安徽省灵璧中学高三数学高考压轴测试 理 新人教版【会员独享】

安徽省灵璧中学2010届高考数学压轴试卷一(理科) 满分150分，考试时间120分钟
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A ＝{1，2，a －1}，B ＝{0，3，a 2＋1}，若{2}A B =，则实数a 的值为 （ C ） A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．0
2.设l m n 、、表示不同的直线，αβγ、、表示不同的平面，给出下列4个命题： ①若//m l ，且m α⊥，则l α⊥； ②若//m l ，且m ∥α，则//l α；
③若,,l m n αββγγα===，则////l m n ；
④若,,m l n αββγαγ===，且//n β，则//m l .
其中正确命题的个数 （ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.若关于x 的方程|1|2x a a -=(0,1)a a >≠有两个不等实根，则a 的取值范围是 （ D ） A.(0,1)
(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．1
(0,)2
4.在平面直角坐标系中，i ，j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，O 为坐标原点，设向量OA ＝2i ＋j ，OB ＝3i ＋k j ，若A ，O ，B 三点不共线，且△AOB 有一个内角为直角，则实数k 的所有可能取值的个数是 （ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5.在极坐标系中，圆C ：22cos sin 0k k ρρθρθ++-=关于直线l ：()4
R π
θρ=
∈对称的充
要条件是 （ A ） A ．k ＝1 B ．k ＝－1 C ．k ＝±1 D ．k ＝0
7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12010a =-，
20092007
220092007
S S -=，则2010S =（ C ） A ．－2008 B ．2008 C ．－2010 D ．2010
8.定义{}()
max ,()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩
，已知实数x ，y 满足|x |≤2，|y |≤2，设{}max 4,3z x y x y =+-
则z 的取值范围是 （ A ）
A ．[－7，10]
B ．[－6，10]
C ．[－6，8]
D ．[－7，8] 9. 为预防和控制甲流感，某学校医务室欲将22支相同的温度计分发到高三年级10个班级中，要求分发到每个班级的温度计不少于2支，则不同的分发方方式共有 A 、45种 B 、55种 C 、90种 D 、100种
10. 把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得
到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
{}n a ，若2009n a =，则n =
A 、1026
B 、1027
C 、1028
D 、1029
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置 11．过抛物线2
4
1x y =
焦点的直线与此抛物线交于A 、B 两点，A 、B 中点的纵坐标为2，则弦AB 的长度为 ．
12．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的
x 的取值范围是 ．
13.不等式33|21log (1)||21||log (1)|x x x x ---<-+-的解集是 (2，＋∞) .
14.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有 126 条.
15. 如图，设A B C 、、是球O 面上的三点，我们把大圆的劣弧BC CA AB 、、在球面上围成的部分叫做球面三角形，记作球面三角形ABC ，在球面三角形ABC 中，1OA =，设
(),,,,.0,BC a CA b AB c a b c π===∈,二面角B O A C C O B A
A O C ------
、、的大小分别为αβγ、、，给出下列命题： ①若2
π
αβγ===，则球面三角形ABC 的面积为
2
π
； ②若3
a b c π
===
，则四面体OABC 的面积为
2
π；
③圆弧AB 在点A 处的切线1l 与圆弧CA 在点A 处的切线2
l 的夹角等于a ；
④若a b =，则αβ=。

其中你认为正确的所有命题的序号是 。

B 东 北
三．解答题;本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡上的指定区域内。

16.设函数f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求sinA.
17. 湖南省有许多旅游景点，某同学利用寒暑假旅游了张家界、南岳、韶山、岳阳楼和桃
花源等5个景点，并收藏有张家界纪念门票3张，南岳纪念门票2张，韶山、岳阳楼、桃花源纪念门票各1张，现从中随机抽取5张.
（Ⅰ）求抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率；
（Ⅱ）若抽取的5张门票中5个景点都有记10分，恰有4个景点记8分，恰有3个景点记6分，依此类推.设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和数学期望.
18.(本小题满分12分)
如图，PC ⊥平面ABC ，PM ∥CB ，∠ACB ＝120°，PM ＝AC ＝1，BC ＝2，异面直线AM 与直线PC 所成的角为60°.
（Ⅰ）求二面角M －AC －B 大小的正切值； （Ⅱ）求三棱锥P －MAC 的体积.
19.(本小题满分13分)
设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2
，
两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

