宁夏银川一中2014届高三下学期第三次模拟考试数学理试卷Word版含解析

宁夏银川一中2014届高三第三次模拟考试数学理试题(银川一中第三
次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

【试卷综析】本套试题整体上符合高考考纲的要求，侧重于基础的同时，也能测试出学生是不是能灵活运用知识解决相关的问题，考察分析问题和解决问题的能力。

试题看似亲切，但是要注意到一些细节问题，整体上难度适合中等生，或者中等以上的学生来解决该试题。

试题的知识点主要有：函数，不等式，数列，立体几何，解析几何，向量，三角函数，统计和概率等，可以说是面面俱到，重点问题重点考查，难点问题也有所突破。

是一份比较成功的试卷。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}1|||{〈=x x A ，|{x B =x 3
1log ＜0},则B A ⋂是
A ．∅
B ．（－1，1）
C ．)2
1
,0( D ．(0,1)
【知识点】集合的运算
【答案解析】A 解析：}1|{<=x x A {}
11<<-=x x ，|{x B =x 3
1log ＜0}{}
1>=x x ，
所以B A ⋂=∅ 故选：A
【思路点拨】解出不等式1<x 和0log 3
1<x 的解集，利用B A ⋂的定义即可解得结果。

2．若bi i ai -=+1)21(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则=+||bi a
A ．
i +2
1 B ．5
C ．
2
5 D ．
4
5 【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【答案解析】C 由已知得：bi i a -=+-12，所以1,21-=-
=b a ，则i bi a --=+2
1
， 所以=+||bi a 2
545)1()21(2122=
=-+-=--
i ， 故选：C
【思路点拨】把给出的等式左边化简，整理后运用复数相等的充要条件求得a 和b 的值，然后利用求模公式计算．
3．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =--1的最大值为
A ．5
B ．4
C ．
1
2
D ． 3- 【知识点】简单的线性规划 【答案解析】B 解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，如图：
其中A （-1，-1），B （2，-1），C （
21，2
1
） 2z x y =--1可变形为：12--=z x y ，表示斜率为2，在y 轴上截距为1--z 的一组平
行线，将直线l ：z=2x-y 进行平移， 当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ， 所以41)1(22max =---⨯=z ， 故选：B
【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=2x-y-1对应的直线进行平移，可得当x=2，y=-1时，z 取得最大值。

4．在等比数列{a n }中，,271=a 534a a a =，则6a = A ．
81
1 B ．271
C ．
9
1
D ．
3
1 【知识点】等比数列的性质
【答案解析】C 解析：由等比数列的性质的：42
453a a a a ==，因为04≠a ，所以14=a ， 又
27
1
314=
=q a a ，所以31=q ，则6a 91)31(27551=⨯=⋅=q a ， 故选：C
【思路点拨】利用等比数列的性质：若,q p n m +=+则q p n m a a a a ⋅=⋅化简已知，可解出
4a ，如何求出公比q ，代入等比数列的通项公式求6a 即可。

5．将4名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有 A ．36种
B ．24种
C ．18种
D ．12种
【知识点】计数原理；排列组合
【答案解析】A 解析：先将4名学生分成3组，每组至少1人，有2
4C 种不同的分组方法，
再把这3组人安排到甲、乙、丙三地，共3
3A 种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有：2
4C ⨯33A =36种，
故选：A
【思路点拨】先将4名学生分成3组，每组至少1人，再把这3组人安排到甲、乙、丙三地，根据分步乘法计数原理即可计算出结果。

6．已知双曲线2
2
1(0)kx y k -=>的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则双曲线的离心率是
A ．
B C ．D 【知识点】双曲线的简单几何性质；直线的垂直关系
【答案解析】A 解析：双曲线2
2
1(0)kx y k -=>的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直， 所以双曲线的渐进线的斜率为：
2
1
， 又双曲线的渐近线方程为：x k y ±=，
所以4
1
,21==k k ，则双曲线的方程为：1422=-y x ，
可得：5,2==c a ，所以双曲线的离心率2
5
=
=a c e ， 故选：A
【思路点拨】已知双曲线22
1(0)kx y k -=>的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出k 的值，得到双曲线的方程，再求离心率。

7．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），
根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 A ．2123
π
+
B ．283
π+
C ．12π+
D ． 8π+
【知识点】由三视图求表面积、体积
【答案解析】D 解析：由三视图即相关数据可知，此组合体 下部为正方体，该正方体的棱长为2；
上部为半个圆柱，圆柱的底面直径为2，高为2； 所以几何体的体积为：ππ+=⨯+81223，
故选：D
【思路点拨】由几何体的三视图可知该几何体为下部为长方体，上部为半个圆柱，代入体积公式计算即可。

