山东省烟台市2018届高三数学下学期诊断性测试试题文

山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试
文科数学试题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
1.已知集合{{},21x A x y B x ==-=
=>,则A∩B=
A. {}02x x <≤
B. {}12x x <≤
C. {}0x x >
D. {
}2x x ≤
2.已知某单位有职工120人,男职工有90人,现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18名男职工,则样本容量为
A.20
B.24
C.30
D.40
3. 已知复数3
12z i
=
+ (i 是虚数单位),则z 的共轭复数z = A. 1255i - B. 1255i + C. 3655i - D. 3655
i +
4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A.
14 B. 18 C. 38 D. 316
5.若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线y =有交点,则其离心率的取值范围是
A. (1,2)
B. (1.2]
C. (2,)+∞
D. [2,)+∞
6.如下图,点O 为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心,点E 为棱BB'的中点,点F 为棱 B'C'的中点,则空间四边形OEFD 在该正方体的面上的正投影不可能是
7已知变量x 、y 满足236x y y x x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
则22z x y =+的最小值是
8.函数sin cos y x x x =+的图象大致是
9.定义在R 上的奇函数f (x )在(0,)+∞上是增函数,则使得f (x )>f (x 2
-2x +2)成立的x 的取值范围是 A. (1,2) B. (,1)
(2,)-∞+∞ C. (,1)-∞ D. (2,)+∞
10.运行如图所示的程序框图,若输出的S 是126,则①应为
A. 5?n ≤
B. 6?n ≤
C. 7?n ≤
D. 8?n ≤ 11.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若b =1,
且1
sin cos sin cos 2
a B C c B A +=
则a = A.1
或
12.已知动点P 在椭圆
22
14940
x y +=上,若点A 的坐标为(3,0),点M 满足1AM = 0PM AM ⋅=,则PM 的最小值是
二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分。

13.已知向量a =(1，2), b =(x ,-1),若a ∥(a -b ),则a ·b =_________ 14.已知3
(
,),sin(),225
π
παπα∈-=,则tan 2_______α=
15.三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的直角三角形则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是________
16.直线y =b 分别与直线y =2x +1和曲线ln y x =相交于点A 、B,则AB 的最小值为____________________。

三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:60分。

17.(12分)
已知数列{}n a 的前项和133
2
n n S +-=
(1)求数列{}n a 的通项公式
(2)设数列{}n b 满足32log 1n a
n b =-,求数列{}(1)n n a b -+的前n 项和T n
18.(12分)
已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为3,E,F 分别为CC 1,BB 1上的的点,且EC=3FB=3,点M 是线段AC 上的动点
(1)试确定点M 的位置,使BM//平面AEF,并说明理由 (2)若M 为满足(1)中条件的点,求三棱锥M 一AEF 的体积.
19.(12分)
某服装批发市场1-5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表:
(1)从这五个月的利润中任选2个,分别记为m ,n ,求事件“m ,n 均不小于30”的 概率
(2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系,请根据前4个月的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元,则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想?
参考公式: 12
2
1
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y b x x
nx
∧
∧∧
==-=
=--∑∑
20.(12分)
已知动圆C 与圆2
2
1:(1)4E x y +-=外切,并与直线1
2
y =相切 (1)求动圆圆心C 的轨迹Γ
(2)若从点P(m ,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A 、B,求证:直线AB 恒过 定点。

21.( 12分)
已知函数2()(21)(),x f x x e a x x a R =--+∈ (1)讨论f (x )的单调性
(2)设2
()g x ax a =--.若对任意的x∈R ,恒有f (x )≥g (x )求a 的取值范围
(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.【选修4一4,坐标系与参数方程】(10分)
已知直线l
的参数方程为122(12
2
x t
t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩为参数）
， 椭圆C 的参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为
参数）。

