高考数学高三模拟试卷试题压轴押题调研考试数学统一考试试卷

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题调研考试数学统一考试试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）
1．已知,1,121i z i z -=+=且
1
21
11z z z
-=，则=z ▲．（i ） 2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,2
1
,
a a a 成等差数列，则8
710
9a a a a ++=▲．（223+）
3．函数x x x f sin cos 3)(+=)2
2
(π
π
<
<-
x 的值域为▲．(]2,1-
4．下图是一个算法的流程图，则输出n 的值是▲．（5）
5．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记()g x 为)(x f 的导函数，则)(x g -与()g x 的关系是▲．（)(x g -+()g x =0）
6．已知α、β表示两个不同的平面，m 是平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”之一）“必要不充分”
7．用数字1,2,3作为函数c bx ax y ++=2的系数，则该函数有零点的概率为▲．（
3
1） 8．已知点),(b a M 在由不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥200y x y x 所确定的平面区域内，则),(b a b a N +-所在的
平面区域的面积为▲．（4）
9．给出下列四个命题：①函数)3
2sin(3)(π
-
=x x f 的图象关于点)0,6
(π
-
对称；②若
1->≥b a ，则
b
b
a a +≥
+11；③存在实数x ，使0123=++x x ；④设),(11y x P 为圆
9:221=+y x O 上任意一点，圆1)()(:222=-+-b y a x O ，当1)()(2121=-+-b y a x 时，两
圆相切．其中正确命题的序号是▲．（把你认为正确的都填上）（②③）
10．在ABC ∆中，2,4==AC AB ，M 是ABC ∆内一点，且满足02=++MC MB MA ，则
BC AM ⋅=▲．（3）
11．在直角坐标系中，过双曲线19
2
2
=-y x 的左焦点F 作圆122=+y x 的一条切线（切点
为T ）交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则MT OM -=▲．（2）
12．在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+B
C
A C ，则
=+2
2
2c b a ▲．（3） 13．在等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项，若m n S n =，)(n m n
m S m ≠=，则m n S +的取值范围是▲．（4，∞+） 14．设函数
|
|1)(x x
x f +-
=)(R x ∈，区间
[])(,b a b a M <=，集合
{}M x x f y y N ∈==),(|，则使N M =成立的实数对),(b a 有▲对．（0）
天一中学高三调研考试数学试卷答卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，,),0(,OP OA OQ AOP +=<<=∠πθθ 四边形OAQP 的面积为S
⑴求S +⋅的最大值及此时θ的值0θ；
⑵设点,),5
4,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，BE ∥CD ，
AB=6，BC=5，
3
1
=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，︒=∠90BAE ． ⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．
17．（本小题满分14分）
如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口
a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中
31
tan =α，13
2cos =
β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相
遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．
⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ；
⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．
E
B C
D A 第16题图
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆12
:22
=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任
一点，圆M 是以2PF 为直径的圆．
⑴当圆M 的面积为8
π
，求PA 所在的直线方程； ⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M 的方程； ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切．
19．（本小题满分16分） 在数列{}n a 中，1
21
,411,111-=
-
==+n n n n a b a a a ，其中*∈N n ． ⑴求证：数列{}n b 为等差数列；
⑵设n b n c 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三
项；若不存在，说明理由．
⑶已知当*∈N n 且6≥n 时，m
n n m )2
1()31(<+-
，其中n m ,2,1=，求满足等式n b n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有n 的值．
20．（本小题满分16分）
已知函数1
)(+=
x a
x ϕ，a 为正常数． ⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a 2
9
=，求函数)(x f 的单调增区间；
⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．
⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有
1)
()(1
212-<--x x x g x g ，求a 的取值范围．
附加题
21．已知⊙1O 与⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==． (1)写出⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标；
(2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的极坐标方程．
