实用的购销合同经典(2024版)

山东省冠县武训高级中学高二数学周末复习学案5
【知识梳理】
分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决.
分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法 要正确运用两个计数原理的关键在于：
一、弄清楚完成的是怎样的“一件事”：搞清楚我们所要解决的“这件事”的含义，是正确应用分类计数原理和分步计数原理的前提，因此我们在解题时要认真审题，分析清楚事情的前因后果，做到不重复、不遗漏.
二、明确完成“这件事”需“分类”还是“分步”：
1． 应用分类计数原理，必须要各类的每一种方法都能保证这件事的完成，“类”与“类”之间具有相互独立性和并列性；
2． 用分步计数原理，是指要完成这件事，需要分几“步”完成，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，因此分步的精髓在于步骤的“连续”与“独立”，“连续”确保问题不遗漏，“独立”确保问题不重复.
【典型例题】
例1 从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？
例2 1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目参加校运动会，每人报一项，共有多少种选法？ 2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？
例 3 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
例4 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）
6
54321
例5 (1)有红、黄、白色旗子各n 面（n ＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？
(2) 有1元、2元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？
例6 （2006全国 Ⅰ）设集合{}1,2,3,4,5I =.选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )
（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种
例7 已知函数()3
2()ln 2123x f x ax x ax =++--()a ∈R ．
（1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值；
（2）若)(x f y =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；
（3）当1
2a =-时，方程()()
3
11+3x b
f x x --=有实根，求实数b 的最大值．
【周末练习】
一、选择题
1. 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船时，共有不同的走法数为( )
A.13种
B.16种
C.24种
D.48种
2. 某商店有三层，第一层有4个门，从第一层到第二层有3个楼梯，从第二层到第三层有2个通道，某顾客从商店外直至三层，不同的走法有 （ ）
（A ）9种
（B ）10种 （C ）12种 （D ）24种
3. 如图：甲————乙，在儿童公园中有四个圆圈组成的连环道路，从甲走到乙，不同的路线的走法有 （ ）
（A ）2种 （B ）8种 （C ）12种 （D ）16种
4. 将4个不同的小球放入编号为1，2，3的三个不同的盒子中的放法总数共有（ ）
A ．4
3种 B ．34种 C ．18种 D ．36种
5.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）
(A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)48种
6. 体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案
有 （ ）
A ．12 种
B ．7种
C ．24种
D ．49种
7. 若8*m,n m n ,m,n ∈+≤(),且则平面上的点共有N （ ） （A ）21 （B ）20 （C ）28 （D ）30
8. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连
线上标注的数字表示该段网线在单位时间内可以通过的最大信息量，现从结
点B 向结点A 传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内
传递的最大信息量为（ ）
A ．26 B.24 C.20 D.19
9．同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后,每人从中拿一张别人送出的
贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( )
A.6种
B.9种
C.11种
D.23种
10．如右图是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、
Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、
Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，
但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件
次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为（ ）
（Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８
二、填空题
11. 某班级有男学生5人，女学生4人，从中任选一人去领奖, 有_________种不同的选法.
12. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有__________种不同的走法.
13. 多项式(a 1+ a 2+ a 3)(b 1+ b 2)+( a 4+ a 5)( b 3+ b 4)展开式共有__________项.
14. 从集合P 到{}c b a Q ,,=的不同映射共有81个, 则从Q 到P 的不同映射共有________个.
三、解答题
15. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.
(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
16. 集合A ＝｛1,2，－3｝，B ＝｛－1，－2,3，4｝，从A 、B 中各取1个元素分别作为点P 的横、纵坐标.
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中位于第一象限的点有几个？
17. 集合A ＝｛1,2，3,4｝，集合B ＝｛－1，－2｝，可建立多少个以A 为定义域B 为值域的不同函数？
18. 三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.
19.已知数列{}n a 满足：1111,429()n n n n a a a a a n N *++=-+=∈
（1）求12,3,4,a a a a ，并猜想数列{}n a 的通项公式，
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.
