0，所以x2e sin x＞0，由（2）可得x2e sin x﹣1﹣ln（x2e sin x）≥0，即x2e sin x≥1+2lnx+sin x，又（x2+1）e sin x＞x2e sin x．∴（x2+1）e sin x＞2lnx+sin x+1，即f（x）＜（x2+1）e sin x．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知点P的直角坐标为（﹣2，0），过P的直线l与曲线C相交于M，N两点．（1）若l的斜率为2，求l的极坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求•的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．转换为直角坐标方程为（x+1）2+y2＝4．点P的直角坐标为（﹣2，0），过P的直线l的斜率为2，故直线的方程为y＝2（x+2），整理得2ρcosθ﹣ρsinθ+4＝0．（2）直线的方程为y＝2（x+2），转换为参数方程为：（t为参数）代入圆的方程得到：，所以：t1t2＝﹣3．故：•的值＝t1t2＝﹣3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，记不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）设a，b∈M，证明：|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0．【分析】（1）由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M；（2）运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．解：（1）f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，可得x≥时，f（x）＜4即2x﹣1+2x+1＜4，解得≤x＜1；当x≤﹣时，f（x）＜4即1﹣2x﹣2x﹣1＜4，解得﹣1＜x≤﹣；当﹣＜x＜时，f（x）＜4即1﹣2x+2x+1＜4，解得﹣＜x＜；则M＝（﹣1，1）；（2）证明：要证|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0，即证（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0，由a，b∈M，即﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1，可得|a|＜1，|b|＜1，即|a|﹣1＜0，|b|﹣1＜0，可得（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0，故|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0成立．。

2020年江西省九江市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)

2020年江西省九江市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)