22．若2011201122102011)21(x a x a x a a x ++++=- （R x ∈），求2011
2011
221222a
a a +++ 的值．
23．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ． ⑴求证：M 为PC 中点；
⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．
24．已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ． ⑴求p 的值；
⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
P B
C
D
M
第23题图
三校联考数学试卷及评分标准
填空题答案 ：
i ； 223+； (]2,1-； 5； )(x g -+()g x =0； 必要不充分；
3
1
； 4； ②③； 3； 2； 3； （4，∞+）； 0
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，),0(,OP AOP +=<<=∠πθθ
四边形OAQP 的面积为S
⑴求S OQ OA +⋅的最大值及此时θ的值0θ；
⑵设点,),5
4,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+． 答案：
解:⑴由已知)sin ,(cos ),0,1(θθP A (3)
+= ，)sin ,cos 1(θθ+=∴
又,sin θ=S 1)4
sin(21cos sin ++=++=+⋅∴π
θθθS OQ OA )0(πθ<<
故S +⋅的最大值是12+，此时4
0π
θ=
, (8)
⑵,),54
,53(α=∠-AOB B 5
4
sin ,53cos =
-=∴αα……………………………………10 )cos(0θα+=10
2
7)cos (sin 22)4
cos(-
=+=
+
ααπ
α． (14)
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，BE ∥CD ，
AB=6，BC=5，
3
1
=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，︒=∠90BAE ． ⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．
答案：
（1）证明：因为侧面ABE ⊥底面BCDE ， 侧面ABE∩底面BCDE=BE ，
DE ⊂底面BCDE ， DE ⊥BE ，
所以DE ⊥平面ABE ，
所以AB ⊥DE ， 又因为AE AB ⊥，
所以AB ⊥平面ADE ，
所以平面ADE ⊥平面ABE ； (7)
（2）因为平面α∥平面ABC ，
所以DF ∥BC ，同理FG ∥AB ………………………………………………9 所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以BF CD BC DF ===,5，
因为31=BE CD ，所以3
2=EB EF
所以43
2
==AB FG (11)
由⑴易证：⊥FG 平面ADE ，所以DG FG ⊥，所以3=DG
所以DFG ∆的面积6=S ． (14)
17．（本小题满分14分）
如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口
E
B C D A 第16题图
E B
C D A G
F
a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31
tan =α，13
2cos =
β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相
遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．
⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ；
⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．
答案：
解 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
则直线OZ 方程为x y 3=． …………………………………………………………………2 设点()00,y x A ， 则a a a x 313
313sin 130=⋅
==β，a a a y 213
213cos 130=⋅
==β，
即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x m
a a
y --=32．
上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(
a
m am
a m am C -- (5)
)37
(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ (8)
⑵328)3149492(314)
37(949)37()(2
22a a a a a a m a a m a m S =
+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=…………………12 当且仅当)
3
7(9493
7
2
a m a a m -=
-时，即a m 314=时取等号， (14)
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆12
:22
=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任
一点，圆M 是以2PF 为直径的圆．
⑴当圆M 的面积为
8
π
，求PA 所在的直线方程；
⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M 的方程； ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切．
答案：
解 ⑴易得()0,11-F ，()0,12F ，()1,02-A ，设()11,y x P ，
则()()()2
12
12
12
12
12
222
12111-=-+-=+-=x x x y x PF ，
∴()
222
2
2112≤≤--=x x PF ， (2)
又圆M 的面积为8π，∴()21288-=x ππ，解得11=x ， ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,
1P 或⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22,1， ∴PA 所在的直线方程为1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=x y 或1221-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x y ；…………………………4 ⑵∵直线1AF 的方程为01=++y x ，且⎪⎭⎫
⎝⎛+2,2111y x M 到直线1AF 的距离为
11
14
2
222
12
21x y x -=
+++， 化简得1211--=x y ，…………………………6 联立方程组⎪
⎩⎪
⎨⎧=+--=121