【典型例题答案】
例1 解：首先考虑等差数列的公差大于0的情况：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.由分类计数原理可知，共构成了公差大于0的不同等差数列8＋6＋4＋2＝20个.再考虑公差小于0的情况，得所求等差数列共有20240⨯=个.
例2 （1）813333=⨯⨯⨯；（2）64444=⨯⨯.
例3 解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；
（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果. 例4 解：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种； （3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种. 所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种.
例5 解(1) 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、
二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3＝9种信号；③升三面旗，有3×3×3＝27种信号．所以共有3+9+27＝39种信号．
(2) 解：每一张币值要么取出，要么不取，再除去都不取的情况，共有2×2×2×2-1=15种.
例 6 解：以A 集合中元素最大数分别为4,3,2,1分类，可得符合条件的不同选择方法有49)12(2)12(2)12(2)12(1322314=-+-+-+-种，故选B.
例7 解：（1）22()2221a f x x x a ax '=+--+()()222144221
x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣
⎦=+． 因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．即22041
a a a -=+，解得0a =． 又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立．
（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，
所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=
≥+在区间[)3,+∞上恒成立． ①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3,)f x +∞在上为增函数，故0=a 符合题意． ②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >，
所以222(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．
令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a =-， 因为0a >所以1114a
-<，从而()0[3,)g x ≥+∞在上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为()3g =24610a a -++≥313313a -+≤≤． 因为0a >，所以3130a +<≤．综上所述，a 的取值范围为313⎡+⎢⎣⎦． （3）若12
a =-时，方程3(1)(1)+3x
b f x x --=可化为，x b x x x =-+--)1()1(ln 2． 654321
问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解， 即求函数3
2ln )(x x x x x g -+=的值域．以下给出两种求函数()g x 值域的方法： 方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x x
x =+->， 则x x x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=' ，所以当01,()0x h x '<<>时，从而)1,0()(在x h 上为增函数， 当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故
()0b x h x =⋅≤， 因此当1x =时，b 取得最大值0．
方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='．
设2
()ln 123p x x x x =++-，则21621()26x x p x x x x
--'=+-=-． 当1706x +<<时，()0p x '>，所以()p x 在170,6⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增； 当176x +>时，()0p x '<，所以()p x 在17,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减； 因为()10p =，故必有1706p ⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭
， 因此必存在实数02117,x e ⎛⎫
+∈ ⎪ ⎪⎝⎭
使得0'()0g x =， 00,()0x x g x '∴<<<当时，所以()0()0,g x x 在上单调递减；当0)(,10>'<<x g x x 时，所以()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1,'()0,()1,x g x g x ><+∞时所以在上单调递减；
又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，
当10,ln 04
x x →+<时，则()0g x <，又(1)0g =． 因此当1x =时，b 取得最大值0. 【周末练习答案】一、1. A 2. D 3. D 4. A 5. B 6.D 7. C 8. D 9. B 10. B
二、11.9 12.14 13.10 14.64 三、15. （1）5+6=11.(2) 5×6=30.
16. 解：（1）3×4＝12个.（2）在这些点中位于第一象限的点有2×2＝4个.
17. 解： 从集合A 到集合B 的映射共有42=16个，故以A 为定义域B 为值域的不同函数共有16－2＝14个.
18. 32×3×2×1＝6
19.解：（1）由11a =，及1924n n n a a a +-=-得12192743a a a -==-，341319,57a a ==,猜想：*65,21
n n a n N n -=∈- （1）下面用数学归纳法证明上述结论：①当n=1时，16151211a ⨯-=
=⨯-，猜想正确， ②假设当n=k ()*1,k k N ≥∈时，猜想正确，即6521k k a k -=-,当n=k+1时，
165
92926(1)5216542(1)1421k k k k a k k a k a k k +--⋅
-+--===--+---,这就是说n=k+1时猜想成立.综合①②可知，猜想对任何正整数n 都正确.。