人教版九年级数学课件-二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋Dc)2＜b2.
其中正確的個數是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由圖象開口向下可得a＜0，由對稱軸在
y軸左側可得b＜0，由圖象與y軸交於正半軸可得
c＞0，則abc＞0，故①正確；
由對稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確； 由圖象上橫坐標為 x＝－2的點在第三象限
可得4a－2b＋c＜0，故③正確； 由圖象上x＝1的點在第四象限得a＋b＋c＜0，由圖象上x＝－
1的點在第二象限得出 a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．
歸納總結
二次函數y=ax2+bx+c的圖象與係數的關係
①a決定開口方向：a＞0⇔開口向上；a＜0⇔開口向下；
二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 y
x b 2a
y x b
2a
O
x
(1)
如果a>0,當x<
b 2a
時，y隨x的
增大而減小；當x> b 時，
2a
y隨x的增大而增大.
O
x
(2)
如果a<0,當x< b 時，y隨x
2a
的增大而增大；當x>
b
時，
2a
y隨x的增大而減小.
典例精析
例1 已知二次函數y=－x2＋2bx＋c，當x＞D1時，y的值隨x值的 增大而減小，則實數b的取值範圍是（ ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次項係數為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對稱軸
右側，y的值隨x值的增大而減小，由題設可知，當x＞1時，y的
值隨x值的增大而減小，∴拋物線y=－x2＋2bx＋c的x 對 稱b軸應在b 直
線x=1的左側而拋物線y=－x2＋2bx＋c的對稱軸
2(1) ，
y
–1 O –2
x 3
直線x=1
課堂小結
配方法
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)
公式法
頂點：
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
對稱軸： x b
2a
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
(頂點式)
答：對稱軸是直線x=6,頂點座標是（6，3）.
問題3 二次函數 y 1 (x 6)2 3可以看作是由 y 1 x2
2
2
怎樣平移得到的？
答：平移方法1： 先向上平移3個單位，再向右平移6個單位得到的； 平移方法2： 先向右平移6個單位，再向上平移3個單位得到的.
Hale Waihona Puke 問題4 如何用描點法畫二次函數 y 1 x2 6x 21的圖象？
1.一般地，二次函數y=ax2+bx+c的可以通過配方化成y=a(x-h)2+k
的形式，即
y ax2 bx c a(x
b
)2 4ac b2 .
2a
4a
因此，拋物線y=ax2+bx+c 的頂點座標是：
( b , 4ac b2 ). 2a 4a
對稱軸是：直線 x b . 2a
歸納總結
配方可得
y 1 x2 6x 21 2
1 (x2 12x 42) 2
1 (x2 12x 62 62 42) 2
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
想一想：配方的方法及 步驟是什麼？
問題2 你能說出 y 1 (x 6)2 3的對稱軸及頂點座標嗎？ 2
(-2,-4) 直線x=-2
(4,3)
直線x=4
?
?
?
?
最值 0 -5 0 -4 3 ? ?
一、二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質
探究歸納
我們已經知道y=a(x-h)2+k的圖象和性質，能否利用這些知識來討
論
y 1 x2 6x 21 2
的圖象和性質？
問題1 怎樣將 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 2
3 2
，y2）是拋物線上兩點，則y1>y2.其中正確的是
（B ）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
4.已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖 象如圖所示，則下列結論： （1）a、b同號； （2）當x=–1和x=3時，函數值相等； （3） 4a+b=0； （4）當y=–2時，x的值只能取0； 其中正確的是 （2） .
(3)
y
2
x
1 2
x
2;
直線x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
直線x= 0.5
1 2
,
9 4
3.如圖是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，x=-1是對稱軸，
有下列判斷：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若
（-3，y1）,（
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
則該二次函數圖象的對稱軸為( D )
A.y軸 C. 直線x=2
B.直線x= 5
2
D.直線x= 3
2
2.根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點座標：
(1) y 2x2 12x 13;
直線x=3 3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直線x=8 8, 1
復習引入
y=a(x-h)2+k 開口方向 頂點座標 對稱軸
增 減 性 極值
a>0 向上 (h ,k) x=h
a<0 向下 (h ,k) x=h
當x<h時，y隨著x的增 當x<h時,y隨著x的增大 大而減小；當x>h時， 而增大；當x>h時， y隨著x的增大而增大. y隨著x的增大而減小.
x=h時,y最小=k
即b≤1，故選擇D .
練一練
填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
頂點座標 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
對稱軸
x=1 y軸
直線x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
二、二次函數y=ax2+bx+c的圖象與係數a,b,c的關係
例2 已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結
2a
當對稱軸x＝－1時， b ＝－1，∴b＝2a，此時2a－b＝0． 若對稱因軸此在，直判線斷2x＝a＋1的b的左符2邊a號，，則需- 2判ba 斷< 1對，稱再軸根x據＝a的2ba符與號1即的可大得小， 出結果；判斷2a－b的符號，同理需判斷對稱軸與1的大小.
當堂練 習
1.已知二次函數y=ax2+bx+c的x、y的部分對應值如下表：
第二十二章 二次函數
22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的 圖象和性質
第1課時 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質
學習目標
情境引入
1.會用配方法或公式法將一般式y＝ax2＋bx＋c化成頂點式 y=a(x-h)2+k.(難點）
2.會熟練求出二次函數一般式y＝ax2＋bx＋c的頂點座標、對 稱軸.（重點）
5
試一試
O
5
10 x
你能用上面的方法討論二次函數y=-2x2-4x+1的圖象和性質嗎？
二、將一般式y=ax2+bx+c化成頂點式y=a(x-h)2+k
我們如何用配方法將一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成 頂點式y=a(x-h)2+k？
y=ax²+bx+c
歸納總結
二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質
x=h時,y最大=k
拋物線y=a(x-h)2+k可以看作是由拋物線y=ax2經過平移得到的.
y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6
頂點座標 對稱軸
(0,0) (0,-5) (-2,0)
y軸 y軸 直線x=-2
②a，b同號對稱軸在y軸的左側； a，b異號對稱軸在y軸的右側；
③c＝0⇔經過原點； c>0⇔與y軸的交點位於x軸的上方； c<0⇔與y軸的交點位於x軸的下方；
④當x＝1時，y的值為a＋b＋c，
當x＝－1時，y的值為a－b＋c． ⑤當對稱軸x＝1時，x＝ b ＝1，∴－b＝2a，此時2a＋b＝0；
解: 先利用圖形的對稱性列表
2
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
2
y
然後描點畫圖，得到圖象如右圖.10
5
O
5
10 x
問題5 結合二次函數 y 1 x2 6x 21的圖象，說出其性質. 2
y
x=6
當x<6時，y隨x的增大而減小； 10 當x>6時，y隨x的增大而增大.