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A 的极坐标为(2,
)3
π
(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标 (2)直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点,求△APQ 的面积
23.【选修4-5:不等式选讲】(10分) 已知函数()21,0f x x x a a =---≤. (1)当a =0时,求不等式f (x )<1的解集
(2)若f (x )的的图象与x 轴围成的三角形面积大于3
2
,求a 的取值范围
参考答案
一、选择题
ABDBC CCCAB CB 二、填空题
13.52-
14. 24
7
15.4π 16.ln 212+
三、解答题
17.解：（1）当2≥n 时，113333322
n n n n n n a S S +---=-=-=.…………………4分 当1=n 时，113a S == 满足上式,
所以 3n
n a =. …………………………6分
（2）由题意得32log 3121n
n b n =-=-.
(1)(3)21n n n n a b n -+=-+-, …………………………8分 12(3)3)...(3)[135(21)]n n T n ∴=-+-++-++++
+-（
1231(3)[1(21)](3)313
24
n
n n n n
+⎡⎤---+----⎣⎦
=
+=++. …………12分 18.解：（1）当点M 是线段AC 靠近点A 的三等分点时，//BM 平面AEF .………1分
事实上，在AE 上取点N ,使13AN AE =,于是1
3
AN AM AE AC ==, 所以//MN EC 且1
3
MN EC =.
由题意知，//BF EC 且1
3
BF EC =
， 所以//MN BF 且MN BF =，
所以四边形BMNF 为平行四边形，
所以//BM FN . …………………………4分 又FN ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，
所以//BM 平面AEF . …………………………6分
（2）连接,EM FM .因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，
所以1//BB 平面11ACC A .
所以M AEF F AEM B AEM V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥. ………………………8分 取AC 的中点O ，连接BO ，则BO AC ⊥..
因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以1AA ⊥平面
ABC . 又BO ⊂平面ABC ，所以1AA BO ⊥. 因为BO AC ⊥，1BO AA ⊥，1AC
AA A =，
所以BO ⊥平面11ACC A . ………………………10分 所以BO 为三棱锥B AEM -的高. 又在正三角形ABC
中，BO =
∴13AEM M AEF B AEM V V S BO ∆--==⋅⋅三棱锥
三棱锥11=(13)=3224
⨯⨯⨯⨯
. ………………………12分
19.
解
：（
1
）
所
有
的
基
本
事
件
为
(19,34),
(19,26),
(19,41),(19,46),(34,26) ,(34,41) ,(34,46),
(26,41),(26,46),(41,46)共10个.
记“m,n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34,41) ,(34,46), (41,46),共3个. 所以3
()10
P A =
. ………………………5分 （2）由前4个月的数据可得，5,30,
x y ==4
4
21
1
652,110i i
i i i x y
x ====∑∑.
所以 4
1
4
2
2
2
1
46524530
ˆ 5.211045
4i i
i i
i x y xy
b
x
x ==--⨯⨯==
=-⨯-∑∑， ………………………8分
ˆ30 5.254a
=-⨯=， 所以线性回归方程为ˆ 5.2 4.y
x =+………………………10分 （3）由题意得，当8x =时，ˆ45.6y
=，|45.646|0.42-=<； 所以利用（2）中的回归 方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的. ………………………12分 20.解:（1）由题意知，圆E 的圆心(0,1)E ，半径为
1
2
.设动圆圆心(),C x y ，半径为r . 因为圆E 与直线21
-=y 相切，所以d r =，即12
y r +=.
因为圆C 与圆E 外切,所以1||2CE r =+12
r =+.
…………………………2分
联立①②，消去r ，可得y x 42=. ………………………4分 所以C 点的轨迹Γ是以(0,1)E 为焦点, 1-=y 为准线的抛物线. ……5分
（2）由已知直线AB 的斜率一定存在.不妨设直线AB 的方程为y kx b =+.
联立24x y y kx b
⎧=⎨=+⎩，整理得2
440x kx b --=，其中216()0k b ∆=+>
设),(),,(2211y x B y x A ，则124x x k +=，124x x b =-. ① …………………………7分 由抛物线的方程可得:241x y =
,x y 2
1='∴. ∴过),(11y x A 的抛物线的切线方程为)(2
1
111x x x y y -=
-, 又21141x y =
代入整得:2114