8．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，
则二项式6
⎛
⎝
的展开式中常数项是
A. -20
B. 5
2 C. -192 D. -160
【知识点】程序框图；二项式定理
【答案解析】D 解析：程序运行过程中，各变量的值如下表示： a i 是否继续循环 循环前 2 1 / 第一圈 -1 2 是 第二圈
2
1
3 是 第三圈 2
4 是 第四圈 -1
5 是
可以看出：a 值成周期性变化，周期为3，循环结束时2011=i ，2011除以3，余数为1，
故最后输出a 值与第三圈相同，所以2=a ，
二项式6
⎛
⎝的展开式的通项为：
r r r r r
r r r x C x
x C T ---+⋅⋅⋅-=-
=3666612)1()1()2(， 令03=-r ，得：3=r ，
所以展开式中的常数项是：1602)1(3
6334-=⋅⋅-=C T ，
故选：D
【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结构计算并输出a 值．求出a 的值，再利用二项式定理求出展开式中的常数项即可。

9．设παπ
〈〈2，54
sin =α，则α
ααα2cos cos 2sin sin 2
2++的值为 A ．8 B ．10 C ．-4 D ． -20 【知识点】二倍角公式；同角三角函数基本关系 【答案解析】C 解析：因为54sin =
α，παπ
〈〈2
，所以53cos -=α，则34tan -=α，
ααααααααααααααα222222222sin cos 2cos sin 2sin sin cos cos cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin -+=
-++=++， 上下同除以α2cos ，原式4)3
4(2)34
(2)34(tan 2tan 2tan 222
2
-=---⨯+-=-+=ααα， 故选：C
【思路点拨】根据题意，由同角三角函数的关系，可得αtan 的值，把原式化简成
α
α
α2
2tan 2tan 2tan -+，代入αtan 的值计算即可。

10．已知正三角形ABC 的边长是3，D 是BC 上的点，BD=1，则BC AD ∙=
A ．29-
B ．23-
C ．215
D ．2
5 【知识点】向量的数量积；正余弦定理
【答案解析】B 解析：由余弦定理得：760cos 13213222=⨯⨯⨯-+= AD ，
7=∴AD ，
147
7
12971cos -=⨯⨯-+=
∠∴ADB ，
∴BC AD ∙2
3)147(73cos 37-=-
⨯=∠⨯⨯=ADB
故选：B
BC AD ,的夹角的余弦值，根据向量数量积的定义即可求出结果。

11．已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，点)2,2(-M ，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，
B 两点，若0=∙MB MA ，则k=
A B C ． 1
2
D ．2 【知识点】抛物线的性质；抛物线和直线的综合
【答案解析】D 解析：过点F （2,0）且斜率为k 的直线的方程为：)2(-=x k y ， 设点),(:),,(:2211y x B y x A ，若0=∙MB MA ，
则=∙MB MA )2)(2()2)(2()2,2()2,2(11211211--+++=-+⋅-+y y x x y x y x 04)(24)(221212121=++-++++=y y y y x x x x ①，
由⎩⎨⎧=-=x y x k y 8)2(2消去y 并整理得：04)84(2
222=++-k x k x k ， 2
221218
4,4k
k x x x x +=+=∴ ②， 消去x 并整理得：01682
=--k y ky ，
k
y y y y 8
,162121=+-=∴③，
将②，③代入①并整理得：0442=+-k k ，
2=∴k
故选：D
【思路点拨】求出过点F ）且斜率为k 的直线的方程，设出点A,B 的坐标，联立直线和抛物线的方程，分别消去y ，x ，利用韦达定理得出2121,x x x x +，2121,y y y y +，代入0=∙MB MA 中，得到一个关于k 的方程，解方程即可。

