山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高二上学期10
月月考数学试题
一、单选题
1．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”
A ．200
B ．100
C ．120
D ．140
2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A ．中位数
B ．平均数
C ．方差
D ．极差
3．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有1件次品与至多有1件正品
B ．至少有1件次品与都是正品
C ．至少有1件次品与至少有1件正品
D ．恰有1件次品与恰有2件正品
4．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且
523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（ ） A ．10724 B ．724 C ．14912 D ．1493
5．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n
n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a = A ．16 B ．25 C ．28 D ．33
6．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ）
A ．34
B ．712
C ．23
D ．56
7．已知数列 a n 满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列 a n 的前n 项乘
积，若54T T <，则101T =（ ）
A ．51512-
B ．50502
C ．1012-
D ．51512
8．在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：11a =，21a =，21++=+n n n a a a ，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据21++=+n n n a a a 可得21n n n a a a ++=-，所以
()()()123243212221n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可
得2221210a a a ++⋯=（ ）
A ．714
B ．1870
C ．4895
D ．4896
二、多选题
9．近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A ．2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比超过13
B ．2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%
C ．2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%
D ．2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）
10．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，且满足条件1202220231,1a a a >⋅>，
20222023(1)(1)0a a -⋅-<则下列选项正确的是（ ）
A ．01q <<
B ．2022202410a a ⋅->
C ．2023T 的值是n T 中最大的
D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于4044
11．抛出一枚质地均匀的硬币n 次，得到正反两面的概率相同．事件:A n 次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B ：n 次中最多有一次正面朝上，下列说法正确的是（ ）
A ．当2n =时，A ，
B 相互独立 B ．当3n =时，A ，B 相互独立
C ．2n ≥时，22()2-=n n
P A D ． 2n ≥时，1()2-=n n P B
三、填空题
12．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为. 13．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*3N ,n n S S ∀∈≥，则65
a a 的取值范围为.
四、解答题
15．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.
(1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由；
(2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为
12
，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率.
16．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在 60,70 内的平均成绩为67，方差是9，落在[)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在[)70,80内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：221122
,,;,,m x s n x s .记两组数据总体的样本平均数为w ，则总体样本方差()()
222221122m n s s x w s x w m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++） 17．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC ＝，且60DAB DBF ∠∠o ＝＝．
(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；
(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．
18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，19a =，()()2*1n n S n n a n -=-∈N ．
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)求数列{}||n a 的前n 项和n T ．
19．在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一
个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12
的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122
p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12
的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2
p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =.根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的()*(,0)N P n n ∈，他每步走动都会有*p 的概率向左移动1个单位，有1*p -的概率向
右移动一个单位，原点(0,0)处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(,0)P n 开始，最终掉入陷阱的概率.若这个人开始时位于点(1,0)P 处，且1*3
p =，
(1)求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；
(2)求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；
(3)已知()*1112N 33
n n n p p p n -+=
+∈，若01p =，求n p .。