2020年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，，，则A. B. C. 0， D.2.已知复数z满足，则A. B. C. D.3.已知等差数列的前n项和为，若，，则A. 7B. 9C. 11D. 144.已知，则A. B. C. D. 25.已知，则下列结论正确的是A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位得到函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.7.如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 1B.C. 2D.8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为A. 8B.C.D. 139.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为A. B. C. D.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为A. B. C. D.11.已知函数有两个零点，则a的取值范围是A. B. C. D.12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小为______．14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______．15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为______．16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足．Ⅰ求证：为等比数列；Ⅱ求的通项公式．18.BMI指数身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称是衡量人体胖瘦程度的一个标准，体重身高的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：Ⅰ求被调查者中肥胖人群的BMI平均值；Ⅱ填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖不肥胖合计高血压非高血压合计k附：，其中．19.如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，平面平面ABC．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ若，，求几何体的体积．20.过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M．Ⅰ求M的轨迹方程；Ⅱ设M位于第一象限，以AM为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值．21.已知函数．Ⅰ求的单调性；Ⅱ若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为为参数，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，，交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D．Ⅰ求曲线E的普通方程及极坐标方程；Ⅱ求的值．23.已知函数的最大值为m．Ⅰ求m的值；Ⅱ若a，b，c为正数，且，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合0，1，，，0，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：由，得．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：设等差数列的公差为d，若，，则，解得；所以．故选：D．根据题意求出等差数列的公差d，再计算的值．本题考查了等差数列的前n项和公式计算问题，是基础题．4.答案：A解析：解：，，两边平方，得，即，整理得，，解得，或；当时，，无意义；当时，，．故选：A．根据同角的三角函数的平方关系，先化简已知条件，求出的值，再求出的值，即可得出答案．本题考查了同角的三角函数的求值问题，解题时应灵活地利用三角函数的基本关系进行解答，是基础题．5.答案：B解析：解：对于选项A：由指数函数为减函数，且，所以，故选项A 错误；对于选项B：由幂函数在上为增函数，且，所以，故选项B 正确；对于选项C：由指数函数为减函数，且，所以，故选项C错误；对于选项D：由幂函数在上为增函数，且，所以，故选项D错误；故选：B．利用指数函数和幂函数的单调性求解．本题主要考查了指数函数和幂函数的单调性，是基础题．6.答案：D解析：解：将函数的图象向左平移个单位得到函数，故，易知函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除BC；又，可排除A．故选：D．先根据三角函数图象的变换法则求出，进而求得的解析式，再根据解析式的奇偶性及函数值的正负确定函数图象即可．本题考查三角函数的图象变换，以及利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：由图可知，该椭圆的长轴，短轴即为圆柱底面直径，即，所以，，则，所以焦距，故选：C．根据图形，得到，，即可得到c本题考查椭圆的性质，数形结合思想，根据图形得到a，b是关键，属于基础题．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，此时，满足条件，退出循环，输出S的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：B解析：解：双曲线E：，的右焦点分别为F，由于直线轴，与双曲线E相交于A，B两点，且四边形ABOF为菱形，可得：，代入双曲线方程可得：，由于，化简得，，可得：，解得．故选：B．通过四边形ABOF为菱形，求出A的坐标，代入双曲线方程，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：解：在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个数字，其中有5个奇数，则所拨数字为奇数的概率为．故选：C．利用列举法求出所拨数字可能有9个数字，其中有5个奇数，由此能求出所拨数字为奇数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：B解析：解：令，整理可得，当，即时，等式不成立，所以，则，令，则，令，则，解得，和，，单调递减，，单调递增，的图象大致如图，所以有两个零点的a的范围为：，故选：B．令函数，可得，时不成立，则，令，对求导得它的单调性，画出大致图象，可得函数有两个零点的a的范围，进而可得的由两个零点的a的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及零点的情况，属于中档题．12.答案：B解析：解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为的弧长，设半径分别为，，，，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，对于正方形，如图所示：，，；对于正五边形，如图所示：，，，；对于正六边形，如图所示：，，为等边三角形，；而，又因为，，，，所以，故选：B．由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为的弧长，设半径分别为，，，，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特征可知，，，再利用弧长公式即可得到．本题主要考查了弧长公式，以及正方形、正五边形、正六边形得几何特征，是中档题．13.答案：解析：解：，，，则，即有，则，，由于，则有向量，夹角为．故答案为：．运用向量垂直的条件，即为数量积为0，再由向量的夹角公式计算即可得到夹角．本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：x，y满足约束条件，的可行区域如下图阴影所示；目标函数，，，．．．故目标函数的最大值为．故答案为：．根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知约束条件，求目标函数最优解最常用的方法，一定要熟练掌握．15.答案：2解析：解：，由余弦定理可得：，，可得，的面积．故答案为：2．由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：解析：解：设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，，如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上，且，设球的半径为R，则，因为，所以，则，，所以，设球与球相切与点Q，则，设球的半径为r，同理可得，所以，故小球的体积，故答案为：．设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，如图，分别可求得大球与小球半径分别为和，进而可得小球的体积．本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于中档偏难题．17.答案：Ⅰ证明：，，即，，又，数列为首项为，公比为的等比数列；Ⅱ解：由可知：，，，，，累加得：，又，，．解析：Ⅰ由得，又，所以数列为首项为，公比为的等比数列；Ⅱ由可知：，利用累加法求出，所以．本题主要考查了数列的递推式，考查了等比数列的定义，以及累加法求数列的通项公式，是中档题．18.答案：解：Ⅰ被调查者中肥胖人群的BMI平均值；Ⅱ高血压人群中肥胖的人数为：人，不肥胖的人数为：人，非高血压人群中肥胖的人数为：，不肥胖的人数为：人，肥胖不肥胖合计高血压70130200非高血压2307701000合计3009001200则K的观测值：，有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．解析：Ⅰ取区间中点值作为该组数据的代表，分别用的各区间中点值乘以该组的频率再相加，即可得到被调查者中肥胖人群的BMI平均值；Ⅱ根据频率分布直方图，计算出高血压人群中肥胖的人数和不肥胖的人数，非高血压人群中肥胖的人数和不肥胖的人数，完成列联表，再计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：证明：取BC的中点D，连接AD，D.四边形是正方形，，又平面平面ABC，平面平面．平面ABC，平面ABC，．中，，，，又，平面．四边形是梯形，，且．，四边形是平行四边形，，又，，四边形是平行四边形．，平面．又平面，平面平面．Ⅱ解：由可得：三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，底面．直三棱柱的体积，四棱锥的体积．几何体的体积．解析：取BC的中点D，连接AD，D.由正方形可得：，又平面平面ABC，可得平面ABC，于是由是等腰三角形，可得，利用线面垂直的判定定理可得：平面利用梯形的性质可得：四边形是平行四边形，进而得出四边形是平行四边形．即可证明结论．Ⅱ由可得：三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，底面利用直三棱柱的体积计算公式、四棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直三棱柱与四棱锥的体积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ因为，，当时，M为，当时，，则，则的方程为，由得，所以，验证当时，也满足，故M的坐标满足方程，则M的轨迹方程为；Ⅱ设，则，，则的方程为，令，得，即，即，所以轴，因为，，所以，则直线AM的方程为，联立，整理得，解得或舍，故，因为A为抛物线的焦点，所以．解析：Ⅰ当时，M为，当时，表示出的方程，得到；Ⅱ，，得到N，表示出方程，得到，进而得到AM方程，与抛物线联立，解得即可本题考查点的轨迹方程，考查直线与圆、抛物线综合，属于中档偏难题．21.答案：解：Ⅰ的定义域为，，当时，单调递减，当时，单调递增，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；Ⅱ不等式等价于，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又的单调递减区间为，单调递增区间为，在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得最小值，，即实数a的取值范围为．解析：Ⅰ求导可得，易知当时，，当时，，由此即可求得单调性；Ⅱ问题等价于在上恒成立，令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合可知在上单调递减，在上单调递增，由此求得在上的最小值，进而得到实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及求解能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线E的参数方程为为参数，由，即曲线E的普通方程为圆；由，，，可得；Ⅱ当直线的斜率不存在，可设，，可得直线的斜率为0，可设，，则；当直线的斜率存在且不为0，方程设为，直线的方程设为，由可得，可设，，，，可得，，即有，将k换为可得，则．综上可得的值为16．解析：Ⅰ由同角的平方关系可得曲线E的普通方程；由，，，代入化简可得曲线E的极坐标方程；Ⅱ分别讨论直线的斜率不存在，求得A，B，C，D的坐标，计算可得所求和；若斜率存在且不为0，设出两直线的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，结合两点的距离公式可得所求和．本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，考查直线和圆的方程联立，运用韦达定理和两点的距离公式，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．23.答案：解：Ⅰ的定义域为，，当且仅当时取等号，，即的最大值为1，；Ⅱ证明：由Ⅰ知，，，，，，当且仅当时取等号．解析：Ⅰ利用绝对值不等式的性质可得，进而得到，由此求得m的值；Ⅱ由Ⅰ知，，再利用基本不等式累加即可得证．本题主要考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。

