近年-高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法高效演练新人教A版选修4-5(2021

2018-2019年高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2 综合法与分析法高效演练新人教A版选修4-5
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2。

2 综合法与分析法
[A级基础巩固]
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式xy＞1，x＋y≥0，则（)
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0
C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
解析：因为xy＞1＞0,所以x，y同号．又x＋y≥0，故x＞0，y＞0.答案：A
2．设x，y＞0，且xy－（x＋y）＝1,则（)
A．x＋y≥2（错误!＋1）B．xy≤错误!＋1
C．x＋y≤2（错误!＋1）2D．xy≥2（错误!＋1)
解析：因为x，y＞0，且xy－（x＋y）＝1,
所以（x＋y）＋1＝xy≤错误!错误!。

所以(x＋y）2－4（x＋y)－4≥0,
解得x＋y≥2（2＋1)．
答案:A
3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )
A．sin(α＋β）＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β）＞cos α＋cos β
C．cos（α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，
所以cos α＞cos（α＋β）．
又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos（α＋β）．
答案:D
4．设错误!＜错误!错误!＜错误!错误!＜1，则( ）
A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b
C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a
解析：因为1
3
＜错误!错误!＜错误!错误!＜1，
所以0＜a＜b＜1，所以错误!＝a a－b＞1，所以a b＜a a，
a a
b a
＝错误!错误!。

因为0＜错误!＜1，a＞0，
所以错误!错误!＜1，所以a a＜b a，所以a b＜a a＜b a.
答案:C
5．已知a,b∈R,则“a＋b＞2,ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的（)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1。

反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1,b＞1不一定成立．
如：a＝错误!,b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1,但不满足a＞1,b＞1.
答案：B
二、填空题
6．若错误!＜错误!＜0,已知下列不等式：①a＋b＜ab;②｜a|＞|b｜;③a＜b；④错误!＋错误!＞2.
其中正确的不等式的序号为________．
解析：因为错误!＜错误!＜0，
所以b＜a＜0,故②③错．
答案：①④
7．若a＞0，b＞0，则下列两式的大小关系为：
lg错误!________错误!［lg（1＋a）＋lg（1＋b )]．
解析:错误!［lg(1＋a）＋lg（1＋b）］＝错误!lg[（1＋a)(1＋b）］＝lg［(1＋a）（1＋b）］错误!，
又lg错误!＝lg错误!,
因为a＞0，b＞0,
所以a＋1＞0，b＋1＞0，
所以[(a＋1)(1＋b）］错误!≤错误!＝错误!，
所以lg错误!≥lg［(1＋a)(1＋b)]错误!.
即lg错误!≥错误!［lg（1＋a）＋lg（1＋b)]．
答案：≥
8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项,Q是a，b的等比中项，错误!是错误!,错误!的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．
解析：P＝错误!，Q＝错误!，错误!＝错误!＋错误!,
所以R＝错误!≤Q＝错误!≤P＝错误!,
当且仅当a＝b时取等号．
答案:P≥Q≥R
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a。

证明：要证c－错误!＜a，
只需证明c＜a＋错误!,
即证b－a＜2错误!，
当b－a＜0时，显然成立；
当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，
即证（a＋b）2＜4c2，
由2c＞a＋b知上式成立．
所以原不等式成立．
10．若不等式错误!＋错误!＋错误!＞0在条件a＞b＞c时恒成立,求实数λ的取值范围．
解:不等式可化为
1
a－b
＋错误!＞错误!。

因为a＞b＞c，
所以a－b＞0，
b－c＞0，a－c＞0,
所以λ＜错误!＋错误!恒成立．
因为错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2＋错误!＋错误!≥2＋2＝4，所以λ≤4。

故实数λ的取值范围是(－∞，4]．
B级能力提升
1．已知a，b,c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则（)
A．S≥2P B．P＜S＜2P
C．S＞P D．P≤S＜2P
解析：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca,
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
即S≥P.
又三角形中|a－b|＜c，所以a2＋b2－2ab＜c2，
同理b2－2bc＋c2＜a2,c2－2ac＋a2＜b2，
所以a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P。

答案:D
2．若n为正整数,则2错误!与2错误!＋错误!的大小关系是________．
解析：要比较2n＋1与2错误!＋错误!的大小,只需比较（2错误!）2与错误!错误!的大小，即4n＋4与4n＋4＋错误!的大小．
因为n为正整数，所以4n＋4＋错误!＞4n＋4.
所以2n＋1＜2错误!＋错误!.
答案：2错误!＜2错误!＋错误!
3．设a,b,c，d均为正数，且a＋b＝c＋d。

证明：
(1)若ab＞cd,则错误!＋错误!＞错误!＋错误!；
(2)错误!＋错误!＞错误!＋错误!是｜a－b｜＜|c－d|的充要条件．
证明：（1)因为(错误!＋错误!）2＝a＋b＋2错误!,
(错误!＋错误!）2＝c＋d＋2错误!，
由题设a＋b＝c＋d,ab〉cd，得(错误!＋错误!)2>(错误!＋错误!）2。

因此错误!＋错误!>错误!＋错误!。

(2）①若｜a－b｜<|c－d｜，
则（a－b）2<（c－d）2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d）2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，
由（1）得a＋错误!>错误!＋错误!.
②若错误!＋错误!>错误!＋错误!，则(错误!＋错误!)2>(错误!＋错误!）2即a＋b＋2错误!〉c＋d ＋2错误!，
因为a＋b＝c＋d，所以ab〉cd.
于是(a－b）2＝（a＋b)2－4ab<（c＋d)2－4cd＝（c－d）2，
因此|a－b｜〈|c－d｜，
综上所述错误!＋错误!〉错误!＋错误!是|a－b｜<｜c－d|的充要条件．。