高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定与性质课件 文
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12/11/2021
又因为 A′E∩BE＝E，A′E⊂平面 A′BE，BE⊂平面 A′BE，AD ∩DC′＝D，AD⊂平面 AC′D，DC′⊂平面 AC′D，所以平面 A′EB∥平面 AC′D． (2)设棱柱的底面积为 S，高为 h． 则 V 三棱锥 C′ACD＝V 三棱锥 B-A′B′E＝13×12Sh＝16Sh． 所以三棱柱夹在平面 AC′D 与平面 A′EB 间的体积为 V′＝Sh －2×16Sh＝23Sh，
12/11/2021
【对点通关】 1．下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M， N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图 形的序号是( )
A．①③ C．①④
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B．②③ D．②④
解析：选 C．对于图形①，平面 MNP 与 AB 所在的对角面平 行，即可得到 AB∥平面 MNP；对于图形④，AB∥PN，即 可得到 AB∥平面 MNP；图形②③无论用定义还是判定定理 都无法证明线面平行．
12/11/2021
因此 BC1∥D1O，同理 AD1∥DC1． 所以AD11DC11＝AO1BO，AD11DC11＝DADC． 又因为AO1BO＝1， 所以DADC＝1，即ADDC＝1．
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考点二 平面与平面平行的判定与性质 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，
G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， 求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG．
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理由如下：因为 D 为 BC 的中点，E 为 B′C′ 的中点，所以 BD＝C′E． 又因为 BC∥B′C′， 所以四边形 BDC′E 为平行四边形，所以 DC′∥BE．
连接 DE，则 DE∥═ BB′， 所以 DE∥═ AA′，
所以四边形 AA′ED 是平行四边形， 所以 AD∥A′E．
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又因为 OD1⊂平面 AB1D1，BC1⊄平面 AB1D1， 所以 BC1∥平面 AB1D1． 所以AD11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1． (2)由已知，平面 BC1D∥平面 AB1D1， 且平面 A1BC1∩平面 BDC1＝BC1， 平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O．
__a_∥ ___b__
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2．平面与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图
形
条
a⊂β，b⊂β，a α∥β，α∩γ
α∩β＝∅ 件
∩b＝P， ＝a，β∩γ α∥β，a⊂β
__a_∥__α_，__b_∥__α__
＝b
结
论
α∥β
α∥β
___a_∥__b__
a∥α
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(必修 2 P61 练习改编)下列命题为真的是( ) A．若直线 l 与平面 α 有两个公共点，则 l⊄α B．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线 C．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β D．若 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交
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2．(必修 2 P57 例 2 改编)如图，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的点． (1)当AD11DC11等于何值时，BC1∥平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求ADDC的值．
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解：(1)如图，取 D1 为线段 A1C1 的中点， 此时AD11DC11＝1． 连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1． 由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1 为平行四 边形，所以点 O 为 A1B 的中点． 在△A1BC1 中，点 O，D1 分别为 A1B，A1C1 的中点，所以 OD1 ∥BC1．
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【对点通关】
1．(必修 2 P63B 组 T3 改编)如图，AB∥平面 α∥平面 β，过 A， B 的直线 m，n 分别交 α，β 于 C，E 和 D，F，
若 AC＝2，CE＝3，BF＝4，则 BD 的长为( )
A．65
B．75
C．85
D．95
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解析：选 C．由 AB∥α∥β，易证 ACCE＝BDDF． 即AACE＝BBDF， 所以 BD＝ACA·EBF＝2×5 4＝85．
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(必修 2 P61A 组 T1(1)改编)设 m、n 表示直线，α、β 表示平 面，则下列命题为真的是( )
A． mn∥∥αα⇒m∥n
B． mα∥∥βα⇒m∥β
β
α∥β D． m∥α⇒m∥n
n∥β
解析：选 C．A 错误．因为 m 与 n 也可能相交或异面． B 错误．因为 m 可能在 β 内． D 错误．m、n 可能异面，故选 C．