21.(本小题满分13分)
给出定义在(0，＋∞)上的三个函数：()ln f x x =，2
()()g x x af x =-
，()h x x =-已知)(x g 在x ＝1处取极值. （Ⅰ）确定函数h (x )的单调性；
P C
B
M A
（Ⅱ）求证：当2
1e x <<时，恒有2()
2()
f x x f x +<
-成立；
（Ⅲ）把函数h (x )的图象向上平移6个单位得到函数h 1(x )的图象，试确定函数y ＝g (x )－
h 1(x )的零点个数，并说明理由.
安徽省灵璧中学高三第三次月考数学试卷答题卷
( 文 科 )
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置 11． 6 12． ),1()0,1(∞+-
13. ： 14. ：
15
三．解答题;本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答
写在答题卡上的指定区域内. 16、（本小题满分12分）
f(x)=cos(2x+
3π)+sin 2
x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 233222
x x x x ππ--+=-
所以函数f(x)的最大值为
12
+,最小正周期π.
（2）()2c f =
12C =－41, 所以sin C =
,
因为C 为锐角, 所以3C π
=
,
又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以
s i n
B = 所以
11sin sin()sin cos cos sin 23A B C B C B C =+=+=
+=
.
17．（本小题满分12分）
【解】（Ⅰ）记抽取的5张门票中“恰有3个景点”为事件A ，“恰有4个景点”为事件B. 若抽取的5张门票中恰有3个景点，则至少要抽取2张张家界门票，
所以311222132333235
8()9
()28
C C C C C C C P A C ⋅⋅++⋅⋅==. （2分） 若抽取的5张门票中恰有4个景点，则至多只能抽取2张张家界门票，
所以212312223
3233323235
8()31
()56
C C C C C C C C C P B C ⋅⋅++⋅⋅+⋅==. （5分）
因为事件A ，B 互斥，所以931497
()()()2856568P A B P A P B +=+=
+==. 故抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率是7
8
. （6分）
（Ⅱ）因为5张门票中至少含有2个景点，则ξ的可能取值为10，8，6，4. （7分）
其中113
3235
83
(10)28
C C C P C ξ⋅⋅===，31(8)()56P P B ξ===， 9(6)()28P P A ξ===，32
325
81
(4)56C C P C ξ⋅===. （10分） 所以ξ的分布列为 . （11
分）
3319142015
1086428562856562
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯==
18.（本小题满分12分）
【解】方法一：（Ⅰ）取BC 的中点N ，连结MN.
10 8
6 4 P ξ 328 3156
928 156
由已知，PM //CN ，则MN //PC ，所以MN ⊥平面ABC. (1分) 过点N 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ， 由三垂线定理知，AC ⊥MH.
所以∠MHN 为二面角M －AC －B 的平面角. (3分)
连结AN ，在△ACN
中，由余弦定理，得AN =由已知∠AMN ＝60°，在Rt △ANM 中，1tan 60
AN
MN =
=. (6分) 在Rt △CHN 中，3
sin 60NH CN =⋅=.
(7分)
在Rt △MNH 中，tan MN MHN NH ∠=== 故二面角M －AC －B 的正切值是3
3
2. (8分)
（Ⅱ）因为四边形PCNM 为正方形，MN ⊥平面ABC ，则
011sin1203212
P MAC A PCM A MNC M ACN V V V V AC CN MN ----====⨯⋅⋅⋅=. (12
分)
方法二：（Ⅰ）在平面ABC 内，过点C 作CB 的垂线，
按如图所示建立空间直角坐标系C xyz -. (1
分)
设点00(0,0,)(0)P z z >，由已知可得，点1
,0)2
A -，0(0,1,)M z ，则0033
(,,),(0,0,)2
AM z CP z =-
=. 因为直线AM 与直线PC 所成的角为60°，则
0||||cos60AM CP AM CP ⋅=⋅，即200z z =
. 解得z 0＝1，从而31
(0,1,1),(
,0)22
CM CA ==-. (3分) 设平面MAC 的一个法向量为n 111(,,)x y z =，则00
n CM n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111101
022
y z x y +=⎧-=⎪⎩. 取11x =，则n (1=. (5分)
又m ＝(0，0，1)为平面ABC 的一个法向量，设向量m 与n 的夹角为θ，则
c o s ||||m n m n θ⋅=
=. 从而7
2sin =θ，tan θ=. (7分)
