含参数及绝对值的二次函数解题策略初探
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。
二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。
一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。
它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。
例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。
当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。
（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。
本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。
二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。
例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。
二次函数一次函数及绝对值不等式问题的探讨
本文发表于《中学数学杂志》（高中版）2004年5月第3期二次函数、一次函数与绝对值不等式问题的探讨215006 苏州市第一中学刘祖希苏希常有关“绝对值不等式与二次函数、一次函数”问题，近年来屡次在高考压轴题中出现，本文试进行多方位地探讨，得到几种有效、普遍的方法.1 函数值问题有关函数值问题，以下列这组习题最为典型、棘手：问题组已知()2f x ax bx c=++，当1x≤，总有()1f x≤.试证以下系列问题①—⑦：①求证：1,1,1,2c b a c a≤≤+≤≤.②求证：当2x≤，总有()7f x≤.③求证：当xλ≤，总有()221f xλ≤-()1λ≥.④记()g x ax b=+，求证：当1x≤，总有()2g x≤.⑤记()2g x ax b=+，求证：当1x≤，总有()4g x≤.⑥记()g x ax bλ=+，求证：当1x≤，总有()2g xλ≤.⑦记()2h x cx bx a=±+.求证：当1x≤，总有()2h x≤.赋值法、待定系数法问题①证明：分别取1,0x=±得，()11f a b c=++≤，()11f a b c-=-+≤，()01f c=≤，∵()()2112b a bc a b c a b c a b c=++--+≤+++-+≤+=，∴1b≤.∵()()()2112a c abc a b c a b c a b c+=+++-+≤+++-+≤+=，∴1a c+≤.∵112a a c c a c c=+-≤++≤+=，∴2a≤.最值点分析、分拆、配凑、调整、待定系数法闭区间上二次函数()2f x ax bx c=++的最值必在两个端点处和顶点处取得，()f x亦如此.一证问题②：∵1a b c++≤，1a b c-+≤，1c≤.1︒.()()()24233f a b c a b c a b c c=++=+++-+-3137≤++=；2︒.()()()24233f a b c a b c a b c c-=-+=+++-+-1337≤++=；3︒.若12ba->，则顶点不在闭区间内，函数最值在端点取得，由12︒︒知，当2x≤，()7f x≤；若12ba-≤，则24242b ac b bf c ba a a-⎛⎫-==-⋅⎪⎝⎭1122722bc ba≤+⋅≤+⨯=<；由123︒︒︒知，当2x≤，总有()7f x≤.完全类似可证问题③.问题④、⑤、⑥是一类问题，只证⑥. 问题⑥证明：1 a b c++≤，1a b c-+≤，1c≤.1︒.()()()11122g a b a b c a b c cλλλλ+-+=+=+++-+-11111222λλλλ+-≤⋅+⋅+⋅=；2︒.()()()11122g a b a b c a b c cλλλλ-+-=-=+++-+-11111222λλλλ-+≤⋅+⋅+⋅=；由12︒︒知，当1x≤，总有()2g xλ≤.二次函数化为一次函数问题⑦证明：()()21h x c x c bx a=-+±+（二次函数→一次函数）()21c x c bx a≤-+±+{}21max,c x c b a c b a≤⋅-+++-+1112≤⋅+=.此时，又联想起一个类似的问题：⑧记()2f x ax bx c=++，()g x ax b=+，当1x≤，总有()g x d≤.求证：当1x≤，总有()f x d c≤+.问题⑧证明：()()f x x ax b c=++（二次函数→一次函数）x ax b c≤⋅++1d c d c≤⋅+=+.一次函数化为二次函数问题④、⑤、⑥的另一种证明，只证问题④.问题④证明：()2211112222x x x x g x a b ⎡⎤+-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦2211112222x x x x a b c a b c ⎡⎤⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122x x f f +-⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （一次函数→二次函数）1122x x f f +-⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（∵112x ±≤）112≤+=.