2212111y x x y ，解得01=x 或981-=x ． …………………………8 当01=x 时，可得⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,21M ， ∴ 圆M 的方程为2121212
2=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛-
y x ；………9 当981-=x 时，可得⎪⎭
⎫
⎝⎛187,181M ， ∴ 圆M 的方程为1621691871812
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ； (10)
⑶圆M 始终与以原点为圆心，半径21=r （长半轴）的圆（记作圆O ）相切．
证明：∵()()12
12
12
12
14
2228414
14
4
1x x x y x OM +=-++=++=
， ……………14 又圆M 的半径1224
2
22x MF r -==，∴21r r OM -=， ∴圆M 总与圆O 内切． (16)
19．（本小题满分16分）
在数列{}n a 中，1
21,411,111-=-
==+n n n n a b a a a ，其中*∈N n ． ⑴求证：数列{}n b 为等差数列；
⑵设n b n c 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
⑶已知当*∈N n 且6≥n 时，m
n n m )2
1()31(<+-
，其中n m ,2,1=，求满足等式n b n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有n 的值．
答案：
⑴证明：1121
121211
21
121
11=----=
--
-=
-++n n
n n n n a a a a b b ........................2 ∴数列{}n b 为等差数列 (4)
⑵解：假设数列{}n c 中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第)(,,q r p q r p <<项，
由⑴得n b n =，∴n n c 2=， …………………………………………5 ∴q p r 2222+=⋅， ∴p q p r --++=2121…………………………………………7 又p r -+12为偶数，p q -+21为奇数． …………………………………………9 故不存在这样的三项，满足条件． …………………………………………10 ⑶由⑵得等式n b n n n n b n )3()2(43+=++++ 可化为n n n n n n )3()2(43+=++++
即1)3
2()34()33(
=+++++++n
n n n n n n ∴1)3
11()311()31(=+-+++--++-n
n n n n n n n (12)
∵当6≥n 时，m
n n m )2
1()31(<+-，
∴,21)311(<+-n n ,)21()321(2<+-n n …,)21()31(n
n n n <+-
∴1)2
1
(1)21()21(21)311()311()31(2<-=++<+-+++--++-n n n n n n n n n n
∴当6≥n 时，n n n n n n )3()2(43+<++++ …………………………………………14 当5,4,3,2,1=n 时，经验算3,2=n 时等号成立
∴满足等式n b n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有3,2=n (16)
20．（本小题满分16分） 已知函数1
)(+=
x a
x ϕ，a 为正常数．
⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a 2
9
=
，求函数)(x f 的单调增区间； ⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段
AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．
⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)
()(1
212-<--x x x g x g ，求
a 的取值范围． 答案：
解：⑴2
22)1(1
)2()1(1)(++-+=+-='x x x a x x a x x f
∵a 2
9=，令0)(>'x f 得2>x 或21
0<<x
∴函数)(x f 的单调增区间为),2(),2
1
,0(+∞ (4)
⑵证明：当0=a 时x x f ln )(=
∴x x f 1
)(=
'∴2
10021)(x x x x f +=
=' 又1
21
2
12121212ln
ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=
不妨设12x x > ， 要比较k 与)(0x f '的大小，
即比较121
2
ln
x x x x -与2
12x x +的大小，又∵12x x >，
∴ 即比较12ln
x x 与1)1(
2)
(21
2
1
2
2
112+-=+-x x x x x x x x 的大小．
令)1(1
)
1(2ln )(≥+--
=x x x x x h (8)
则0)1()1()1(41)(2
2
2≥+-=+-
='x x x x x x h ∴)(x h 在[)+∞,1上位增函数．
又
112>x x ，∴0)1()(12=>h x x h ， ∴1)1(
2ln 1
2
1
2
1
2+->x x x x x x ，
即)(0x f k '>……………………………………………10 ⑶∵
1)()(1
212-<--x x x g x g ， ∴[]0)()(121122<-+-+x x x x g x x g
由题意得x x g x F +=)()(在区间(]2,0上是减函数． (12)
︒1 当x x a
x x F x +++
=≤≤1
ln )(,21， ∴1)1(1)(2
++-='x a x x F 由31
3)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x x x x x x a x F 在[]2,1∈x 恒成立．
设=)(x m 3132+++x x x ，[]2,1∈x ，则031
2)(2>+-='x
x x m
∴)(x m 在[]2,1上为增函数，∴2
27
)2(=≥m a (14)
︒2 当x x a
x x F x +++
-=<<1
ln )(,10，∴1)1(1)(2++-
-='x a x x F 由11
)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'x x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立
设=)(x t 11
2--+x
x x ，)1,0(∈x 为增函数
∴0)1(=≥t a
综上：a 的取值范围为2
27
≥
a (16)
附加题
21．已知⊙1O 与⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==． (1)写出⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标；
