高中数学复习：函数模型及其应用
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第九节 函数模型及其应用
总纲目录 栏目索引
教 1.几种常见的函数模型 材 2.三种增长型函数模型的图象与性质 研 读 3.解函数应用题的步骤（四步八字）
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考 考点一 用函数图象刻画变化过程
点 突
考点二 应用所给函数模型解决实际问题
破 考点三 构建函数模型解决实际问题
教材研读
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3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是 ( D )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0. 98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关 系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的
是 (B)
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(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确 的是 ( D )
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知识拓展 形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
x
(1)该函数在(-∞,- a )和( a ,+∞)上单调递增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调 递减. (2)当x>0时,在x= a 处取最小值2 a , 当x<0时,在x=- a 处取最大值-2 a .
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价, 若按九折出售,则每件还能获利. ( ✕ ) (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. ( ✕ ) (3)不存在x0,使ax0 <x0n<logax0. ( ✕ )
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A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙 车更省油
答案 (1)B (2)D
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解析 (1)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切 线斜率应该逐渐增大. (2)对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升 汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度 行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B 错;对于C选项:甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则 行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于选项D:速度在80 km/ h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对.
对数函数模型 幂函数模型
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=axn+b(a,b为常数,且a≠0)
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2.三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质 y=ax
y=logax
(a>1)
(a>1)
y=xα (α>0)
在(0,+∞) ① 增函数 上的增减性
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(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y= xα(α>0)的增长速度. ( √ ) (5)“指数爆炸”是比喻指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1)的增长 速度越来越快. ( ✕ ) 答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)√ (5)✕
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2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是
(A )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 C.指数函数模型
B.幂函数模型 D.对数函数模型
答案 A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数 值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
② 增函数
③ 增函数
增长速度 ④ 越来越快
⑤ 越来越慢
相对平稳
图象的变化 随x增大逐渐表现为与
随x增大逐渐表现为 随α值变化而不同
⑥ y轴 平行
与⑦ x轴 平行
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
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3.解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
万元.
答案 1 024
解析
依题意得aalloogg
4 4
8b 64
1, b 4,
即3 2ab1,解得a=2,b=-2.
3a b 4.
所以y=2log4x-2,当y=8,即2log4x-2=8时.
x=1 024(万元).
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6.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形
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4.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与 燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为 ( B )
答案 B 由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.
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5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额 x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的 奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)
反比例函数模型 f(x)=ax+b (a>0,b>0)
x
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
的面积最大,则隔墙的长度为
.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x3)2+18,∴当x=3时,S取最大值.
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考点突破
用函数图象刻画变化过程
典例1 (1)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快
稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时
第九节 函数模型及其应用
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教 1.几种常见的函数模型 材 2.三种增长型函数模型的图象与性质 研 读 3.解函数应用题的步骤（四步八字）
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考 考点一 用函数图象刻画变化过程
点 突
考点二 应用所给函数模型解决实际问题
破 考点三 构建函数模型解决实际问题
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3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是 ( D )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0. 98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关 系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的
是 (B)
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(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确 的是 ( D )
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知识拓展 形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
x
(1)该函数在(-∞,- a )和( a ,+∞)上单调递增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调 递减. (2)当x>0时,在x= a 处取最小值2 a , 当x<0时,在x=- a 处取最大值-2 a .
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价, 若按九折出售,则每件还能获利. ( ✕ ) (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. ( ✕ ) (3)不存在x0,使ax0 <x0n<logax0. ( ✕ )
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A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙 车更省油
答案 (1)B (2)D
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解析 (1)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切 线斜率应该逐渐增大. (2)对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升 汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度 行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B 错;对于C选项:甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则 行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于选项D:速度在80 km/ h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对.
对数函数模型 幂函数模型
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=axn+b(a,b为常数,且a≠0)
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2.三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质 y=ax
y=logax
(a>1)
(a>1)
y=xα (α>0)
在(0,+∞) ① 增函数 上的增减性
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(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y= xα(α>0)的增长速度. ( √ ) (5)“指数爆炸”是比喻指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1)的增长 速度越来越快. ( ✕ ) 答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)√ (5)✕
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2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是
(A )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 C.指数函数模型
B.幂函数模型 D.对数函数模型
答案 A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数 值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
② 增函数
③ 增函数
增长速度 ④ 越来越快
⑤ 越来越慢
相对平稳
图象的变化 随x增大逐渐表现为与
随x增大逐渐表现为 随α值变化而不同
⑥ y轴 平行
与⑦ x轴 平行
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
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3.解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
万元.
答案 1 024
解析
依题意得aalloogg
4 4
8b 64
1, b 4,
即3 2ab1,解得a=2,b=-2.
3a b 4.
所以y=2log4x-2,当y=8,即2log4x-2=8时.
x=1 024(万元).
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6.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形
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4.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与 燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为 ( B )
答案 B 由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.
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5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额 x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的 奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)
反比例函数模型 f(x)=ax+b (a>0,b>0)
x
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
的面积最大,则隔墙的长度为
.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x3)2+18,∴当x=3时,S取最大值.
考点突破 栏目索引
考点突破
用函数图象刻画变化过程
典例1 (1)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快
稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时