(八年级数学下第十周)变量与函数答案版

八下第十周 变量与函数
谜题：谜题：牛打架 （打一数学名词） 【要点梳理】
要点一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.
要点二、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.
要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量x 的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数值
y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫
做当自变量为a 时的函数值.
要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2
y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.
要点四、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数
幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
要点五、函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
要点六、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【典型例题】 类型一、变量与函数
1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）
22320,1,,||,||x y x y y x y x x y -=-====
A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个 【答案】C ；
【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足 函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2，y 有两个值 ±3和它对应，对于||x y =，当x 取2，y 有两个值 ±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要 求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其 余三个式子满足函数的定义，故选C.
【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”. 举一反三： 【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ）
A.x y =
B.x
x y 2
=
C.2
)(x y = D.3
3
x y =
【答案】D ；
提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，
化简后的解析式要相同.
2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】 C ；
【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟
其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．
【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应． 类型二、函数解析式
3、求出下列函数中自变量x 的取值范围 （1）．52
+-=x x y
（2）．
423
x y x =
-（3）．23y x =+ （4）．21y x =
- （5）．312y x
=-（6）．3
2
x y x +=
+ 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.
【答案与解析】
解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数
都有意义；
（2）．423
x
y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠
32
； （3）．23y x =+，要使函数有意义，需2x ＋
3≥0，即32
x ≥-
； （4）．21
y x =
-，要使函数有意义，需2x －1＞0，即12
x >
； （5）．312y x =-，x 为任何实数，函数都有意义； （6）．3
2
x y x +=
+，要使函数有意义，需30
20
x x +≥⎧⎨
+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，
BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P 不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．
(1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)求自变量x 的取值范围．
【答案与解析】
解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10，
所以11
6103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又11
6322
APC
S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即
303y x =-．
(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0
＜x ＜10． 举一反三： 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm
的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．
【答案】
解：由题意得，2x y +＝80,
所以802y x =-，
由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0， 所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.
类型三、函数值 5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4 【思路点拨】把13
x =代入关系式可求得函数值.
【答案】C ； 【解析】130610643
y =⨯-=-=.
【总结升华】y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 类型四、函数的图象
6、（2015春•织金县）星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？ （3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？ （4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？
【答案与解析】观察图象可知：
（1）玲玲到离家最远的地方需要3小时，此时离家30千米；
（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时； （3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷（10﹣9）=10（千米/时）；
10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）=15
（千米/小时）；
10.5～11时，速度为0； 11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）=12.5（千米/小时）；
12～13时，速度为0；
13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）=15
（千米/小时）；
可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时． 两段时间的速度都是15千米/小时．速度为：30÷（15﹣13）=15（千米/小时）；
（4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9）=10（千米/小时）． 举一反三：
【变式】（2015•巴中）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，
星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y
（米）与时间t （分钟）之间关系的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ； 【巩固练习】 一.选择题
1．如图，表示y 是x 的函数图象是（ ）
2. 下列关于圆的面积S 与半径R 之间的关系式S 2
R π=中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A ．S ，2
R 是变量，π是常量 B ．S ，π，R 是变量，2是常量
C ．S ，R 是变量，π是常量
D ．S ，R 是变量，π和2是常量 3.（2015•内江）函数y=
+
中自变量x 的取
值范围是（ ）
A ．x≤2
B ．x≤2且x≠1
C ．x ＜2且x≠1
D ．x≠1
4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2
cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（ ） A ．(9)(09)S x x x =-<< B ．(9)(09)S x x x =+<≤ C ．(18)(09)S x x x =-<≤ D ．(18)(09)S x x x =+<<
5．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图描述了他上学的情景，下列说法中错误．．
的是（ ）
A ．修车时间为15分钟
B ．学校离家的距离为2000米
C ．到达学校时共用时间20分钟
D ．自行车发生故障时离家距离为1000米
二.填空题
7. 若球体体积为V ，半径为R ，则3
3
4R V π=
．其中变量是_______、•_______，常量是________． 8．如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，•图案的每条边（包括两个顶点）上都有n （n ≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S ，按图的排列规律推断S 与n 之间的关系可以用式子___________来表示．
9.（2015•大庆）某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系应表示为 ．
10．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，•那么可以知道：①这是一次________米赛跑；②甲、乙两人先到达终点的是_________；•③在这次赛跑中甲的速度为________，乙的速度为________．
【答案与解析】 一.选择题
1. 【答案】C ；
【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 【答案】C ；
【解析】π是圆周率，是一个常量. 3. 【答案】B ；
【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x ﹣1≠0，
解得：x≤2且x≠1．故选：B ． 4. 【答案】A ；
【解析】矩形的另一边长为
18292
x
x -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<.
5. 【答案】A ；
【解析】10分钟到15分钟的时间，距离没有变化，所以修车时间是5分钟.
二.填空题
7. 【答案】R 、V ；
43π；
8. 【答案】44S n =-；
9. 【答案】y=200000（x+1）2
． 10.【答案】①100；②甲；③
25
3
米/秒；8米/秒； 【解析】由图象可以看出，甲12秒钟跑完100米，乙12.5秒钟跑完100米.。