显然，二面角M －AC －B 的平面角为锐角，故二面角M －AC －B 的正切值是33
2. (8分)
P C
B
N M H A
（Ⅱ）因为a ＝(1，0，0)为平面PCM 的一个法向量，31
(,0)2
CA =-，则 点A
到平面PCM 的距离||
2
CA a h a ⋅=
=
. (10分) 又PC ＝
PM ＝1
，则11111326212
P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=. (12分)
19.．（本小题满分12分）
解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b +=（
a,b>0）过M （2
，两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
11
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪
⎩得
222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>
1222
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k
--+=++,所以22
3880m k --=,所以22
3808m k -=≥又22
840k m -+>,所以2
2238m m ⎧>⎨≥⎩
,所以283m ≥,
即m ≥
或
m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为r =,222
228381318
m m r m k ===-++
,r =所求的圆为22
83x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满
足m ≥
或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线
为x =与椭圆22184x y +=
的两个交点为,)
或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
因为122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
, 所以2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)
km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,
||AB ==
== ①当0k ≠
时||AB =
因为2
2
1
448k k +
+≥所以2211
01
8
44k k
<≤++, 所以
2232321[1]123344k k
<+≤++,
||AB <≤
2
k =±时取”=”. ② 当0k =时
,||AB =
③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点
为
或(,所以此
时
||AB =
综上, |AB |
||AB ≤≤即
: ||AB ∈
20．（本小题满分13分）
21．（本小题满分14分）
【解】（Ⅰ）由题设，2()ln g x x a x =-，则()2a g x x x
'=-. （1分）
由已知，(1)0g '=，即202a a -=⇒=. （2分）
于是()h x x =-
'()1h x =-
（3分）
由'()101h x x =>⇒>，所以h (x )在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数.（4分）
（Ⅱ）当21x e <<时，0ln 2x <<，即0()2f x <<. （5分） 欲证2()2()
f x x f x +<
-，只需证[2()]2()x f x f x -<+，即证2(1)()1x f x x ->+. （6分） 设2(1)2(1)()()ln 11x x x f x x x x ϕ--=-=-++，则2
22
12(1)2(1)(1)()(1)(1)x x x x x x x x ϕ+---'=-=++. 当21e x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在区间(1，e 2)上为增函数. （7
分）
从而当21e x <<时，()(1)0x ϕϕ>=，即2(1)ln 1x x x ->
+，故2()2()
f x x f x +<-. （8分）
（Ⅲ）由题设，1()6h x x =-.令1()()0g x h x -=，则
22ln (6)0x x x ---=，即6ln 222++-=-x x x x . （9分）
设2()2ln h x x =，23()6(0)h x x x x =-++>，则
22()h x x '=-=
20>，得x ＞4. 所以2()h x 在(4，＋∞)上是增函数，在(0，4)上是减函数
（10分）
又3()h x 在(0，
12)上是增函数，在(12
，＋∞)上是减函数因为当x →0时，2()h x →+∞，3()6h x →. 又2(1)2h =，3(1)6h =，2(4)42ln 40h =->， 3(4)6h =-，则函数)(2x h 与)(3x h 的大致图象如下： （12分）
由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，故函数y＝g(x)－h1(x)有2个零点.（13分）。