四川省泸州市高三第一次诊断性考试数学文试题

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试
数学文试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合},21|{N x x x A ∈≤<-=，}3,2{=B ，则=B A （ ） A ．}3,2,1,0{ B ．}2{ C ．}2,1,0,1{- D ．∅ 2．“0>x ”是“01>+x ”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
1．若2
1
)4tan(=
+
π
α，则αtan 的值为（ ）
A ．3
1- B ．31
C ．3
D ．3-
3．“0>x ”是“3)3
1(<x
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
4．在正方体1111D C B A ABCD -中，棱所在直线与直线1BA 是异面直线的条数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5．定义在R 上的函数m x x f +-=3
)(与函数kx x f x g -=)()(在]1,1[-上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ）
A ．]0,(-∞
B ．]3,(--∞
C ．),3[+∞-
D ．),0[+∞ 6．函数||ln x x y ⋅=的大致图象是（ ）
7．设b a ,是空间中不同的直线，βα,是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．αβα⊂a ,//，则β//a
B ．βαβα//,,⊂⊂b a ，则b a //
C ． ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂，则βα//
D ．α⊂b b a ,//，则α//a 8．已知函数)2sin(ϕ+=x y 在6
π=x 处取得最大值，则函数)2cos(ϕ+=x y 的图象（ ）
A ．关于直线6
π=x 对称 B ．关于点)0,3
(
π对称
C ．关于点)0,6
(
π对称 D ．关于直线3
π=
x 对称
9．已知圆锥的高为5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．π4
B ．π36
C ． π48
D ．π24
10．已知函数)2
1
2()(x x
x x f -
=，若)()1(x f x f >-，则x 的取值范围是（ ） A ．)21,(-∞ B ．)21,(--∞ C ．),21
(+∞ D ．),2
1(+∞-
11．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A ．3
2π+
B ．
π+21 C ．π+32 D ．6
2π
+ 12．函数14)2ln()(--+++-=a a
x e e
x x x f ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使
3)(0=x f 成立，则实数a 的值为（ ）
A ．2ln
B ．12ln -
C ． 2ln -
D ．12ln --
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知3
1
cos sin =
+αα，则ααcos sin 的值为 ． 14．设函数⎩⎨⎧>+≤<+=2
,122
0,4log )(2x x x x f x ，若9)(=a f ，则a 的值为 ．
8．如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为0
30，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为045，则此山的高=CD m ．
16．一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数a x x x x f +-=2
cos cos sin )(的最大值为2
2
. （1）求a 的值；
（2）求使0)(≥x f 成立的x 的集合. 18．设x ae x f x
cos )(-=，其中R a ∈.
（1）求证：曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线过定点； （2）若函数)(x f 在)2
,
0(π上存在极值，求实数a 的取值范围.
19．如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，)sin(2sin B A A +=，它的面积
2
16
75c S =
.
（1）求B sin 的值；
（2）若D 是BC 边上的一点，43cos =
∠ADB ，求DC
BD 的值. 20．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是梯形，DC AB //，
90=∠ABC ，SD AD =，AB CD BC 2
1
=
=，侧面⊥SAD 底面ABCD .
（1）求证：平面⊥SBD 平面SAD ；
（2）若0
120=∠SDA ，且三棱锥BCD S -的体积为12
6
，求侧面SAB ∆的面积. 21．已知函数)0(ln 2
1)(2
>+-=
a x a ax x x f . （1）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性； （2）当1=a 时，若方程)2(2
1)(2
-<+=
m m x x f 有两个相异实根21,x x ，且21x x <，证明：22
12x x <
. 选做题：
22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，
已知直线l 的极坐标方程为3)3
cos(
=+π
θρ，曲线C 的极坐标方程为)0(cos 4>=a a θρ.
（1）设t 为参数，若t y 2
1
32+
-=，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于Q P ,，设)32,0(-M ，且||||||2
MQ MP PQ =，求实数a 的
值.
23.已知函数|2||3|)(x x a x f +--=. （1）若2=a ，解不等式3)(≤x f ；
（2）若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5：BBACD 6-10：DACBA 11、12：CD 二、填空题 13．9
4
-
14．3 15．2150 16．]5,1( 三、解答题
17．（1）a x x x x f +-=2
cos cos sin )(
a x x ++-=2
12cos 2sin 21 a x +--=
2
1
)42sin(22π 由R x ∈，得)(x f 的最大值为2
2
2122=+-a 故2
1
=
a . （2）因0)(≥x f 即0)4
2sin(22≥-π
x 所以πππ
π+≤-≤k x k 24
22，
所以8
58
π
ππ
π+
≤≤+
k x k 求使0)(≥x f 成立的x 的集合是]8
5,8
[π
ππ
π+
+
k k ，Z k ∈. 18.证明：（1）因为x ae x f x
sin )('+= 所以a f =)0('，又1)0(-=a f ，
所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为
ax a y =--)1(，即1)1(-+=x a y ，
所以曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线过定点)1,1(--. （2）因为x ae x f x
sin )('+=， 因为函数)(x f 在)2
,
0(π上存在极值，
所以0)1(')0('<f f ，
即0)2
sin
)(0sin (20
<++π
π
ae ae
所以01
2<<-
a e π
，所以a 的取值范围是)0,1
(2
π
e -
.
