高考数学第一章集合与简易逻辑第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词教案理

第3讲 简单逻辑联结词、全称量词与存
在量词
基础知识整合
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□
02∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立” 用符号简记为：□
03∀x ∈M ，p (x )． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：□
04∃x 0∈M ，p (x 0)． 2．含有一个量词的命题的否定
1
2．“p ∨q p )∨(綈q )”． 3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．
1．(2019·福建模拟)命题“∀x >0，x
x －1
>0”的否定是( )
A ．∃x 0<0，x 0x 0－1
≤0
B ．∃x 0>0，x 0x 0－1
≤0
C ．∀x >0，x
x －1
≤0 D ．∀x <0，
x
x －1
≤0
答案 B
解析易知命题的否定是∃x0>0，
x0
x0－1
≤0，故选B.
2．(2018·河南周口月考)若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－1,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析因为命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”等价于“x20＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝ (a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
3．(2017·山东高考)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.
4．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )
A．命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|＝5，则x≠5”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x0∈R,3x20＋2x0－1>0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
答案 D
解析A中，命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”
的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x 0∈R,3x 20＋2x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R,3x
2
＋2x －1≤0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选D.
5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2
－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5
答案 C
解析 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.
6．(2019·广东深圳三校联考)已知命题p ：不等式ax 2
＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0,4)，命题q ：“x 2
－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(綈q )
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．(綈p )∧q
答案 D
解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝a 2
－4a <0，解得0<a <4，
综上，可得实数a ∈[0,4)，因此p 是假命题，则綈p 是真命题；
命题q ：由x 2
－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2
－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(綈p )∧q 是真命题．故选D.
核心考向突破
考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断
例1 (1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p 是“甲试驾成功”，
q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )
A ．(綈p )∨(綈q )
B ．p ∨(綈q )
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨q
答案 A
解析 命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.
(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ；命题q ：∃x 0∈N *,
2x 0＋21－x 0＝22，则下列命
题中为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．(綈p )∧q
C ．p ∧(綈q )
D ．(綈p )∧(綈q )
答案 C
解析 根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x 0＋21－x
＝22，得22x
0－22·2x 0
＋
2
＝
，
解
得
2x
＝2，即
x 0＝
1
2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫或2x 0＋21－x 0≥22x 0·21－x 0＝22，当且仅当2x 0＝21－x 0，即x 0＝12时等号成立，命题q 为假命题．所以只有p ∧(綈q )为真命题．故选C.
触类旁通
判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤
(1)判断复合命题的结构．
2判断构成这个命题的每个简单命题的真假.
3依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可. 即时训练 1.已知命题p ：“若x 2
－x >0，则x >1”；命题q ：“若x ，y ∈R ，x 2
＋y 2
＝0，则xy ＝0”．下列命题为真命题的是( )
A ．p ∨(綈q )
B ．p ∨q
C ．p ∧q
D ．(綈p )∧(綈q )
答案 B
解析 若x 2
－x >0，则x >1或x <0，故p 是假命题；若x ，y ∈R ，x 2
＋y 2
＝0，则x ＝0，y ＝0，xy ＝0，故q 是真命题，则p ∨q 是真命题，故选B.
2．已知命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ，命题q ：∃x ∈R ，使得tan x ＝1－3x
，则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．(綈p )∧(綈q )
C ．p ∧(綈q )
D ．(綈p )∧q
答案 D
解析 对于命题p ：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ＝0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：当x ＝0时，tan x ＝1－3x
＝0，所以命题q 是真命题．由于綈p 是真命题，所以(綈p )∧q 是真命题，故选D.
考向二 全称命题、特称命题
角度1 全称命题、特称命题的否定
例2 (1)(2019·贵州联考)已知命题p：∀x >0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( ) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1
答案 B
解析命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1的否定为∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1，故选B.
(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
触类旁通
一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定.
即时训练 3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )
A．所有奇数的立方都不是奇数
B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，它的立方不是奇数
D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
答案 C
解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．
4．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2
C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2
0 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *
，使得n <x 2
0 答案 D
解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.
角度2 全称命题、特称命题真假的判断
例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2
≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1
x
>2
答案 B
解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x ＝0时，x 2
＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1
x
>2，所以D 是
假命题．故选B.
触类旁通
全称命题与特称命题真假性的两种判断方法
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． 即时训练 5.下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2
＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2
＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题 答案 B
解析 命题“若x 2
＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2
≠1，则x ≠1”，所以A 错误；ab ≠0等价于a ≠0且b ≠0，所以“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件，B 正确；命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≥0”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则
p ，q 至少有一个为假命题，D 错误．故选B.
考向三 利用复合命题的真假求参数范围
例4 (1)命题p ：∀x ∈R ，ax 2
＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]
B ．[0,4]
C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2
＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 2
0＋ax 0＋1<0，
则a <0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝a 2
－4a >0，
解得a <0或a >4.
(2)(2019·金华联考)已知p ：方程x 2
＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2
＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．
答案 (1,2]∪[3，＋∞)
解析 p 为真命题，有⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝m 2
－4>0，－m <0，
解得m >2.
q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3.
由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．
当p 真q 假时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
m >2，
m ≤1或m ≥3，得m ≥3；
当p 假q 真时，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≤2，
1<m <3，得1<m ≤2.
综上，实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 触类旁通
根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况)．
2然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围. (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
即时训练 6.已知命题p ：关于x 的不等式a x
>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2
－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
解 由关于x 的不等式a x
>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg (ax 2
－x ＋a )的定义域为R ，知 不等式ax 2
－x ＋a >0的解集为R ， 则⎩⎪⎨
⎪
⎧
a >0，Δ＝1－4a 2
<0，
解得a >1
2
.
因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，
所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，
故⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥1，a >1
2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a <1，a ≤1
2
，
解得a ≥1或0<a ≤1
2
，
故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．。