2020年江西省九江市高考数学二模试卷(文科)

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2020年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|2}B x x =<，则(A B =I ) A ．{0，1}B ．{1-，1}C ．{1-，0，1}D ．{0}2．（5分）已知复数z 满足(3)10z i -=，则(z = ) A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7(S = ) A ．7 B ．9C ．11D ．144．（5分）已知sin 21cos αα=+，则tan (α= )A ．43-B ．34C ．43D ．25．（5分）已知01a b <<<，则下列结论正确的是( ) A ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <6．（5分）将函数2cos(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x=的图象大致为( )A ．B ．C ．D．7．（5分）如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为()=A．1B．2C．2D．228．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A．8B．195C．163D．139．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为()A．231B31C3D．2310．（5分）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为()A．13B．49C．59D．2311．（5分）已知函数()()f x x alnx a a R=-+∈有两个零点，则a的取值范围是() A．(,)e+∞B．2(e，)+∞C．2(e，3)e D．2(e，22)e 12．（5分）现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l，2l，3l，4l，则()A．1234l l l l<<<B．1234l l l l<<=C．1234l l l l===D．1234l l l l==<二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知向量ar，br满足||1a=r，||2b=r，()a a b⊥+rr r，则向量ar，br夹角的大小为．14．（5分）设x，y满足约束条件220220x yx yy x+-⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，则32z x y=-的最大值是．15．（5分）ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2228tana b cC+-=，则ABC∆的面积为．16．（5分）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD-中，大球1O内切于该四棱锥，小球2O与大球1O及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O的体积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{}n a 满足121211,,22n n n a a a a a ++==+=．（Ⅰ）求证：1{}n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式．18．（12分）BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex ，简称)BMI 是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重()/kg 身高()m 的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当28BMI …时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计2()P K k …0.05 0.010 0.001 k3.8416.63510.828附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11//B C BC ，且111,2B C BC AB AC ==，平面11ABB A ⊥平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面11ACC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）若2AB =，90BAC ∠=︒，求几何体111ABC A B C -的体积．。