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所以所作截面与平面 AC′D 将三棱柱分成的三部分的体积之 比为 16Sh∶23Sh∶16Sh＝1∶4∶1．
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空间中平行关系的探索与作图问题 (1)此类问题基本上都是中点问题，因此探索与作图时按照： 想中点→取中点→连中线→证平行的思路． (2)根据平面几何的下列四类平行原理证明平行 ①三角形中位线定理； ②平行四边形对边中点的连线平行另外一组对边； ③梯形的中位线定理； ④直线平行的传递性． (3)最后根据线面平行与面面平行的判定与性质完成探索与作 图．
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2．(必修 2 P58 练习 T2 改编)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、 N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点．求证：平面 MNP∥ 平面 A1BD．
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证明：如图，连接 B1D1、B1C．
因为 P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点，所以 PN∥B1D1．
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(2)①点 F，G，H 的位置如图所示．
②证明：如图，连接 BD，BH，设 O 为 BD 的中点，连接 OH， OM，MN．
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因为 M，O 分别是 BC，BD 的中点，所以 OM∥CD， 且 OM＝12CD，因为 HN∥CD， 且 HN＝12CD， 所以 OM∥HN，OM＝HN． 所以四边形 MNHO 是平行四边形， 从而 MN∥OH． 又 MN⊄平面 BDH，OH⊂平面 BDH， 所以 MN∥平面 BDH．
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①请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明 理由)；
②证明：直线 MN∥平面 BDH．
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【解】 (1)选 A．对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ∥CD，所 以 AB∥MQ，又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB ∥平面 MNQ．同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ．故 选 A．
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又 B1D1∥BD，所以 PN∥BD． 又 PN⊄平面 A1BD，BD⊂平面 A1BD，所以 PN∥平面 A1BD． 同理，MN∥平面 A1BD，又 PN∩MN＝N， 所以平面 MNP∥平面 A1BD．
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考点三 空间中平行关系的探索与作图 如图，在三棱柱 ABC-A′B′C′中，点 D 是 BC 的中点，
欲过点 A′作一截面与平面 AC′D 平行．
12/11/2021
(1)问应当怎样画线，并说明理由； (2)求所作截面与平面 AC′D 将三棱柱分成的三部分的体积之 比． 【解】 (1)在三棱柱 ABC-A′B′C′中，点 D 是 BC 的中点，取 B′C′的中点 E，连接 A′E， A′B，BE，则平面 A′EB∥平面 AC′D， A′E，A′B，BE 即为应画的线．
12/11/2021
解析：选 C．A 错误．直线 l 和平面 α 有两个公共点，则 l⊂α． B 错误．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 异面或平行． C 正确．因为 a 与 β 无公共点，则 a∥β． D 错误．a 与 β 有可能平行．故选 C．
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(必修 2 P61A 组 T1(2)改编)如果直线 a∥平面 α，那么直线 a 与平面 α 的位置关系可另等价表述，下列命题中正确的是 () A．直线 a 上有无数个点不在平面 α 内 B．直线 a 与平面 α 内的所有直线平行 C．直线 a 与平面 α 内无数条直线不相交 D．直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都不相交 解析：选 D．因为直线 a∥平面 α，所以直线 a 与平面 α 无公 共点，因此直线 a 和平面 α 内的任意一条直线都不相交，故 选 D．
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考点一 直线与平面平行的判定与性质 (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，
B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这 四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
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(2)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如 图所示．在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N．
解：(1)证明：因为 AB∥DC，AD⊥DC， 所以 AB⊥AD，在 Rt△ABD 中，AB＝AD＝1， 所以 BD＝ 2，易求 BC＝ 2， 因为 CD＝2，所以 BD⊥BC． 又 BD⊥BB1，B1B∩BC＝B， 所以 BD⊥平面 B1BCC1．
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(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和 已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平 行来推导线面平行． (2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需 要经过已知直线作辅助平面来确定交线． (3)利用平面几何知识证明线线平行的主要方法：①有中点， 找中点，连中线，证平行；②构造三角形的中位线；③构造 平行四边形．