12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]
x ∈时，()22x
f x =-，若函数()()lo
g (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有
三个不同零点，则实数a 的取值范围是 A ．1(0,)(7,)9+∞ B. 1
(,1)(1,3)9
C. 11
(,
)(3,7)95 D. 11
(,)(5,3)73
【知识点】函数的性质；函数的零点
【答案解析】C 解析：由(2)(2)f x f x -=+，得()f x 关于直线2=x 对称， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，
∴(2)(2)f x f x -=+)2(-=x f ，即)()4(x f x f =+， 所以()f x 是周期为4的周期函数，
()()log (1)a g x f x x =-+的零点即函数)(x f y =与)1(log +=x y a 的交点， 作出函数)(x f y =的图像：
①若1>a ，
当函数)1(log +=x y a 经过点)2,2(A 时，函数)(x f y =与)1(log +=x y a 有2个交点， 此时23log =a ，解得3=a ，
当函数)1(log +=x y a 经过点)2,6(B 时，函数)(x f y =与)1(log +=x y a 有4个交点， 此时27log =a ，解得7=
a ，
要使两个函数有3个交点，则73<<a ；
②若10<<a ，
当函数)1(log +=x y a 经过点)1,4(-C 时，函数)(x f y =与)1(log +=x y a 有2个交点， 此时15log -=a ，解得5
1=
a ， 当函数)1(log +=x y a 经过点)1,8(-C 时，函数)(x f y =与)1(log +=x y a 有4个交点，
此时19log -=a ，解得91=a ， 要使两个函数有3个交点，则5
1
91<<a ，
综上，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，
则实数a 的取值范围是11
(,)(3,7)95
，
故选：C
【思路点拨】根据条件确定函数的奇偶性和周期性，由()()log (1)a g x f x x =-+0=，得
)(x f )1(log +=x a ，在同一个坐标系内分别作出两个函数的图象，根据数形结合即可得到
结论．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分
层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n= 。

【知识点】分层抽样
【答案解析】81 解析：设样本容量为n ，
∵A 、B 、C 三种产品的数量之比依次为2：3：4， n
18
4322=++∴
，解得：81=n ，
故答案为：81
【思路点拨】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n ，即为要求的样本容量。

14．已知ABC ∆中，AB=5,BC=7，∠BAC=3
π
，则ABC ∆的面积为______________.
【知识点】余弦定理；三角形面积公式
【答案解析】310 解析：由余弦定理得：BAC AC AB AC AB BC ∠⋅⋅-+=cos 2222，即3
cos
5257222π
⨯⨯⨯-+=AC AC ，整理得：02452=--AC AC ,解之得：8=AC ,
3103
sin 21=⨯⨯⨯=∴∆π
AC AB S ABC ，
故答案为：310
【思路点拨】利用余弦定理列出另一边AC 的方程，解出AC ，代入三角形面积公式中计算
面积即可。

15．下面给出的命题中：
①“m=-2”是直线(2)10m x my +++=与“直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；
②已知函数0
()sin ,a
f a xdx =
⎰ 则[()]1cos1.2
f f π
=- ③已知ξ服从正态分布2
(0,)N σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2;P ξ>=
④已知⊙22
1:20C x y x ++=,⊙222:210C x y y ++-=，则这两圆恰有2条公切线；
⑤将函数cos 2y x =的图象向右平移
3π个单位，得到函数sin(2)6
y x π
=-的图象。

其中是真命题的有 _____________。

（填序号）
【知识点】充分、必要条件的判断
【答案解析】②④⑤ 解析：①m=-2时，直线(2)10m x my +++=即2
1
=
y ，直线(2)(2)30m x m y -++-=即4
3
-=x ，此时两直线垂直，故m=-2是两直线垂直的充分条
件，故①错误；
②函数0
()sin ,a f a xdx =⎰=1cos 0cos +-=-a a x ，112
cos )2(=+-=∴π
πf ，则1cos 1)1()]2
([-==f f f π
，故②正确；
③ξ服从正态分布2
(0,)N σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，
则1.04.05.0)02(5.0)2()2(=-=≤≤--=-<=>ξξξP P P ,故③错误；
④⊙22
1:20C x y x ++=和⊙222:210C x y y ++-=的圆心分别为：)1,0(),0,1(--，半径
分别为：2,1，所以两圆心的距离为2，半径和为21+，差的绝对值为12-，所以两圆相交，恰有2条公切线，故④正确；
⑤将函数cos 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位，得到函数
)
6
2sin()]062(2cos[)262cos()322cos()]3(2cos[π
ππππππ-=--=--=-=-=x x x x x y 故⑤正确，
故答案为：②④⑤
【思路点拨】将m=-2代入直线中化简可判断①；利用定积分求出函数)(a f 的解析式即可判断②；根据正态曲线的对称性可判断③；判断出两圆的位置关系可得到④的真假；利用函数图像的平移及诱导公式可判断出⑤。