2024江西省九江市高三下学期二模数学试题及答案

2024江西省九江市高三下学期二模数学试题及答案

九江市2024年第二次高考模拟统一考试数 学 试 题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|24A x x =-≤≤，2{|60}B x x x =-≥，则A B =( A )A.[2,0]-B.[0,4]C.[2,6]-D.[4,6]解:{}|06B x x x =≤或≥，[2,0]∴=-AB ，故选A.2.已知2i1iz +=-，则z =( D ) A.33i 22+ B.33i 22- C.13i 22+ D.13i 22- 解:(2i)(1i)13i (1i)(1i)22z ++==+-+，13i 22∴=-z ，故选D.3.若函数()ln(1)f x ax =+在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是( C ) A.(,0)-∞B.1(,0)2-C.1[,0)2-D.[1,0)-解：由复合函数单调性可知，()1=+u x ax 在(1,2)上单调递减，0∴<a .由定义域可知，()10=+>u x ax 在(1,2)上恒成立，(2)0∴≥u ，12∴≥-a .综上102-<≤a .故选C.4.第14届国际数学教育大会(ICME-International Congress ofMathematics Education )在我国上海华东师范大学举行.如图是 本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦 中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是2020848487830123=⨯+⨯+⨯+⨯，正是会议计划召开的年份，那么八进制数107777个换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是( B )A.1B.3C.5D.7解:换算后的数是10019107(18)7878788118-⨯+⨯++⨯==--，12348888，，，，的末位数字构成以4为周期的数列84268426，，，，，，，，，故1810-的末位数字是3.故选B. 5.在正方体D C B A ABCD -中，O 为四边形D C B A 的中心，则下列结论正确的是（ B ）A.1//BC AOB.BD AO ⊥C.平面⊥AOB 平面CODD.若平面 AOB 平面l COD =，则//l 平面D BC 1解：A 选项，连接1AD ，11//AD BC ，又1AOAD A =，A 错误.B 选项，BD ⊥平面11ACC A ，AO ⊆平面11ACC A ，故AO BD ⊥，B 正确. C 选项，取,AB CD 的中点,M N ，1111,A D B C 的中点,E F ， 连接,,,OM ON MN EF ，易得EF ⊥平面MON ，故MON ∠为 平面AOB 与平面COD 所成的二面角，设2AB =，则OM ON ===2MN ，显然π2MON ∠≠，C 错误. D 选项，若平面 AOB 平面l COD =，则l 即为直线EF ，EF AB ∥，而AB 平面1BC D B =，D 错误. 故选B.6.已知π,(0,)2αβ∈，5cos()6αβ-=，1tan tan 4αβ⋅=，则αβ+=( A )A.π3B.π4C.π6D.2π3解：由已知可得5cos cos sin sin ,6sin sin 1,cos cos 4αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⎪⋅⎩ 解得2cos cos ,31sin sin .6αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=,(0,π)αβ+∈，π3αβ∴+=.故选A. 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a b >>)的右焦点为F ，P 为C 上一点，以OP 为直径的圆与C 的两条渐近线相交于异于点O 的,M N 两点.若6||||5PM PN ⋅=,则C 的离心率为（ B ）A.2B.3C.32解:依题意得PM OM ⊥,PN ON ⊥，设00(,)P x y ，则2200221x y a b-=，2222222200222||6||||55b x a y a b a b PM PN a b c -⋅=====+，226a b ∴=，又225a b +=，0a b >>，a ∴=b =，3e ∴=，故选B. 8.已知一个圆台内接于球O (圆台的上、下底面的圆周均在球面上).若该圆台的上、下底面半径分别为1FE D 1 C 1OB 1A1 DCNBMA和2，且其表面积为(532)π，则球O 的体积为（ C ）A.32π3B.5πD.解:设圆台母线长为l ，上、下底面半径分别为1r 和2r ，则圆台侧面积为12π()π(12)3πS r r ll l 侧，上、下底面面积分别为π和4π.圆台表面积为(532)π，2l，圆台高1h ===.设球O 半径为R ，圆台轴截面ABCD 为等腰梯形，且4AB ，2CD ，高为 1.作OMAB 于点M ，设OMx .222122r h r +=<，球心O 在圆台外部，22224,1(1),R x Rx 解得1,5x R ，球O的体积为3.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下:则下列说法正确的是（ ABD ）A ．三轮射击9项成绩极差为1.5B ．三轮射击成绩最好的一轮是第五轮C ．从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定D ．从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出解:三轮射击9项成绩极差为106.5105 1.5，A 正确；第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，B 正确；王芝琳的射击成绩最稳定，C 错误；黄雨婷的平均成绩约为105.67，韩佳予的平均成绩为106，王芝琳的平均成绩约为105.33，D 正确.故选ABD.10.已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，O 为坐标原点，动点P 在C上，若定点M 满足2MF OF =，则（ BD ）A.C 的准线方程为2xB.PMF △周长的最小值为5C.直线MF 的倾斜角为π6D.四边形OPMF 不可能是平行四边形解:MF =2p OF =，由2MF OF =，得238280p p +-=，解得2p =.∴C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-，A 错误；过点P 作准线1x =-的垂线，垂足为H ，由抛物线定义知PF PH =，ABC D M Or 1r 2lPMF △周长为PM PF MF ++2PM PH =++，当,,M P H 三点共线时，PM PH +取得最小值3，PMF ∴△周长的最小值为5，B正确；32MF k ==∴直线MF 的倾斜角为π3，C 错误；过点M作OF的平行线，交抛物线于点P ，可得P 的坐标为3(4，此时35244PM OF =-=≠，∴四边形OPMF不是平行四边形，D 正确.故选BD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，,R x y ∀∈，()()()f xy xy xf y yf x +=+，则下列命题正确的是（ ACD ） A.()f x 为奇函数B.()f x 为R 上减函数C.若0x ≠，则11()()xf f x x x+为定值D.