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(必修 2 P56 练习 T2 改编)如图，E 是正方 体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，过 A、 C、E 三点作平面 α 与正方体的面相交． (1)画出平面 α 与正方体 ABCD-A1B1C1D1 各 面的交线； (2)求证：BD1∥平面 α．
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【对点通关】 如图，已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中， AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB ＝2． (1)求证：DB⊥平面 B1BCC1； (2)设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使 得 D1E∥平面 A1BD，并说明理由．
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【证明】 (1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， 所以 GH∥B1C1，又 B1C1∥BC， 所以 GH∥BC，所以 B，C，H，G 四点共面． (2)在△ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC，因为 EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG． 又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，
第八章 立体几何
第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质
12/11/2021
1．直线与平面平行的判定与性质
判定
定义
定理
图
形
12/11/2021
性质
判定
定义
定理
条 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，
件
__a_∥__b___
结 a∥α
论
b∥α
性质
a∥α
a∥α，a⊂β， α∩β＝b
___a_∩___α_＝__∅__
解：(1)如图，交线即为 EC、AC、AE，平 面 α 即为平面 AEC． (2)证明：连接 BD 与 AC 交于点 O，连接 EO， 因为 ABCD 为正方形，所以 O 是 BD 的中 点，又 E 为 DD1 的中点， 所以 OE∥BD1， 又 OE⊂平面 α，BD1⊄平面 α． 所以 BD1∥平面 α．
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所以 A1G∥═ EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB． 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG． 又因为 A1E∩EF＝E， 所以平面 EFA1∥平面 BCHG．
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证明面面平行的实质是两次线面平行的证明的合并，关键是 在其中的一个平面内找两条相交直线，而且这两条相交直线 都与另外一个平面平行．
又因为 A′E∩BE＝E，A′E⊂平面 A′BE，BE⊂平面 A′BE，AD ∩DC′＝D，AD⊂平面 AC′D，DC′⊂平面 AC′D，所以平面 A′EB∥平面 AC′D． (2)设棱柱的底面积为 S，高为 h． 则 V 三棱锥 C′ACD＝V 三棱锥 B-A′B′E＝13×12Sh＝16Sh． 所以三棱柱夹在平面 AC′D 与平面 A′EB 间的体积为 V′＝Sh －2×16Sh＝23Sh，
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【对点通关】 1．下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M， N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图 形的序号是( )
A．①③ C．①④
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B．②③ D．②④
解析：选 C．对于图形①，平面 MNP 与 AB 所在的对角面平 行，即可得到 AB∥平面 MNP；对于图形④，AB∥PN，即 可得到 AB∥平面 MNP；图形②③无论用定义还是判定定理 都无法证明线面平行．
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因此 BC1∥D1O，同理 AD1∥DC1． 所以AD11DC11＝AO1BO，AD11DC11＝DADC． 又因为AO1BO＝1， 所以DADC＝1，即ADDC＝1．
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考点二 平面与平面平行的判定与性质 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，
G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， 求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG．
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理由如下：因为 D 为 BC 的中点，E 为 B′C′ 的中点，所以 BD＝C′E． 又因为 BC∥B′C′， 所以四边形 BDC′E 为平行四边形，所以 DC′∥BE．
连接 DE，则 DE∥═ BB′， 所以 DE∥═ AA′，
所以四边形 AA′ED 是平行四边形， 所以 AD∥A′E．
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又因为 OD1⊂平面 AB1D1，BC1⊄平面 AB1D1， 所以 BC1∥平面 AB1D1． 所以AD11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1． (2)由已知，平面 BC1D∥平面 AB1D1， 且平面 A1BC1∩平面 BDC1＝BC1， 平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O．