19、(1)因为)sin(2sin B A A +=，所以C A sin 2sin =， 由正弦定理得c a 2=， 因为221675sin sin 21c B c B ac S ===
所以16
7
5sin =
B （2）因为4
3
cos =
∠ADB ，所以47sin =∠ADB ，
在ABD ∆中，由正弦定理得ADB
AB
B AD ∠=
sin sin ， 所以c AD 4
5=
由余弦定理得4
3452)4
5(2
22
⨯⨯⨯-+=BD c BD c c ， 所以c BD 23=
或c 8
3
， 因为D 是BC 边上的一点，所以c BD 2
3
=， 因为c a 2=，所以c CD 2
1
=， 所以
3=DC
BD
.
20、（1）因为0
90=∠ABC ，CD BC =， 所以0
45=∠CBD ，BCD ∆是等腰直角三角形， 故CB BD 2=，
因为BD AB 2=
，045=∠ABD ，
所以ABD ∆∽BCD ∆，
090=∠ADB ，即AD BD ⊥，
因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，交线为AD ， 所以⊥BD 平面SAD ，所以平面⊥SBD 平面SAD . （2）过点S 作AD SE ⊥交AD 的延长线于点E ， 因为侧面⊥SAD 底面ABCD ， 所以⊥SE 底面ABCD ，
设a CD BC ==，则a BD SD AD 2===，
因为0
120=∠SDA ，所以a SE 2
6
=
， 三棱锥BCD S -的体积为
12
6， 即12
626213131=⨯⨯⨯⨯=⨯=
∆-a a a SE S V BCD BCD S ， 所以1=a ，
6,2
2
3==
SA AE ， 所以侧面SAB ∆的面积为2
15=
∆SAB S .
21、（1）因为)(1)('2
a ax x x
x a a x x f +-=+
-=， 因为0<a ，当042
>-=∆a a ，
由0)('=x f 得2
421a a a x --=，2422a
a a x -+=，
因为函数)(x f 的定义域为),0(+∞，所以∈1x ),0(+∞，
所以当2402a a a x -+<<时，0)('<x f ，当242a
a a x -+>时，0)('>x f ，
故)(x f 在)2
4,
0(2a a a -+上单调递减，),24(2+∞-+a
a a 上单调递增. （2）设)2(2
1)(2
-<+=
m m x x f 的两个相异实根分别为21,x x ，满足0ln =--m x x ， 且1,1021><<x x ，0ln ln 2211=--=--m x x m x x 令x x x g -=ln )(的导函数11
)('-=x
x g ， 所以)(x g 在),1(+∞上递减
由题意可知22ln 2ln 11-<-<=-m x x ， 故21>x ，所以12
,
022
1<<x x ， 令m x x x h --=ln )(，
)22(ln )(ln )22(ln )(ln )2(
)(22
2221222211221x x x x x x x x x h x h ---=---=- 令)2(2ln ln 32
)(2
>-++
-=t t t t t F ，
则3
23)
1()2(341)('t t t t t t F +-=+--=，
当2>t 时，0)('<t F ，所以)(t F 是减函数， 所以02
3
2ln 2)2()(<-=<F t F ， 所以当21>x 时，0)2
(
)(22
1<-x h x h ， 因为12
,
022
1<<x x ，)(x h 在)1,0(上单调递增， 所以22
12x x <
. 22、（1）直线l 的极坐标方程为3)3
cos(=+
π
θρ
所以
3sin 2
3cos 21=-θρθρ，即323
21=-y x
因为t 为参数，若t y 2
1
32+
-=，代入上式得t x 23=， 所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==t y t x 213223
（t 为参数） （2）由)0(cos 4>=a a θρ，得)0(cos 42
>=a a θρρ 由θρθρsin ,cos ==y x 代入，得)0(42
2>=+a ax y x 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立
得012)1(322
=++-t a t （*）
04)1(124)]1(32[22>-+=⨯-+=∆a a 12),1(322121=+=+t t a t t ，
设点Q P ,分别对应参数21,t t 恰为上述方程的根 则||||,||,||2121t t PQ t MQ t MP -===，
由题设得212
21||t t t t =-，
则有060)]1(32[2
=-+a ，得15-=
a 或15--=a
因为0>a ，所以15-=a .
23.解：（1）不等式3)(≤x f 可化为3|2||32|≥+--x x ，则
⎩⎨
⎧≤++--≤32322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤<-3232322x x x 或⎪⎩
⎪⎨⎧
≤--->3
22332x x x 解得2
7
43≤≤-
x ， 所以不等式3)(≤x f 的解集为}2
7
43|{≤≤-
x x . （2）不等式|2|41)(x a x f +--≤等价于a x x a -≤++-|2|3|3| 即a x x a -≤++-1|2|3|3|，
因为|6||363||36||3||2|3|3|+=++-≥++-=++-a x x a x x a x x a 若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立， 则a a -≤+1|6|， 解得2
5
-
≤a ， 实数a 的取值范围是]2
5,(--∞.。