系数表出法（二次函数赋值式） 一般地，对函数()2f x ax bx c=++而言，由()()()011f c f a b cf a b c =⎧⎪=++⎨⎪-=-+⎩可将系数表出为：()()()()()()112020112f f f a c f f f b +--⎧=⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩，此时()2f x ax bx c=++可表为另一种形式——赋值式：()()()()()()()2112011022f f f f f f x x x f +----=++()()()()222110122x x x xf f f x +-=+-+-.该方法的实质是通过三个独立条件“确定”三个参数c b a ,,.二证问题②：()()()()()222110122x x x x f x f f f x +-=+-+-()()()()222110122x x x x f f f x +-≤+-+-222122x x x x x +-≤++-()()()()()2222221721或1210.5 1.2571010.5 1.25701x x x x x x x x x x x ⎧-≤-≤≤-≤≤⎪⎪=--+=-++<-<<⎨⎪-++=--+<<<⎪⎩，即2x ≤时，()7f x ≤.完全类似可证问题③. 区间转移法 三证问题②：因2x ≤而12x≤，考虑将()f x 转移为2x f ⎛⎫⎪⎝⎭.待定参数,αβ，使得()()022x x f x f f f αβγ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22211114242ax bx c ax bx c ax bx c cαβγ⎛⎫⎛⎫++=+++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得3,1,3αβγ===.∴()()33022x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33022x x f f f ⎛⎫⎛⎫≤+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311317≤⋅++⋅=.完全类似可证问题③. 多种方法在同一问题中的比较下面通过几个习题，将以上介绍的几个方法作一个对比，请读者明鉴.例1 已知()2f x ax x a=--，1x ≤.求证：若1a ≤，则()54f x ≤.证法1：最值点法.1︒.()51114f a a =--=<； 2︒.()51114f a a -=+-=<；3︒.若112a >，则由12︒︒知，当1x ≤，总有()54f x <； 若112a ≤，即112a ≤≤，则1411/424a f a a a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭1/45114≤+=， （∵函数1/4y t t =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增）；由123︒︒︒知，当2x ≤，总有()7f x ≤.证法2：直接法.实质是关于变量,x a 地二元函数，可采用“顾此失彼”的方法化为一元函数.()()21f x a x x =--()2221111a x x x x x x ≤-+≤⋅-+=-++2155244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭. 例2 已知()2f x ax bx c=++，()()()11,01,11f f f -≤≤≤.求证：1x ≤时()54f x ≤.证法1：系数表出法.()()()()()()()2112011022f f f f f f x x x f +----=++()()()()222110122x x x xf f f x +-=+-+- 222122x x x x x +-≤++-()()()21111122x x x x x ≤-+++-21x x =-++2155244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭. 证法2：直接法.实质是关于变量,x a 地二元函数，可采用“顾此失彼”的方法化为一元函数.()()()21f x c x x ax b cx =-+++21c x x ax b cx≤⋅-+⋅++(){}211max ,x x a b c a b c ≤⋅-+⋅++-+-()221111x x x x ≤⋅-+⋅=-++2155244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭.例3 已知()2f x x bx c=++，1x ≤，记()f x 的最大值为M .求证：12M ≥.证法1：由M 的定义，()()()()41100M f f f f ≥+-++()()()1120f f f≥+--()()1122b c b c c=+++-+-=，故12 M≥.证法2：最值点法.(较繁，略) 证法3：反证法. (较繁，略)例4 已知f x ax bx()=+2，满足1≤-≤f()12且214≤≤f()，求f()-2的取值范围.解法1：系数表出法.由()baf+=1，()baf-=-1可解得))1()1((21)),1()1((21--=-+=ffbffa，将以上二式代入f x ax bx()=+2，并整理得()()221(1)22x x x xf x f f+-=⋅+-⋅,∴()()()1312-+=fff.