(2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的极坐标方程． 答案：
解：(1)⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标分别为)2
3,2(),0,2(π
(2)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，
在直角坐标系下⊙1O 与⊙2O 的方程分别为04,042222=++=-+y y x x y x ……………6 则经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的方程为x y -= 其极坐标方程为4
π
θ-=（R ∈ρ）． (10)
22．若2011201122102011)21(x a x a x a a x ++++=- （R x ∈），求2011
20112212
22a
a a +++ 的值． 答案：
解：由题意得：2011,2,1,)2(2011
=-=r C a r r
r ， ………………………………………2 ∴
2011
2011
201020113201122011120112011
20112212
22C C C C C a a a -++-+-=+++ ，…………………………6 ∵02011
20112010201132011220111201102011
=-++-+-C C C C C C …………………………8 ∴
12222011
2011221-=+++a a a (10)
23．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ． ⑴求证：M 为PC 中点；
⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．
证明 ⑴连接AC 与BD 交于G ，则平面PAC∩平面BDM=MG ， 由PA ∥平面BDM ，可得PA ∥MG ， ∵底面ABCD 是菱形，∴G 为AC 中点， ∴MG 为△PAC 中位线，
∴M 为PC 中点． (4)
⑵取AD 中点O ，连接PO ，BO ， ∵△PAD 是正三角形，∴PO ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，
A P
B C
D M
第23题图
∴PO ⊥平面ABCD ，
∵底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，△ABD 是正三角形， ∴AD ⊥OB ，
∴OA ，OP ，OB 两两垂直，以O 为原点，，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则()0,0,1A ，()0,3,1B ，()0,0,1-D ，()
3,0,0P ， ∴()3,0,1=，()
0,3,1-=，
∴()()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=23,23,02121
()
3,3,0--=，()0,0,2==，
∴02
3
230=+-=⋅BP DM ，0000=++=⋅∴DM ⊥BP ，DM ⊥CB ，∴DM ⊥平面PBC ， ∴2
2
,cos >=<DM OP
平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为4
π
(10)
24．已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ． ⑴求p 的值；
⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：⑴由⎩⎨
⎧==py
x x y 22
解得)2,2(),0,0(p p B A
∴p p p AB 22442422=+==，∴2=p ………………………………………4 ⑵由⑴得)4,4(),0,0(,42B A y x =
假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点C )4,0()4
,(2
≠≠t t t t ，使得经过A 、B 、C 三点的圆
和抛物线L 在点C 处有相同的切线
令圆的圆心为),(b a N ，则由⎩⎨⎧==NC NA NB NA 得⎪⎩
⎪
⎨⎧-+-=+-+-=+222222
222)
4()()4()4(t b t a b a b a b a
得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+83248
481244222t t b t t a t t tb a b a …………………………………………6 ∵抛物线L 在点C 处的切线斜率)0(2
|≠=
'==t t
y k t x 又该切线与NC 垂直， ∴
04
12212432=--+⇒-=⋅--
t t bt a t t a t b ∴08204
1
28324)84(223322=--⇒=--++⋅++-⋅t t t t t t t t t t (8)
∵4,0≠≠t t ，∴2-=t
故存在点C 且坐标为（2,1） (10)
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3（D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π
12 (k ∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3
5，则sin 2α=
（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7
25
（10）从区间[]
0,1随机抽取2n 个数
1x ,
2
x ，…，
n
x ，
1
y ，
2
y ，…，
n
y ，构成n 个数对()11,x y ，
()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
（11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，
sin 211
3
MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）
3
2
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()
y f x =图像的交点为
1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=
45，cos C=5
13
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5
概率
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10
0. 05
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5
4，
EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x
-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集.
（I ）求M ；
（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。