若(2)2f =，则101(2)2046kk f ==∑解：令1x y ==，得(1)1f =；令1x y ==-，得(1)1f -=-；令1y =-，得()(1)()f x x x f f x --=--，即()()f x f x -=-，()f x ∴为奇函数，A 正确；由(1)1f -=-，(1)1f =，知()f x 不可能为R 上减函数，B 错误； 令1y x =，得11(1)1()()f xf f x x x +=+，即11()()2xf f x x x+=，C 正确； 令2y =，得(2)2(2)2()f x x xf f x +=+，(2)2f =，(2)2()f x f x ∴=，故(2)2n n f =，1010121012(12)(2)222204612kk f =-∴=+++==-∑，D 正确.故选ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且仅有1人，则甲不派往乡村A 的选派方法有_ 96 _种.解:144496=C A . 13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知(0,2)A ，(4,2)B ，(,1)C a -，且ABC △为圆220x y Ex Fy +++=内接三角形，则ABC △的欧拉线方程为1y =.解:依题意得222220,42420,F E F ⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩ 解得4,2.E F =-⎧⎨=-⎩ 故圆心坐标为(2,1)，即ABC △的外心坐标为(2,1).又ABC △的重心坐标为4(,1)3a +，故ABC △的欧拉线方程为1y =. 14.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知,,A B C 成等差数列，224+=a c ，则△ABC面积的最大值是,2(4sin sin 3)+=A C b 12 .解:,,A B C 成等差数列，2B A C ∴=+，又πA C B +=-，π3B ∴=，2242a c ac +=≥，2ac ∴≤，当且仅当a c ==时取等号，1sin 242ABC S ac B ac ∴==△≤，故ABC △面积的最大值为2.由正弦定理得sin sin 2b A a B a ==，sin sin 2b C c B c ==，2222(4sin sin 3)4(sin )(sin )3433()22A C b b A b C b a c b ac b ∴+=+=⨯⨯+=+， 由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即2224ac b a c +=+=，2(4sin sin 3)3412A C b ∴+=⨯=.(第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知函数()(2)ln(1)=--+f x x a x b (,a b ∈R )在2=x 处的切线方程为023=--y x . (1)求b a ,的值;(2)判断()f x 的单调性.解:(1)2()2ln(1)1-'=-+-x af x x x ………1分 由题意，(2)3f '=，(2)4f =………3分(每写对一个得1分)43∴-=a 且4=b ，即1a =，4b =………5分(每写对一个得1分)(2)由(1)知21()2ln(1)1x f x x x -'=-+-(1x >)………6分 令21()()2ln(1)1x g x f x x x -'==-+-，则222123()1(1)(1)x g x x x x -'=-=---………7分 当3(1,)2x ∈时，()0g x '<；当3()2x ∈+∞，时，()0g x '>………9分(每写对一个得1分)()f x '∴在3(1,)2上单调递减，在3()2+∞，上单调递增………10分 3()()42ln 202f x f ''∴=->≥………12分()f x ∴在(1,)+∞上单调递增………13分16.(本小题满分15分)2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品优品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理,处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元，需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.解:(1)设事件i B 表示“产品来源于第i 条生产线”（1,2,3i =），事件A 表示“取得良品”. 由全概率公式，可得112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++………1分0.2(10.85)0.2(10.8)0.6(10.95)0.1=⨯-⨯-+⨯-=………5分(每写对一个得1分)(2)由(1)可知，选择甲企业同时购得两台优品的概率为(10.1)(10.1)0.81=-⨯-=P ………6分∴从甲企业购买设备只需要两台设备的概率为0.81，需要购买第三台设备的概率为0.19…………8分 设从甲企业购买设备费用为X ，则X 的所有可能取值为60000,90000………10分 X 的分布列为 ∴()0.1965700E X ==（元）………12分选择乙企业购买设备费用为Y ，则()32300069000E Y =⨯=（元）………14分∴应该选择方案一………15分17.(本小题满分15分)如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAC ，BC =，3AC =，PB =点E 满足2AE EC =，1PE =.(1)证明：平面PBE ⊥平面ABC ；(2)点D 在AB 上，且BE CD ⊥，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值. 解:(1)证明：BC ⊥平面PAC ，PE ⊆平面PAC ，PE BC ∴⊥， 同理BC PC ⊥………1分又点E 满足2AE EC =，3AC =，1CE ∴=………2分 在Rt PBC △中，PC ==………3分在PCE △中，1PE CE ==，222PC PE CE ∴=+，PE AC ∴⊥………4又ACBC C =，,AC BC ⊆平面ABC ，PE ∴⊥平面ABC ………5分又PE ⊆平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面ABC ………6分(2)由（1）知PE ⊥平面ABC ，PE ⊆平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示…………7分 则(0,0,0)C ，(0,3,0)A ，B ，(0,1,0)E ，(0,1,1)P ，(0,2,1)PA =-…………8分设(3,3,0)AD t AB t t ==-，则(0,3,0),3,0),33,0)CD CA AD t t =+=+-=-,PCE BADPCE B AxyD(BE =-………9分BE CD ⊥，0BE CD ∴⋅=，即1(33)000t +⨯-+⨯=，解得12t =，D ∴为AB 的中点，3(,0)22D ∴………10分 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，33(,0)2CD =，(0,1,1)CP =， 则330220m CD x y m CP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，， …………11分 不妨取x =1y =-，1z =，(31,1)m ∴=-，…………12分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，3sin cos ,5m PAm PA m PA θ⋅∴=<>==…………14分故直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值为35………15分 18.(本小题满分17分)已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)和圆22:1C x y +=，C 经过E 的焦点，点,A B 为E 的右顶点和上顶点，C 上的点D 满足13AD AB =.