又∵214≤≤f()，2)1(1≤-≤f,∴()1025≤≤f.解法2：待定系数法. 关于等号成立的实例以上问题均我们一直忙于演算，并没有重视取等号的问题，实际上，可以()221f x x=-、()221f x x=-+等为例实现等号成立. 一点背景前面的问题⑤中()2f x ax bx c=++，()()2g x ax b f x'=+=，1x≤时，有()()14f xg x≤⇒≤.一般地，记()1niiip x a x==∑，()11niiip x ia x-='=∑，1x≤时，有()p x n≤()2p x n'⇒≤.有兴趣的读者可进一步探讨.2 根的范围、系数的范围有关“根的范围、系数的范围”问题，有以下两个主要处理方法.二次函数的零点式()()12 y a x x x x =--例1 已知方程()2f x x bx c=++的两个实数根为12,x x.若,b c R∈且1b c+<，求证：121,1x x≤≤.证法1：最值点法.12121x x x x >++，12121x x x x ->+证法2：直接法. 例2 已知方程()2f x ax bx c=++的两个实数根为12,x x .①若121,1x x ≤≤，求证：,a c b a c><+.②若,,a b c Z ∈，()12,0,1x x ∈，求满足条件的最小正整数a .证法1：赋值法. 证法2：直接法. 例3 已知方程()2f x ax bx c=++的两个实数根为()1212,x x x x ≠.若,,a b c 为正整数，121,1x x <<，求证：a b c ++的最小值.证法1：赋值法. 证法2：直接法. 例4 已知方程()()()12f x x x x x =--，121,1x x -≤≤.是否存在一对实数,a b 同时满足下列条件： ①101a b -<<<<；②()()1,1f a f b ≥≥.题10 11a bab +<+，1ab <⇔1,1a b <<.证明：()()()()22221111011a b a b ab a b ab ab +⎫<⇔+<+⇔-->⎪+⎬⎪<⎭1,1a b ⇔<<. 用题10结论来看待一道高考题.题11 (1993年全国高考题)已知关于x 的实系数二次方程20xax b ++=有两个实数根,αβ，证明:(Ⅰ)如果2α<，且2β<，那么24a b<+，且4b <； (Ⅱ)如果24a b <+，且4b <，那么2α<，且2β<.证明： (Ⅰ)(Ⅱ)一并证明如下： ∵,a b αβαβ+==，∴2α<且2β<⇔12α<且12β<22114αβαβ+⇔<+且1422αβαβ=⋅<24αβαβ⇔+<+且4αβ<24a b ⇔<+且4b <24a b⇔<+且4b <.结构化思想、待定系数法 例5 已知方程()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，1x ≤时()1f x ≤.求证：1,1,3c b a b c ≤≤++≤.证法1：赋值法. 证法2：直接法.参考文献：1.宋相忠、李庆何.关于新教材一个习题的思考.中学数学杂志（高中），2.林洽仲.()2f x ax bx c=++的赋值式及其应用.中学数学教学参考，3.万新灿.问题研究法的一个实例.中学数学，4.南京师范大学数学系.数学之友，。
例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。
而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。
在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。
首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。
接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。
这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。
现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。
假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。
首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。
对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。
情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。
这可以通过求导数的方式来实现。
我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。
然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。
我们将这个最大值命名为M。
因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
初中二次函数的解题方法
班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。
1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。
常见问题1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
