人教A版高中数学选修一第3章3.3

高中数学学习材料
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§3.3 复数的几何意义 课时目标 1.理解复平面及相关概念和复数与复平面内的点、向量的对应关系.2.掌握复数加减法的几何意义及应用.3.掌握复数模的概念及其几何意义．
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数与点、向量间的对应
在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点Z 表示，其坐标为__________，也可用向量OZ →表示，并且它们之间是一一对应的．
3．复数的模
复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝
____________.
4．复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则
与z 1＋z 2对应的向量是________，与z 1－z 2对应的向量是________． 两个复数的__________就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
一、填空题
1．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在第______象限．
2．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下说法中正确的有________．(填序号) ①z 对应的点在第一象限； ②z 一定不是纯虚数；
③z 对应的点在实轴上方； ④z 一定是实数．
3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．
4．复数z ＝i 1＋i
在复平面上对应的点位于第______象限． 5．设复数z 满足1－z 1＋z
＝i ，则|1＋z |＝________. 6．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3) (m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．
7．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是__________．
8．若23
<m <1，则复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于第________象限．
二、解答题
9．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第二象限，求实数x 的取值范围．
10．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .
能力提升
11．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面中的对应点位于第四象限？位于x 轴的负半轴上？
12．已知z ＝3＋a i 且|z －2|<2，求实数a 的取值范围．
1．复数的几何意义包含两种
(1)复数与复平面内点的对应关系；每一个复数都和复平面内的一个点一一对应，两者联系：复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式组)．
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点惟一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．
2．复数z ＝a ＋b i 的模即向量OZ →的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数
的模可以比较大小．
§3.3 复数的几何意义
答案
知识梳理
1．实轴 虚轴 原点
2．(a ，b )
3．a 2＋b 2
4．OZ → Z 2Z 1→ 差的模
作业设计
1．一
解析 ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1.解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2. ∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．
2．③
解析 ∵z 的虚部t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1恒为正，∴z 对应的点在实轴上方，且z 一定是虚数．
3．2＋4i
解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，且C 为AB 的中点，
∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i. 4．一
解析 i 1＋i ＝12＋12i ，在第一象限． 5． 2
6．15
解析 log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0，
log 2m 2－3m －3(m －3)2
＝－1， m 2－3m －3(m －3)2＝12，m ＝±15，而m >3， ∴m ＝15. 7．⎝⎛⎭
⎫－45，2 解析 根据模的定义得(x －1)2＋(2x －1)2<10，∴5x 2－6x －8<0，∴(5x ＋4)(x －2)<0，
∴－45
<x <2. 8．四
解析 ∵23
<m <1，∴3m －2>0，m －1<0， ∴复数对应点位于第四象限．
9．解 ∵复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第二象限，
∴x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－6x ＋5<0，x －2>0， 解得2<x <5，∴x ∈(2,5)．
10．解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )．
则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－15y ＝8， ∴z ＝－15＋8i.
11．解 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于第四象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5，－7<m <4.∴－7<m <3. 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于x 轴的负半轴上时， ⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15<0， ①m 2＋3m －28＝0. ② 由②得m ＝－7或m ＝4，∵m ＝－7不适合①，
∴m ＝4.
12．解 方法一 利用模的定义．
∵z ＝3＋a i (a ∈R )，由|z －2|<2，
即|3＋a i －2|<2，即|1＋a i|<2，
∴12＋a 2<2，∴－3<a < 3.
方法二
利用复数的几何意义．
由|z －2|<2可知，在复平面内z 对应的点Z 在以(2,0)为圆心，2为半径的圆内(不包括边界)，如图．由z ＝3＋a i 可知z 对应的点Z 在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图知，－3<a < 3.。