(1)求E 的标准方程；(2)设直线l 与C 相切于第一象限的点P ，与E 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为Q .当||PQ 最大时，求l 的方程.解:(1)依题意得(,0)A a ，(0,)B b ，由13AD AB =，得2(,)33a b D …………1 分代入C 的方程221x y +=中，得224199a b +=， ①…………3 分又C 经过E 的焦点，1c ∴=，即221a b -=， ②…………5分由①②解得a =1b =，E ∴的方程为2212x y +=…………6分 (2)解法一：依题意，设l 的方程为y kx b =+(0k <，0b >)，11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)Q x y ………7分l 与C 相切，1=，即221b k =+………9分又221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减得21212121()()()()02x x x x y y y y +-++-=，即12OQ k k =-………11分 联立方程组12y kx b y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，， 解得02221kb x k =-+，0221b y k =+………12分当||PQ 最大时，||OQ 最大………13分||OQ ∴=====………14分2214448k k ++=≥，当且仅当2=-k 时取等号………15分 ||4OQ ∴=，即||OQb 分 故l 的方程为0x +-………17分解法二：依题意，设l 的方程为x my n =+(0,0m n <>)，11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)Q x y ，33(,)P x y ………7分联立方程组2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 化简得222(2)220m y mny n +++-=………8分 由0∆>，得2220m n -+>，12222mn y y m +=-+，022mny m =-+………9分 联立方程组221x my n x y =+⎧⎨+=⎩，，化简得222(1)210m y mny n +++-=………10分 由0∆=，得221n m -=，321mnym =-+………11分 03222112(1)(2)2()()m PQ y mn m m m m m-∴=-=⋅==+++-+-………14分又2()()m m -+-≥，当且仅当m =PQ ∴=………15分当||PQ 最大时，m =n =分故l 的方程为0x +-=………17分 19.(本小题满分17分) 定义两个n 维向量i a 12,(,,,)=，，i i i n x x x ，j a ,1,2,(,,,)=j j j n x x x 的数量积⋅i j a a ,1,1i j x x =+,2,2i j x x,,i n j n x x ++(,+∈N i j )，2⋅=i i i a a a ，记,i k x 为i a 的第k 个分量(k n ≤且+∈N k ).如三维向量1a (2,1,5)=，其中1a 的第2分量1,21a =.若由n 维向量组成的集合A 满足以下三个条件：①集合中含有n 个n 维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素,i j a a ,满足22=i j a a T =(T 为常数)且1⋅=i j a a .则称A 为T 的完美n 维向量集.(1)求2的完美3维向量集；(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；(3)若存在A 为T 的完美n 维向量集，求证:A 的所有元素的第k 分量和k S T =.解:(1)依题意，得集合A 中含有3个元素i a (1,2,3i =)，且每个元素中含有三个分量………1分2221232===a a a ，∴每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0………2分1(1,1,0)∴=a ，2(1,0,1)=a ，3(0,1,1)=a ………3分又1213231⋅=⋅=⋅=a a a a a a ，∴2的完美3维向量集为{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =………4分 (直接写出正确答案不扣分. 写成(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)=A 扣1分)(2)依题意，完美4维向量集B 含有4个元素i b (1,2,3,4i =)，且每个元素中含有四个分量，{0,1,2,3,4}T ∈………5分(ⅰ)当0T =时，i b {(0,0,0,0)}∈，与集合中元素的互异性矛盾，舍去………6分(ⅱ)当1T =时，i b {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}∈，不满足条件③，舍去………7分 (ⅲ)当2T =时，i b {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}∈．(1,1,0,0)(0,0,1,1)0⋅=，故(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在B 中；同理(1,0,1,0)和(0,1,0,1)及 (1,0,0,1)和(0,1,1,0)也至多一个在B 中，故集合B 中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去………8分(ⅳ)当3T =时，i b {(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}∈，不满足条件③，舍去……… 9分 (ⅴ)当4T =时，i b {(1,1,1,1)}∈，与集合中元素的互异性矛盾，舍去………10分 综上所述，不存在完美4维向量集………11分 (判断正确得1分)(3)依题意，T 的完美n 维向量集C 含有n 个元素i c (1,2,,i n =)，且每个元素中含有n 个分量，2i c T =，∴每个元素中有T 个分量为1，其余分量为0，12n S S S nT ∴+++=（*）………13分由(2)分析知0,1,T n ≠，故2T n <≤………14分 假设存在k ，使得1k T S n +≤≤，不妨设11T S n +≤≤. (ⅰ)当1S n =时，如图1，由条件③知i S =0或1i S =(1i ≠), 此时12n S S S +++≤(1)212+-=-<≤n n n n nT ，与（*）矛盾，不合题意………15分 (ⅱ)当11T S n +<≤时，如图2， 记1,2,,k k k n k S x x x =+++(1,2,,=k n )，不妨设1,12,11,1,1,2,11,01T n n n T x x x x x x ++========，．下面研究121,,,+T c c c 的前1T +个分量中所有含1的个数.一方面，考虑121,,,+T c c c 中任意两个向量的数量积为1，故1,2,1,,,,j j T j x x x +(2,3,,1j T =+)中至多有1个1，故121,,,+T c c c 的前1T +个分量中，所有含1的个数至多有(1)21T T T ++=+个1 (**)． 另一方面，考虑1⋅=i n c c (1,2,,1i T =+)，故121,,,+T c c c的前1T +个分量中，含有(1)(1)22T T T +++=+个1，与(**)矛盾，不合题意………16分 故对任意k n ≤且+∈N k ，kS T≤，由（*）得k S T =………17分图 2图1。