二次函数知识点和解题方法总结
二次函数知识点及解题方法总结、二次函数概念：1．二次函数的概一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax2 c 的性质：上加下减3. y a x h 2的性质：左加右减24. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0向上 h ，kX=h x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值k ．a0向下h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；②保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：方法二：① y ax 2 bx c 沿 y 轴平移: 向上(下)平移m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx cm )：② y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b 4ac b 2b 4ac b 2 者，即 y a x，其中 h ，k ．2a 4a 2a 4ay=ax 2y=ax 2+k平移 |k|个单位y=a (x-h) 2向右 (h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2 +k向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位向右( h>0) 【或左 (h<0)】 向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k <0) 】 平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左(h<0)】 平移 |k| 个单位五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式 ya(x h)2 k ，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质21. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．当 x b 时，y2a 2a 4a 2a2随 x 的增大而减小；当x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时，y 有最小值 4ac b ．2a 2a 4a2随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时，y 有最大值 4ac b ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数，a 0)；2. 顶点式：y a(x h)2 k (a ，h ，k 为常数，a 0)；3. 两根式：y a(x x 1)(x x 2)(a 0，x 1， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解 析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ．⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb， 2a ，顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 2b a 时，y2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a 0 的前提下，当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴x b在2ay 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于y 轴对称y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b；2a22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k ．5. 关于点m ，n 对称22y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的x1 ，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1b 4ac.a② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中a ，b ，c的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c a（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：一、二次函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2 的图像经过原点，则m的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题。
一元二次不等式、绝对值不等式的解法、含参一元二次不等式的求解策略
