高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：正确理解函数的平均变化率和导数

正确理解函数的平均变化率和导数
导数的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过度的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是导数的核心概念之一，正确的理解导数的概念，成为学习导数的前提和基础，下面对平均变化率与导数的概念作简单分析，以供大家参考：
一、认识函数的平均变化率：
函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，增量x ∆取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
⑴()()()()211121f x f x f x x f x y x x x x
-+∆-∆==∆-∆，式中,x y ∆∆的值可正、可负，但x ∆的值不能为零，y ∆的值可以为零，若函数()f x 为常数函数，则0y ∆=．
⑵式子()()2121
f x f x y x x x -∆=∆-中，y ∆与x ∆是相对应的“增量”，即在21x x x ∆=-时，()()21y f x f x ∆=-．
例1、求函数()f x x
=在区间[]1,1x +∆内的平均变化率． 解析：∵()()1111111x y f x f x x
-+∆∆=+∆-=-=+∆+∆ (11)1(11)1x x x x
==++∆⋅+∆++∆⋅+∆． ∴函数()f x 在区间[]1,1x +∆内的平均变化率为
(11)1y x x x ∆=∆++∆⋅+∆． 点评：直接利用函数平均变化率的表达式，再代入数据就可以求得相应的平均变化率的值，解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，同时解答过程中注意计算的准确性．
变式练习1、在2008年北京奥运会的比赛中，某自行车运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系
2105s t t =+（s 单位：米，t 时间单位：秒）求20t =，0,1t ∆=时的s ∆与s t ∆∆．
解析：由定义得，()()()()2
2202010200.15200.11020520s s t s ∆=+∆-=+++-⨯-⨯ 12050.0121.05=++⨯=，∴ 21.05210.50.1
s t ∆==∆米/秒． 二、函数的平均变化率与导数的区别：
已知函数()y f x =在0x 及其附近有意义，则任取0x ∆≠，那么比值
()()00f x x f x x
+∆-∆，叫做函数函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，当x ∆趋近于0时，该比值趋近于常数c ，此时c 又称为()y f x =在0x 的瞬时变化率，把c 定义为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作：()0f x c '=．
即函数的平均变化率是指函数在某一段区间上的平均值,而函数在一点处的导数是函数在该点的瞬时变化率．
例2、已知某物体自由落体运动时，时间()t 关于位移()s 的关系式为
()212
s t gt =（其中210/g m s =）． ⑴求物体在0t 到0t t +∆这段时间内的平均速度；
⑵求物体在0t t =时的瞬时速度．
解析：当t 由0t 取一个改变量t ∆时，
s 取得相应改变量()()()()22200000111222
s t t f t g t t gt gt t g t +∆-=
+∆-=∆+∆． ⑴物体在0t 到0t t +∆这段时间内的平均速度()200112()2
gt t g t v g t t t ∆+∆==+∆∆． ⑵物体在0t t =时的瞬时速度0001lim ()2t v g t t gt ∆→=+∆=． 点评：要求瞬时速度，首先求出平均速度，然后当时间改变量t ∆趋近于零时的极限即为物体的瞬时速度．
变式练习2、物体运动方程()()2231032333
t t s t t ⎧+≤<⎪=⎨+-≥⎪⎩，求此物体在1t =和4t =时的瞬时速度．
解析：当1t =时，231s t =+，
()()22200031131163lim lim lim 6t t t t t t s v t t t
∆→∆→∆→+∆+-⨯-∆+∆∆====∆∆∆； 当4t =时，()2233s t =+-，()()2
0063lim lim lim 636t t t t t s v t t t ∆→∞∆→∆→∆+∆∆===+∆=∆∆， ∴物体在1t =和4t =时的瞬时速度分别为6和6．
三、正确理解导数的概念：
函数在某点的导数即函数在该点的变化率，即为该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数，因此求函数在某点处的导数时，一般先求出函数的导数，再计算这点的导数值，而导函数简称导数，不是具体数值．
求导数的步骤：由导数的定义知，求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤： ①求函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率
()()00f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆； ③求极限，得导数()()()00000lim
lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆，可简记为：一差、二化、三极限．
例4、⑴求函数(
)f x =在1x =处的导数． 解析：∵()(
)111y f x f ∆=+∆-=
-=
=
∴y x ∆=∆，当x ∆无限趋近于0时，无限趋近于12
-，
即01lim
lim 2x x y x ∆→∆→∆==-∆，∴()112f '=-． 点评：在导数的定义中，增量x ∆的形式是多种多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆与必须选择与之相对应的形式，将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式，概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵
与外延，才能灵活地应用概念进行解题． 变式练习3、已知()()23,f x x g x x ==，求适合()()2f x g x ''+=的x 的值． 解析：由导数的定义知：
()()22lim lim 2x x x x x y f x x x x ∆→∞∆→∞+∆-∆'===∆∆，()()332lim 3x x x x g x x x
∆→∞+∆-'==∆ 因为()()2f x g x ''+=，所以2223x x +=，即23220x x --=， 解得173x -=
或173
x +=．。