2020年江西省九江市瑞昌城东学校高三数学文模拟试卷含解析

2020年江西省九江市瑞昌城东学校高三数学文模拟试卷含解析

2020年江西省九江市瑞昌城东学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知A＝{x||x－1|≤1，x∈R}，B＝{x|log2x≤1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的( )A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B2. 条件，条件，则p是q的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B3. 在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D．【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；故选：D【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．4. 已知数列{a n}满足： =，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．11参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】数列{a n}满足： =，可得a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足： =，∴a n+1+1=2（a n+1），即数列{a n+1}是等比数列，公比为2．则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11．故选：D．5. 设,若关于方程的二根分别在区间和内,则的取值范围为（）A、 B、C、 D、参考答案：B6. 设集合A＝{1,2,3,4}， B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)的元素个数为 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C7. 给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是第一个数是1，第二数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A．i≤30；p = p + i－1B．i≤29；p = p + i + 1C．i≤31；p = p + iD．i≤30；p = p + i参考答案：D略8. 设全集U=R，集合=A． B． C．{0，2} D．参考答案：C，，∴．9. 定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足：当时，；当时，.记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可【详解】由题当当时，极大值点为1，极大值为1 当时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列故.故设S=3S=两式相减得-2S=1+2()-∴S=故选：A【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定及的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题10. 如图三棱锥若侧面底面，则其主视图与左视图面积之比为（）A． B．C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设口袋中有黑球、白球共9个球。

2020年江西省九江市瑞昌洪下中学高三数学文模拟试卷含解析

2020年江西省九江市瑞昌洪下中学高三数学文模拟试卷含解析

2020年江西省九江市瑞昌洪下中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合的，具有性质“若，则”的所有非空子集的个数为（）A. 3B. 7C.15 D. 31参考答案：B2. 已知，若，使得，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A3. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为A． B. C.D.参考答案：C4. 在中,角所对的边分别是,若,则的最小角的正弦值等于A. B. C. D.参考答案：C略5. 下列选项叙述错误的是（）A．命题“若”的逆否命题是“若” B．若命题C．若为真命题，则p，q均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C略6. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点到点距离的最小值是（）A．5 B．4 C. D．参考答案：D7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A）y=cos2x，x R（B）y=log2|x|，x R且x≠0（C）y=，x R（D）y=x3+1，x R参考答案：B函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.8. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，当点P到点Q 的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小时，P点的横坐标为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，求出直线FC的方程与抛物线方程联立求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，此时直线FC的方程为：4x+y﹣4=0，可得，消去y，可得4x2﹣9x+4=0，解得x=，x=（舍去）9. 集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）A．（1，2] B．[1，2] C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．[1，2）参考答案：A【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【分析】利用不等式的解法求出集合P，函数的定义域求出集合Q，然后求解交集即可．【解答】解：集合P={x|＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，Q={x|y=}={x|﹣2≤x≤2}，P∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：A．10. 向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．1 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式，代值计算即可【解答】解：由定义，向量在向量方向上的投影为=，故选：A．【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等差数列中前项和为，已知，，则 .7略12. 数列的通项，其前项和为，则为______.参考答案：47013. 已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=(n∈N*),则a20=________________参考答案：14. 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则_________.参考答案：略15. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=，cosB=，b=3则c= 。