一元二次不等式、绝对值不等式的解法一、含绝对值不等式的解法另：（1）()ax b c c +><或只需把绝对值内看做一个整体 （2）()ax b cx d cx d +>+<+或不需要讨论即ax b cx d ax b cx d ⇔+>++<+或())cx d ax b cx d +<+<+或-( 2. 平方法3. 零点分段法（解决含多个绝对值的不等式）4. 数形结合法（构造函数作图）5. 利用绝对值的几何意义（x a x -表示数轴上的点到点a 的距离） 配套例题1.122x <-≤2.232x x ->3.1x x <+4.25423x x x +--<+5.a R ∈，若43x x a R -+->在上恒成立，求a 的范围. 变式：0a >，若43x x a R -+-<在上解集非空，求a 的范围. 变式：12x x a R a +-->在上恒成立，求范围. 变式：12x x a R a +--<在上解集非空，求范围.注：第3题可采用平方法以及利用绝对值的几何意义 第4题可采用零点分段法以及数形结合法第5题可利用绝对值的几何意义以及数形结合法1.(1)1(0)()3(0)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，解不等式2(1)f x x +≥ (2)解不等式22150x x --≥2.解不等式22230m x mx +-< 练习：2(21)20ax a x -++<3.不等式210ax ax --<解集为R ，求a 的范围.变式：不等式210ax ax --<有解，求a 的范围.4.不等式20ax bx c ++>解集为{|34}x x <<，求不等式20ax bx c -+<的解集. 练习：1.20ax bx c ++>的解集为()1,3，解不等式20bx ax c ++<.含参一元二次不等式的求解策略含参一元二次不等式是同学们学习上的一个难点，为帮助同学们突破这一难点，现介绍几种常用的求解策略。
经典试题魅力绽放——对一道高考题的多种求解策略
（ ｉ ｉ ） 求证 ： 用 ＋ 嗾
定值．
这道试题淡 中见隽 ， 突出了对解析法本质 的考查 ， 关
Ａ
注 了考生的思维能力 、 运算能力和对几何 图形 的分析 、 处 理能力． 内涵丰富 、 清新脱俗 ， 是一道值 得 我们进 行深入
． ．
２
于 轴上 方的两点 ， 且直线 Ａ 与直 线曰 平行 ， ＡＦ ２ 与
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Ｂ 交 于点Ｐ （ ｉ ） ￣Ａ ： Ｆ ｗ Ｂ Ｆ ２ ＝
Ｚ
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， 求直线Ａ 的斜率 ；
（ ｃ ， ０ ） ． 已 知 （ １ ， ｅ ） 和 （ ｅ ， ） 都 在 椭 圆 上 ， 其 中 ｅ 为 椭
圆的离心率． （ １ ） 求椭 圆的方 程 ；
（ ２ ） 、 Ｂ 是椭 圆上位
≥ ２。 ， 得 ＞ １ ， 从 而 ＞ 一 １ Ｂ ｅ ，
讯， ２ ０ ０ ３ （ １ ５） ．
（ ） ＝ ２ （ ＋ １ ） ， （ ） 在
２ ． 于 亦香 ． 对 一 道 函数 绝 对 值 问题 的 探 究 ［ Ｊ ］ ． 中 学 数
学． ２ ０ １ ２ （ ７ ） ．■
０ ， 所１ ） ２ ｆ （ ｘ ） 的最小值 为ｌ ， （ １ ） ＝ １ ．
点评 ： 本题 第二 问首先要根据 绝对值 的意义， 将 所给
函数 化 为 熟知 的 分段 函 数 ． 然后 结合 ０ 的 取 值 范 围和 每 一 段 的一 元 二 次 函 数 的 单 调 性 求 出每 一段 的 最 小值 ．最后
思想是突破难 点的重要手段．
参考文献 ：
（ ２ ） ｆ （ ）＜— １
—
伍
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初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。
含参二次函数中绝对值问题
2016浙江高考数学含参二次函数中绝对值问题1设函数R b a b a x x x f ,,)(.（1）当0a 时，讨论函数)(x f 的零点个数；（2）若对于给定的实数)01(a a ，存在实数b ，使不等式21)(21x x f x 对于任意的12,12a a x 恒成立试将最大实数b 表示为关于a 的函数)(a m ，并求)(a m 的取值范围。
2已知函数.)(2b x x axx f （1）当1b 时，若不等式12)(x x f 恒成立，求实数a 的最小值；（2）若0a ，且对任意]2,1[b ，总存在实数m ，使得方程41)(mx f 在]3,3[上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围。