16. 设等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ,若对任意*N n ∈都有
,3
432--=n n T S n n 则
8
45
937b b a b b a +++=____________________.
【知识点】等差数列的性质；等差数列的求和公式 【答案解析】
41
19
解析：因为数列}{n a ，}{n b 为等差数列， 所以
845937b b a b b a +++6
66665672222b a
b a b a b a ==+=，
,226
6
1111111111b a b b a a T S =++=
∴
845937b b a b b a +++41
19
31143112=-⨯-⨯=，
故答案为：
41
19 【思路点拨】先根据{a n }，{b n }为等差数列，利用等差中项的性质对所求式子进行化简，再根据等差数列的求和公式求得
1111111111b b a a T S ++==845937b b a b b a +++，将11代入,3
43
2--=n n T S n n 即可解得答案。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知向量))4
sin(),6
(cos()),4
sin(2),6
cos(2(ππππ+--=---=x x b x x a ,2)(-∙=b a x f .
（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]2
,12[π
π-
上的最值. 【知识点】向量的数量积；三角恒等变换；三角函数的性质 【答案解析】
∴函数f(x)的最小正周期是ππ
==
2
2T . (2)∵x ∈]2,12[ππ-
, ∴6
5623πππ≤-≤-x ,
【思路点拨】（1）根据向量的数量积运算求出)(x f 的解析式并化简成b x A ++)sin(ϕω的形式，利用ω
π
2=
T 计算周期即可；
（2）由x 的范围得出6
2π
-
x 的范围，进而解出)(x f 的最值。

18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，
P
E
底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，
222===CD AD AB ，E 是PB 的中点。

（Ⅰ）求证：平面⊥EAC 平面PBC ； （Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为3
6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值。

【知识点】平面和平面垂直的判定；线面角和二面角 【答案解析】
（Ⅱ）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）。

设P （0，0，a ）（a>0），则E （
21，21-，2
a
）， )0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2
,21,21(a
CE -=，
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ
，则3
2,cos sin <=n PA θ，
学生视力测试结果
4 3
5
6 6 6
7 7 7
8 8
9 9
5 0 1 1 2
【思路点拨】（Ⅰ）由已知可得PC AC ⊥,由勾股定理可证出BC AC ⊥,所以
PBC AC 平面⊥，再根据面面垂直的判定定理即可得出平面⊥EAC 平面PBC ；
（Ⅱ）建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示点，进而求出所需向量的坐标，把线面角，二面角转化成对应向量的夹角，利用向量的夹角公式求夹角即可。

19．（本小题满分12分）
为了了解青少年视力情况，某市从高考体检中随机抽取16名学生的视力进行调查，经医生用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：
（1）若视力测试结果不低丁5．0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计该市所有参加高考学生的的总体数据，若从该市参加高考的学生中任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望． 【知识点】茎叶图；古典概型的概率；离散型随机变量的分布列和期望 【答案解析】
分布列为
ξE 4
=
． 【思路点拨】（1）根据茎叶图可求出“好视力”的人数，至多有1人是“好视力”可以分
两类：没有“好视力”和恰有一人是“好视力”，用古典概型的概率公式分别计算各自的概率，相加即可；
（2）先列出ξ的可能取值，再求出各取值下的概率，列出表格即得分布列，代入期望的公式中可得期望。

20．（本小题满分12分）
已知F 1、F 2分别为椭圆C ：22
221x y a b +=(a>b>0)的左、右焦点,且离心率为22，点
)2
3
,22(-
A 椭圆C 上。

(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使直线M F 2与N F 2的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由。

【知识点】椭圆的性质；椭圆的标准方程；直线和椭圆的综合 【答案解析】
解：(1) 由已知得：2
2
=
=
a c e ，1)23
()22(2
2
22=+-
b
a ，结合222c
b a +=，可解得： 1,22
2
==b a ，.12
22
=+∴y x 椭圆的方程为
由已知直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补, 得.011,0221122=-++-+=+x m
kx x m kx k k N F M F 即
化简,得02))((22121=-+-+m x x k m x kx
021
2)(4122222
22=-+--+-⋅∴m k k m km k m k 整理得.2k m -=
直线MN 的方程为)2(-=x k y ,
因此直线MN 过定点,该定点的坐标为(2,0)
【思路点拨】（1）由已知条件可得出两个关于c b a ,,的方程，结合222c b a +=，解得22,b a 的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去y ，得到一个关于x 的一元二次方程，再设出点N M ,的坐标，利用韦达定理得出坐标的关系，然后利用直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，列出直线的斜率k 和截距m 的等式，化简即可得结论。

