2018学年高中数学必修5课件：1.2.1 余弦定理1 精品

4．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝23π，则 a＝______. 【导学号：91730010】
【答案】 1
5．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b2＋c2＝a2＋ 3bc， 求：
(1)A 的大小； (2)2sin Bcos C－sin(B－C)的值．
【解】 (1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A， 故 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 23bbcc＝ 23，所以 A＝π6. (2)2sin Bcos C－sin(B－C) ＝2sin Bcos C－(sin Bcos C－cos Bsin C) ＝sin BcosC＋cos Bsin C ＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝12.
【答案】 6
教材整理 2 余弦定理的变形
阅读教材 P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．
1．余弦定理的变形
b2＋c2－a2
cos A＝
2bc
，
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ca
，
a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab
.
2．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角；c2>a2＋b2⇔C 为 钝角 ；c2<a2＋b2⇔C
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1， ∴A＝90°， ∴C＝60°.
法二 由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两解． 由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°. 当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6； 当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a＝3. 综上所述，当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°；当 a＝6 时，A＝90°，C＝60°.
阶
段
阶
一
段
三
1.2 余弦定理
第 1 课时 余弦定理(1)
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法．(重点) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 余弦定理 阅读教材 P13“思考”以上部分，完成下列问题． 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍． 即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ， b2＝ c2＋a2－2cacos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
6－ 2
2，
故 A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2，
或 A＝120°，C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况： (1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系 建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦． (2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求 出另外两角．
6－ 2
2×
62－2－23＝－12. 2
∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.
故 c＝
6＋ 2
2，A＝60°，C＝75°或 c＝
6－ 2
2，A＝120°，C＝15°.
法二：由正弦定理sina A＝sinb B，得
sin A＝asibn B＝
sin 3·
45°＝ 2
3 2.
又∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或 120°.
2．在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60°，则 c＝________. 【解析】 ∵c2＝1＋4－2×1×2cos 60° ＝1＋4－2 ＝3， ∴c＝ 3. 【答案】 3
3．若△ABC 的三边长为 2,3,4，则该三角形是______三角形．(填“锐角”“直 角”或“钝角”)
【解析】 ∵22＋32－42＝4＋9－16<0， ∴该三角形是钝角三角形． 【答案】 钝角
1．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，A＝π6，则 a＝________. 【解析】 a＝ b2＋c2－2bccos A＝1. 【答案】 1
2．在△ABC 中，若 a＝5，c＝4，cos A＝196，则 b＝________. 【解析】 由余弦定理可知 25＝b2＋16－2×4bcos A， 即 b2－92b－9＝0， 解得 b＝6.
当 A＝60°时，得 C＝75°. 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝3＋2－2×
6×
6－ 4
2＝2＋
3，
∴c＝
2＋
3＝
6＋ 2
2 .
或用正弦定理求边 c，由sinc C＝sinb B得 c＝bssiinnBC＝
2si·nsin457°5°＝
2×
6＋ 4
2
2 ＝
2
6＋ 2 2.
当 A＝120°时，得 C＝15°，同理可求 c＝
[再练一题]
3．若 2,3，x 是锐角三角形的三边，求实数 x 的取值范围．
【解】
由题意可知2222＋＋3x22－－3x22>>00，， 1<x<5，
－ 13<x< 13， 即x> 5或x<－ 5，
1<x<5，
∴ 5<x< 13.
[构建·体系]
1．在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________. 【解析】 由余弦定理得 cos ∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝252＋ ×95－ ×439＝－12.∵ 0<∠BAC<π，∴∠BAC＝23π. 【答案】 23π
已知三边或三边关系解三角形
已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求三角形的各角大小． 【精彩点拨】 设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k，代入 cos A，cos B，cos C 求解． 【自主解答】 设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝6k2＋2 63＋3＋121k2k－2 4k2＝ 22，∴A＝45°. 同理可得 cos B＝12，B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝75°.
【解析】 ∵cos A＝b2＋2cb2c－a2<0， ∴A∈(90°，180°)．∴△ABC 必为钝角三角形．
【答案】 钝角
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
即 c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
6＋ 2
2×
62＋2－23＝12. 2
∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当 c＝
6－ 2
2时，由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
【提示】 若 a2＋b2<c2，则△ABC 是钝角三角形，反之不成立．
若钝角△ABC 的三边长分别为 a，a＋1，a＋2，求实数 a 的取值范围． 【精彩点拨】 首先 a，a＋1，a＋2 需满足构成三角形的条件，其次要满足 a ＋2 对应的角为钝角．
【自主解答】 由题意知，a＋2 是三角形的最大边，
[再练一题] 1．在△ABC 中，若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，解此三角形.
【导学号：91730009】
【解】 法一 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°， ∴C＝120°；
[探究共研型] 用余弦定理判定三角形的形状
探究 1 若△ABC 是锐角三角形，则其边长 a，b，c 满足什么条件？
【提示】 若△ABC Biblioteka 锐角三角形，则cos cos
A>0， B>0，
cos C>0，
即ab22＋＋bc22>>ac22，， a2＋c2>b2.
探究 2 若 a2＋b2<c2，则△ABC 是什么三角形．反之呢？
[小组合作型] 已知两边及一角解三角形
在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形． 【精彩点拨】 法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定 理求角，再利用余弦定理求边．
【自主解答】 法一：由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accos B，
∴2＝3＋c2－2 3·22c，
1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在 用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入 k，从而转化为已 知三边解三角形．
[再练一题] 2．已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37，求△ABC 的最大内角． 【解】 ∵c>a，c>b，∴角 C 最大．由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－12. ∵0°<C<180°，∴C＝120°. ∴△ABC 的最大内角为 120°.
a>0， 故aa＋ 2＋aa＋2＋a11a>＋2a－＋1a2＋，22<0，
a>0， 即a>1，
a2－2a－3<0， 解得 1<a<3.
用余弦定理判断三角形的形状 1．在△ABC 中，若 a2<b2＋c2，则 0°<A<90°；反之，若 0°<A<90°，则 a2<b2 ＋c2. 2．在△ABC 中，若 a2＝b2＋c2，则 A＝90°；反之，若 A＝90°，则 a2＝b2＋c2. 3．在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则 90°<A<180°；反之，若 90°<A<180°，则 a2>b2 ＋c2. 提醒：①判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍．②注意题目 中的隐含条件，防止增解或漏解．
为 锐角 ．
1．在△ABC 中，a＝3，b＝ 7，c＝2，则 B＝________. 【解析】 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝9＋142－7＝12， ∴B＝60°. 【答案】 60°
2．在△ABC 中，若 b2＋c2－a2<0，则△ABC 必为________三角形. 【导学号：91730008】
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