3已知函数)(,2)(2R a a x x x f （1）若方程x x f 2)(恰有三个不同的实数根，求实数a 的值；（2）当0a 时，若对任意的],0[x ，不等式)(2)1(x f x f 恒成立，求实数a 的取值范围. 4已知0a ，函数a a x x x f 25)(2.(1)若函数)(x f 在]3,0[上单调，求实数a 的取值范围；(2)若存在实数2,1x x ，满足)()(0))((2121x f x f a x a x 且，求当a 变化时21x x 的取值范围.5已知函数)(,2)(2R x bx x x f （1）若函数)]([)(x f f x F 与)(x f 在R x 时有相同值域，求实数b 的取值范围；（2）若方程21)(2x x f 在)2,0(上有两个不同实数根2,1x x ，①求实数b 的取值范围；②求证：41121x x6已知函数),()(2R b R a b ax x x f .(1)若,2,2b a 且函数)(x f 的定义域，值域均为],1[b ，求b 的值；(2)若函数)(x f 的图像与直线1y 在)2,0(x 上有2个不同的交点，试求a b的范围.7已知函数1)(x a x mx x f ．（１）若0,1a m ，讨论函数)(x f 的单调性；（２）若1a ，试讨论函数)(x f 的零点的个数．８已知函数)(4)(2R x a x x x f （１）存在实数]1,1[,21x x 使得)()(21x f x f 成立，求实数a 的取值范围．（２）对任意的]1,1[,21x x ，都有k x f x f )()(21成立，求实数k 的最小值．９已知函数.,,)(R b a b a x x x f （１）当0,21b a 时，求函数)(x f 在)410](1,[m m m x 上的值域；（２）当]1,0[x 时，0)(x f 恒成立，求b 的取值范围（用a 表示）．１０已知函数R b a b x ax x f ,0,2)(2．（１）若1b 时函数)(x f 在],0[上单调递增，求实数a 的最小值；（２）若对任意的实数]1,21[b ，总存在实数a ，使得函数)(x f 在]2,[m上有４个不同的零点，求实数m的取值范围．。
含参数二次函数分类讨论的方法总结
含参数二次函数分类讨论的方法总结二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略。
它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类然后逐类解决问题。
对于二次函数y=a(x-m)+n，x∈[t，s]求最值的问题，解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
分类图如下：t+s/2为对称轴，①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。
然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论。
题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值。
例如，求函数f(x)=x-2ax+3在x∈[0,4]上的最值。
先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：f(x)=x-2ax+3=(x-a)+3-a，此函数图像开口向上，对称轴x=a。
①、当a＜0时，距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=0时，ymin=3，x=4时，ymax=19-8a。
②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a 最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=4时，ymax=19-8a。
③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=0时，ymax=3.④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=4时，ymin=19-8a，x=0时，ymax=3.题型二：“区间定动轴”型的二次函数最值。
例如，已知函数f(x)=ax^2+(1-2a)x-3在[0,1]上最小值为-2，求实数a的值。
含参数二次函数分类讨论的方法情况总结
二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。
然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当0a =<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。
含参数二次函数分类讨论的方法总结
二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x ?m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论. 解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠ (Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当302a -+=<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或a =评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。
初中二次函数的解题方法
11.1班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a ∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。
1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。
常见问题1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