21. (本小题满分12分）
已知函数f(x)=
2
1x
e 2 -ax(a ∈R,e 为自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-4
1x
e 2+x 2+x 在区间（0，+∞）上为增函数，求整数m 的最大值.
【知识点】函数的单调性和导数；函数的最值和导数 【答案解析】
解：（Ⅰ）定义域为)(∞+-∞，，a e
x f x
-=2)('，
当0≤a 时，()0f x '>，所以)(x f 在)(∞+-∞，上为增函数； 当0>a 时，由0)('=x f 得2ln a x =，且当)2
ln (a
x ，-∞∈时，0)('<x f ， 当)2
ln (
∞+∈，a
x 时0)('>x f ，
令x e x x h x
+-+=
1
1
)(2，)0(∞+∈，x ；
2
222)1()32()('---=x x x e x e e x h ，)0(∞+∈，x ；令32)(2--=x e x L x
， 可知04)2
1(<-=e L ，05)1(2>-=e L ， 又当)0(∞+∈，x 时022)('2>-=x e x L ， 所以函数32)(2--=x e x L x
在)0(∞+∈，x 只有一个零点，设为α，即322+=ααe ，
且）
，12
1
(∈α； 由上可知当)0(α，∈x 时0)(<x L ，即0)('<x h ；当)(∞+∈，αx 时0)(>x L ，即
0)('>x h ，
所以x e x x h x +-+=
11)(2，)0(∞+∈，x ，有最小值αααα
+-+=1
1
)(2e h ， 把322+=ααe 代入上式可得αα+=
21)(h ，又因为），121(∈α，所以)2
3
1)(，（∈αh ，
又()m h x ≤恒成立，所以()m h α≤，又因为m 为整数，
所以1≤m ，所以整数m 的最大值为1．
【思路点拨】（1）先求导数，对参数a 分类讨论，分别令导数大于零，小于零，解出x 的范围即可；
（2）由于函数)(x g 在区间),0(+∞上为增函数，则其导函数0)('≥x g 在),0(+∞恒成立，
再分离参数m 得到
在),0(+∞恒成立，此时问题变为求函数x e x x h x
+-+=
1
1
)(2在),0(+∞上的最值，用导数求最值即可。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．
如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别
交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD ∥EC;
（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长．
【知识点】与圆有关的比例线段 【答案解析】
【思路点拨】（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D ．由同弧所对的圆周角，得∠BAC=∠E ，所以∠D=∠E ，最后由平行线的判定得AD ∥EC ；
（2）在⊙O 1中利用切割线定理，算出PB=3．再在⊙O 2中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O 2利用切割线定理，即可算出AD 的长． 23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
圆的直径AB 上有两点C,D,且10,4,AB AC BD ===P 为 圆上一点，求PC PD +的最大值。

【知识点】圆的参数方程及其应用 【答案解析】
解：如图建立直角坐标系，因为10AB =,所以圆的参数方程为：
5(5x Cos y Sin θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数） 因为4,,AC BD C D ==所以的坐标为C(-1,0),D(1,0) 因为点P 在圆上，所以设点P 的 坐标为()5,5Cos Sin θθ
所以，2
2
()52PC PD +==+
当()
2max max
0104,)Cos PC PD
PC PD θ=+=+=时，所以，(
【思路点拨】建立适当的坐标系，得到点D C ,的坐标，根据已知条件求出圆的参数方程，由点P 在圆上，可设出点P 的坐标，代入PC PD +中并化简，根据三角函数的性质即可求得最大值。

24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．
已知a,b 均为正数，且a+b=1,证明： （1）()2
22ax by ax by +≤+
（2）22
11252a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
【知识点】不等式的证明
【答案解析】
证明：（1）()2
2222()(1)(1)ax by ax by a a x b b y +-+=-+- 因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故
()
2
2222()(1)(1)ax by ax by a a x b b y +-+=-+-=
222(2)()0ab x y xy ab x y -+-=--≤,
当且仅当a=b 时等号成立。

（2）22
222211114()a b a b a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++=++++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
=22222
2
22
2222()()224411a b a b b b a a a b a b a b a a b b
++++++=++++++++
22
2
2
224()22()()b a b a a b a b a b
=+++++++
2()25
424222
a b +≥++++=
当且仅当a=b 时等号成立。

【思路点拨】（1）要证()2
22ax by ax by +≤+，只需证≤0，根据
已知条件化简，可得
=
，结论
得证；
（2）将所证不等式左边化为：，利用基本不等式
证明即可。