121x x x y -=. 切线过(,4)P m -，代入整理得:016212
1=--mx x , …………………9分
同理可得016222
2=--mx x .
21,x x ∴为方程01622=--mx x 的两个根，
12=2x x m ∴+，1216x x =-. ② ………………………11分
由①②可得，12416x x b =-=-， 1242.x x k m +==
所以4b =，2m k =
.AB 的方程为42
m
y x =+. 所以直线AB 恒过定点()0,4. ………………………12分
21.解：（1）()()()21e 21(21)(e )x
x
f x x a x x a '=+-+=+-. …………………1分
（i ）当0a ≤时， e 0x a ->，当1
(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<；当1
(,)2
x ∈-
+∞时， ()0f x '>；所以()f x 在1(,)2-∞-单调递减，在1
(,)2
-+∞单调递增. ……2分
（ii ）当0a >时，由()0f x '=得1
2
x =-
或ln .x a = ① 1
2
e
a -=时，()12
(21)(e e )0x f x x -'=+-≥，所以()f x 在R 上单调递增.
…………………………3分
② 当12
0e
a -
<<时, 1ln 2a <-
.当1
(,ln )(,)2
x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>； 当1(ln ,)2
x a ∈-时，()0f x '<；所以()f x 在1
(,ln ),(,)2
a -∞-+∞单调递增，
在1(ln ,)2
a -单调递减. …………………………5分
③ 当12
e
a -
>时, 1ln 2a >-
.当1
(,)(ln ,)2
x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>； 当1(,ln )2x a ∈-
时，()0f x '<；所以()f x 在1
(,),(ln ,)2
a -∞-+∞单调递增， 在 1
(,ln )2
a -
单调递减. …………………………6分 （2）由题意，对任意的x ∈R ，恒有()21e (1)0x
x a x ---≥， 即不等式()(1)21e x
a x x -≤-成立.
①当1x =时，显然成立. …………………………7分
②当1x >时，不等式化为(21)e .1x x a x -≤-令()()(21)e 11
x
x h x x x -=>-， 有()22(23)e (1)
x
x x h x x -'=-.当3(1,)2x ∈时，()0h x '<,()h x 单调递减； 当3
(,)2x ∈+∞时，()0h x '>,()h x 单调递增，所以当32
x =时，()h x 取极小值 323()4e 2
h =.于是324e a ≤. ………………………9分 ③ 当1x <时，不等式转化为(21)e .1x x a x -≥-令()()(21)e 11
x
x x x x ϕ-=<-， 有()22(23)e (1)
x
x x x x ϕ-'=-.当(,0)x ∈-∞时，()0x ϕ'>,()x ϕ单调递增； 当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<,()x ϕ单调递减，所以当0x =时，()x ϕ取极大值 ()01ϕ=. 此时1a ≥. …………………………11分 综上，a 的取值范围是32[1,4e ]. …………………………12分
22. 解：(1)由 {2cos sin x y =α=α得2214
x y +=. …………………………2分 因为A 的极坐标为(2,)3π,所以2cos 13x π==
，2sin 3
y π=∴A
在直角坐标系下的坐标为(1 . …………………………4分 （2
）将1212x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入2214x y +=
，化简得210110t --=, 设此方程两根为1,2t t ,则
12t t +121110
t t =-. ………………………6分
5
PQ ∴==. ………………………8分 因为直线l 的一般方程为01=-+y x ,
所以点A 到直线l 的距离262
3==d . ………………………9分
APQ ∴∆的面积为53
42652
821
=⨯⨯.………………………10分
23. 解：（1）当0a =时，()1f x <化为|21|||10.x x ---<.
当0x ≤时，不等式化为0x >，无解； 当1
02x <≤时，不等式化为0x >，解得1
02x <≤； 当12x >时，不等式化为2x <，解得1
22x <<；
综上，()1f x <的解集为{}|02x x <<.………………………4分
（2）由题设可得()1,,
131,,
21
1,.
2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+-<⎪⎪=-++≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩…………………………6分 所以()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为1(,0)3a
+，(1,0)a -， 11(,)22a -，该三角形的面积为2
(12).6a -…………………………8分 由题设2
(12)3
62a ->，且0a <，解得 1.a <-
所以a 的取值范围是(),1-∞-.………………………10分。