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2
7.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直的平面 D
C
截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为(C)
A.1
B. 2
A
B
C. 2
D. 2 2
解:Q AC 为椭圆的长轴，\2a = 2 2 ， a = 2 ，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即 2b = 2 ，\b = 1 ，
a \ f (x2 ) > 0 ，故 a 的取值范围是 (e2, +¥) ，故选 B. 12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，
它们的中心的运动轨迹长分别为 l1, l2, l3, l4 ，则(B)
A. l1 < l2 < l3 < l4
B. l1 < l2 < l3 = l4
=
1 3
，则
PO1
=
3R
，
A
O1
C
B P
PO = PO1 + OO1 = 4R = 2
2 ，\ R =
2 2
，设球 O1 与球 O2 相切于点 Q ，则
PQ
=
O2
Q
PO
-
2R
=
2R
，设球 O2
的半径为
r
，同理可得
PQ
=
4r
，\ r
=
R 2
=
2 4
，故小球 O2 的
N
O1
体积V = 4 pr 3 = 2 p .
单调递增，\ f (x)min = f (a) = 2a - a ln a ，依题意得 2a - a ln a < 0 ，\ a > e2 ，取 x1 = e ， x2 = a2 ， 则 x1 < a ， x2 > a ，且 f (x1) = f (e) = e > 0 ， f (x2 ) = f (a2 ) = a2 - 2a ln a + a = a(a - 2 ln a +1) ，令 g (a) = a - 2 ln a + 1 ，则 g¢(a) = 1- 2 > 0 ，\ g (a) 在 (e2, +¥) 上单调递增，\ g(a) > g(e2 ) = e2 - 3 > 0 ，
=
4
,\ SDABC
=
1 2
absin C
=
2
.
16.如图，在一个底面边长为 2 ,侧棱长为 10 的正四棱锥 P - ABCD 中，大球 O1 内切于
P
该四棱锥，小球 O2 与大球 O1 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 O2 的体积为
2 24
p
.
O2
解:设 O 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M ，连接 PM ,OM , PO ，则 OM = 1 ，
绝密 ★ 启封并使用完毕前
九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试
文科数学答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
´
1 3
= 14
，故选
D.
法二:QS4
=
4(a1 + a4) 2
= 6 ，又 a1
= 1 ，\a4
=
2 ，\S7
=
7(a1 + a7) 2
=
7 ´ 2a4 2
=14 ，故选
D.
4.已知
1
sin a + cos
a
= 2 ，则 tan a
= (A)
A. - 4 3
B. - 3
C. 4
4
3
D. 2
解:Q 1
=
3+
i
，故选
D.
3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n ，若 a1 = 1 ， S4 = 6 ，则 S7 = (D)
A. 7
B. 9
C.11
D.14
解:法一:由
a1
= 1 ， S4
=
6 ，得
4´1+
4´ (4 2
-1)
d
=
6
，解得 d
=
1 3
，\ S7
=
7 ´1 +
7 ´ (7 2
- 1)
sina + cosa2sinFra biblioteka cos a
=
22
2
cos
2
a 2
=
tan
a 2
2 tan a
=
2
，\ tana
=
1-
2
tan
2
a 2
= - 4 ，故选 A. 3
5.已知 0 < a < b < 1 ，则下列结论正确的是(B)
A. b a < b b
B. ab < bb
C. a a < a b
D. ba < aa
，显然 ab
< bb
，故选
B.
6.将函数
y=2cos(2x +
p) 的图像向左平移 6
p 6
个单位得到函数
f
(x)
，则函数
y=
f (x) 的图像大致为(D) xsin x
第1页
y
2
-2p
1
-p O
-1
-2
p
2p x
y
2 1
-2p -p O
-1 -2
p
2p x
yA
2
-2p
1
-p O
-1
-2
2p
p
x
By
解:法一:Q 0 < a < b < 1 ，\ y = xb ， y = xa 在 (0, +¥ ) 上单调递增， y = ax ， y = bx 在 (0, +¥ ) 上单调递减，
故选 B.
法二:取 a = 1 ， b = 1 ，则 aa =
4
2
1 2
， ab
=
1 2
， bb
=
1 2
，ba
=
1 42
PM = PA2 - AM 2 = 10 -1 = 3 ，PO = 9 -1 = 2 2 ，如图，在截面 PMO 中，
D
设 N 为球 O1 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且 O1N ^ PM ，设球 O1 的半径
为 R ，则 O1N
=
R
，Q
sin
ÐMPO
=
OM PM
= 1 ，\ NO1 3 PO1
A. (e,+¥)
B. (e2 ,+¥)
C. (e2 ,e3 )
D. (e2 ,2e2 )
解: f ¢(x) = 1- a = x - a ( x > 0 ),当 a £ 0 时， f ¢( x) > 0 ，\ f ( x) 在 (0,+¥) 上单调递增，不合题意， xx
当 a > 0 时，0 < x < a 时， f ¢( x) < 0 ；x > a 时， f ¢( x) > 0 ，\ f ( x) 在 (0, a) 上单调递减，在 (a, +¥) 上
A. 1
B. 4
C. 5
D. 2
3
9
9
3
解:依题意得所拨数字可能为 610，601，511，160，151，115，106，61，16 ，共 9个，其中有 5个是奇数，则所拨数
字为奇数的概率为 5 ，故选 C. 9
11.已知函数 f (x) = x - a ln x + a ( a Î R )有两个零点，则 a 的取值范围是(B)
A. 2 3 +1
B. 3 +1
C. 3
D. 2 3
解:如图，由对称性知 OA = OB ，\DOAF 为边长为 c 的等边三角形，\( c , 3c )
B
A
22
在双曲线 E
上，\ c2 4a2
-
3c2 4b2
=
1
，\
c2 a2
-
3c2 c2 - a2
= 4 ，\e2
-
3e2 e2 -
1
=
4
，解得
O
3
解:依题意得输出 S 的值为1, 2,3,5,8,13 的平均数，即 S = 1+ 2 + 3 + 5 + 8 +13 = 16 ，故选 C.
6
3
9.在平面直角坐标系
xOy
中，已知双曲线 E :
x2 a2
-
y2 b2
=1( a
> 0,b
>
0 )的右焦点
F
，若存在平行于
x
轴的直
线 l ，与双曲线 E 相交于 A, B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为(B) y
分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
an+1
-
an
=
(-
1) ×(2
1 )n-1 2
=
(-
1)n 2
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