__a_∥ ___b__
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2．平面与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图
形
条
a⊂β，b⊂β，a α∥β，α∩γ
α∩β＝∅ 件
∩b＝P， ＝a，β∩γ α∥β，a⊂β
__a_∥__α_，__b_∥__α__
＝b
结
论
α∥β
α∥β
___a_∥__b__
a∥α
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(必修 2 P61 练习改编)下列命题为真的是( ) A．若直线 l 与平面 α 有两个公共点，则 l⊄α B．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线 C．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β D．若 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交
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2．(必修 2 P57 例 2 改编)如图，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的点． (1)当AD11DC11等于何值时，BC1∥平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求ADDC的值．
12/11/2021
解：(1)如图，取 D1 为线段 A1C1 的中点， 此时AD11DC11＝1． 连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1． 由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1 为平行四 边形，所以点 O 为 A1B 的中点． 在△A1BC1 中，点 O，D1 分别为 A1B，A1C1 的中点，所以 OD1 ∥BC1．
12/11/2021
【对点通关】
1．(必修 2 P63B 组 T3 改编)如图，AB∥平面 α∥平面 β，过 A， B 的直线 m，n 分别交 α，β 于 C，E 和 D，F，
若 AC＝2，CE＝3，BF＝4，则 BD 的长为( )
A．65
B．75
C．85
D．95
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解析：选 C．由 AB∥α∥β，易证 ACCE＝BDDF． 即AACE＝BBDF， 所以 BD＝ACA·EBF＝2×5 4＝85．
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(必修 2 P61A 组 T1(1)改编)设 m、n 表示直线，α、β 表示平 面，则下列命题为真的是( )
A． mn∥∥αα⇒m∥n
B． mα∥∥βα⇒m∥β
β
α∥β D． m∥α⇒m∥n
n∥β
解析：选 C．A 错误．因为 m 与 n 也可能相交或异面． B 错误．因为 m 可能在 β 内． D 错误．m、n 可能异面，故选 C．
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所以所作截面与平面 AC′D 将三棱柱分成的三部分的体积之 比为 16Sh∶23Sh∶16Sh＝1∶4∶1．
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空间中平行关系的探索与作图问题 (1)此类问题基本上都是中点问题，因此探索与作图时按照： 想中点→取中点→连中线→证平行的思路． (2)根据平面几何的下列四类平行原理证明平行 ①三角形中位线定理； ②平行四边形对边中点的连线平行另外一组对边； ③梯形的中位线定理； ④直线平行的传递性． (3)最后根据线面平行与面面平行的判定与性质完成探索与作 图．
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2．(必修 2 P58 练习 T2 改编)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、 N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点．求证：平面 MNP∥ 平面 A1BD．
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证明：如图，连接 B1D1、B1C．
因为 P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点，所以 PN∥B1D1．
12/11/2021
(2)①点 F，G，H 的位置如图所示．
②证明：如图，连接 BD，BH，设 O 为 BD 的中点，连接 OH， OM，MN．
12/11/2021
因为 M，O 分别是 BC，BD 的中点，所以 OM∥CD， 且 OM＝12CD，因为 HN∥CD， 且 HN＝12CD， 所以 OM∥HN，OM＝HN． 所以四边形 MNHO 是平行四边形， 从而 MN∥OH． 又 MN⊄平面 BDH，OH⊂平面 BDH， 所以 MN∥平面 BDH．
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①请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明 理由)；
②证明：直线 MN∥平面 BDH．
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【解】 (1)选 A．对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ∥CD，所 以 AB∥MQ，又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB ∥平面 MNQ．同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ．故 选 A．
12/11/2021
又 B1D1∥BD，所以 PN∥BD． 又 PN⊄平面 A1BD，BD⊂平面 A1BD，所以 PN∥平面 A1BD． 同理，MN∥平面 A1BD，又 PN∩MN＝N， 所以平面 MNP∥平面 A1BD．
12/11/2021
考点三 空间中平行关系的探索与作图 如图，在三棱柱 ABC-A′B′C′中，点 D 是 BC 的中点，