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一
４ 个 交 点 ， 只 需 。 一 丢 ＜ １ ＜ 。 ，
故ｌ ＜ ａ ＜ ５
４ ．
图１
点评 ： 本题体现 了数形 结合 的思想． 它常用来研 究方
程根 的情 况、 讨 论 函数 的值 域 （ 最值 ） 及 求 变量 的 取 值 范
、
知 识 梳 理
都不在 轴上方 ， 求ｂ 的最小值．
解析 ： 由已知 ， 对 任意
ｖＪ ＾Ｌ ＝一 ６
２ ）绝对值 函数其 图像作 法也应 依不 同区 间分 别来
作： 作 ＝ Ｉ ｆ （ ｘ ） ｌ 的图像可将ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图像在 轴下方的部
分翻折 Ｎｘ 轴上 方 ， 其余部 分不变 ； 作ｙ ＝ ｆ （ ） 的图像可 先作 ０ ３ ｙ ＝ ｆ（ ｘ ） 当 １０ ＞ 时 的 图像 ， 再利用 偶 函数的 图像关 于Ｙ 轴对 称 ， 作 出ｙ ＝ ｆ（ ｘ ） （ ｘ ＜ Ｏ ） 的 图像． 而一 般绝对值 二次 函数可 由以上两种基本绝对值 函数组合 或变换得到．
以发 现 ， 当抛 物线ｈ （ ｘ ） 与射 线ｇ （ ） ＋ ３ 相 切时 ， ５ ６ － 最 小
二、 策 略探 究
策略 １ ： “ 以形 助 数 ” 为主 。 “ 以数 定 形 ” 为 辅
值 ． 故 由 ｙ ： ｛ 卅 ｊ 。 ‘ ， 消 去 有 ２ ＋ ｘ ＋ ３ — ６ ： ０ ， 由 △ ： ｏ Ｎ ｉ ￣ ｂ ：
ｇ （ ） ＝ Ｉ 斛０ ｌ ， ｈ （ ｘ ） ＝ － － ｘ Ｅ ＋ ｂ ， 函
数ｇ （ ｘ ） 与ｈ （ ｘ ） 的 图像 如 图
’
・
’ ，
．
、
—
．
３
— ． １ ０ １
２ ， 当ａ ＝ ３ 或一 １ 时， 有ｇ 。 （ ） ＝
图 ２
ｌ ｘ ＋ ３ ｌ ， ｇ ２ （ ） ＝ Ｉ 一 １ Ｉ ． 比较函数ｇ （ ） 与＾ （ ） 的图像位置可
范 围进行讨论． 一
明才智在解题 中得 到充分 的展示 ，进而体现 了高考数 学 考素质 ， 考能力 的要求．
例２ （ ２ ０ ０ ９ 年扬大附中高三调研卷 ） 若函数厂 （ ） ＝ ＋ Ｉ ｘ ＋ ａ Ｉ — ｂ 图像上存在点Ｐ （ ｆ （ ｘ 。 ） ） 对任意ａ ∈（ 一 １ ， ３ ］
为了高考命题的新热点 ， 且往往 以压轴题 的形 式 出现 ， 学
解 析 ： ｙ ： ｛ ｌ ＋ ＋ ｏ ’ 作 出 图 像 ， 如 图 １ 所 示 ． 此 曲 线
ａ． ＜Ｕ．
与Ｙ 轴交 于（ ０ ， ｎ ） 点， 最 小
值为。 ４ １ 要使ｙ ＝ ｌ 与其 有
一
，
高 中 版 中。 ？ 毒 幺 ・ ？ 霉 墨 圈 离 震
教 参
新 颖 试 题
２ ０ １ ３年 １ 月
经 典试题
— —
魅力绽放
朱万喜 （ 特级教师 ）
对一道 高考题 的 多种 求解策略
０∈（ 一 １ ， ３ ］ ，存在 有ｆ （ ｘ ） （ ｘ ） ＝ ｌ ｘ ＋ ３ １ ・ ． ／ ＼ （ ｊ ＝ ｉ ｘ ＋ ｛ ｔ ／ ／ ＼ ≤０ ， 即ｌ ｘ ＋ ａ ｌ ≤ 。 ＋ ６ ． 可 令 √ ／ ．． Ｘ
’
・ 、
一
， ．
策略２ ： 运 用 思 想 方 法 灵 活 转 化 试 题
因此 ， 绝对值 函数在不 同的区间有不 同的表达式 ：
以绝对 值函数 为载体 ， 运用 函数 、 方程及不 等式 的思 想， 借助三 者之间 的依赖关 系 ， 灵活转 化 ， 解决 运动和 变
化 中出现的问题 ， 能给学生 提供思考 的空 间 ， 使他们 的聪
＼ ｙ ／ ＼ ／
ｌ ０ １
２
生 解答较 困难 引 导学生 对高三 复 习经典 题 型进行探 究 与解题思 想归类 ， 有助于开拓学生思维 ， 培养 学生思 维品 质 和创新 能力． 为此 ， 我们 首先对此类含参 数及绝对 值 的 二 次函数 图像 和性质进 行梳理 ， 并对此类 题 型的常用 求
ｙ ｃ ＝ ： ： ｙ ＝ ｆ ｃ ， ＝
即绝 对值 函数 可 以转化 成分段 函数 ， 对于分段 函数 给定 自变量求 函数值 时 ， 应根 据 自变量 的范 围 ， 利用相应 的解析式直接求解 ； 若 给定 函数值求 自变量 ， 应根据 函数 每一段的解析式分别求解 ，但应 注意 检验该 值是否在相 应 的 自变量取值范 围之 内 ； 若其 中含 有参数 ， 要对参数 的
２ ０ １ ３年 １ 月
解 法 探 究
学 课
含参数及 绝对值 的二次 函数解题 策 略初探
◎江 苏 省 无 锡 高 等 师 范 学 校 张 超
高 ห้องสมุดไป่ตู้数 学 以函数 为主线 ， 而二次 函数作 为 中学 阶段 函数 的典 型代 表 ， 其 应用 十分广泛 ． 纵 观 近十年 高考 题 ， 有 关含参 数及绝对值 的二 次函数综合性 试题 ， 由于呈现 出命 题立 意新 颖 、 综 合性强 、 解 题难度 大等特 点 ， 更 是成
ｙ＝— 一 十Ｄ，
１ １
＿
．
例１ （ ２ ０ １ ０ ・ 全 国卷 Ｉ） 直线ｙ ＝ ｌ 与 曲线ｙ 一 ＋ ０ 有４ 个交点 ， 则实数ａ 的取值 范围是— —一
４
故６ 的最小值为 ．
４
点评 ： 本题 将 已知条 件转 化 为 Ｖ ａ ∈（ 一 １ ， ３ ］ ， 有
围等 。 对这类 内容的选择题 、 填空题 ， 数形结合特别 有效． 从历年 的高考题 来看 ．数形结合的重点是研 究 “ 以形助
数” ． 但“ 以数 定形 ” 也 不容 忽 视 ．
１ ） 基本的绝对值函数主要包括 ＝ ｌ ｆ （ ｘ ） ｌ 和ｙ （ ）
两种类 型 ， 由于 自变量 的取值被 分成若 干不 同的 区间 ，