欲过点 A′作一截面与平面 AC′D 平行．
12/11/2021
(1)问应当怎样画线，并说明理由； (2)求所作截面与平面 AC′D 将三棱柱分成的三部分的体积之 比． 【解】 (1)在三棱柱 ABC-A′B′C′中，点 D 是 BC 的中点，取 B′C′的中点 E，连接 A′E， A′B，BE，则平面 A′EB∥平面 AC′D， A′E，A′B，BE 即为应画的线．
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解析：选 C．A 错误．直线 l 和平面 α 有两个公共点，则 l⊂α． B 错误．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 异面或平行． C 正确．因为 a 与 β 无公共点，则 a∥β． D 错误．a 与 β 有可能平行．故选 C．
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(必修 2 P61A 组 T1(2)改编)如果直线 a∥平面 α，那么直线 a 与平面 α 的位置关系可另等价表述，下列命题中正确的是 () A．直线 a 上有无数个点不在平面 α 内 B．直线 a 与平面 α 内的所有直线平行 C．直线 a 与平面 α 内无数条直线不相交 D．直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都不相交 解析：选 D．因为直线 a∥平面 α，所以直线 a 与平面 α 无公 共点，因此直线 a 和平面 α 内的任意一条直线都不相交，故 选 D．
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考点一 直线与平面平行的判定与性质 (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，
B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这 四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
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(2)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如 图所示．在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N．
解：(1)证明：因为 AB∥DC，AD⊥DC， 所以 AB⊥AD，在 Rt△ABD 中，AB＝AD＝1， 所以 BD＝ 2，易求 BC＝ 2， 因为 CD＝2，所以 BD⊥BC． 又 BD⊥BB1，B1B∩BC＝B， 所以 BD⊥平面 B1BCC1．
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(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和 已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平 行来推导线面平行． (2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需 要经过已知直线作辅助平面来确定交线． (3)利用平面几何知识证明线线平行的主要方法：①有中点， 找中点，连中线，证平行；②构造三角形的中位线；③构造 平行四边形．
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(必修 2 P56 练习 T2 改编)如图，E 是正方 体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，过 A、 C、E 三点作平面 α 与正方体的面相交． (1)画出平面 α 与正方体 ABCD-A1B1C1D1 各 面的交线； (2)求证：BD1∥平面 α．
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【对点通关】 如图，已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中， AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB ＝2． (1)求证：DB⊥平面 B1BCC1； (2)设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使 得 D1E∥平面 A1BD，并说明理由．
12/11/2021
12/11/2021
【证明】 (1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， 所以 GH∥B1C1，又 B1C1∥BC， 所以 GH∥BC，所以 B，C，H，G 四点共面． (2)在△ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC，因为 EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG． 又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，
第八章 立体几何
第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质
12/11/2021
1．直线与平面平行的判定与性质
判定
定义
定理
图
形
12/11/2021
性质
判定
定义
定理
条 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，
件
__a_∥__b___
结 a∥α
论
b∥α
性质
a∥α
a∥α，a⊂β， α∩β＝b
___a_∩___α_＝__∅__
解：(1)如图，交线即为 EC、AC、AE，平 面 α 即为平面 AEC． (2)证明：连接 BD 与 AC 交于点 O，连接 EO， 因为 ABCD 为正方形，所以 O 是 BD 的中 点，又 E 为 DD1 的中点， 所以 OE∥BD1， 又 OE⊂平面 α，BD1⊄平面 α． 所以 BD1∥平面 α．
12/11/2021
所以 A1G∥═ EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB． 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG． 又因为 A1E∩EF＝E， 所以平面 EFA1∥平面 BCHG．
12/11/2021
证明面面平行的实质是两次线面平行的证明的合并，关键是 在其中的一个平面内找两条相交直线，而且这两条相交直线 都与另外一个平面平行．