圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线二轮复习专题练习(六)含答案新高考高中数学

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．1 ．（汇编年高考四川卷（文））从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作
垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ）
A ．
2
4
B ．
12
C ．
22 D ．
32
2．(汇编辽宁理)已知点P 是抛物线2
2y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.
172 B.3 C.5 D.92
3．(汇编江西理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙＝－4 则点A 的坐标是（B ）
A ．（2，±22） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，22)
4．(汇编天津理)从集合}11,,3,2,1{ 中任选两个元素作为椭圆方程122
22=+n
y m x 中的
m 和n ,则能组成落在矩形区域,11|||),{(<=x y x B 且}9||<y 内的椭圆个数为
（ ） (A)43
(B) 72
(C) 86
(D) 90
5．（汇编广东文7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A.
54 B.53 C. 52 D. 5
1
6．（汇编江西文7）连接抛物线2
4x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ） Ａ．12-+
Ｂ．
3
22
-
Ｃ．12+
Ｄ．
3
22
+ 7．（汇编江西理7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ）A 。

(0,1) B ．1
(0,]2
C ．2
(0,
)2
D ．2[,1)2 8．（汇编山东理）13.已知两点,45,4,45,
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：
①0124=-+y x ②32
2
=+y x ③122
2=+y x ④12
22=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )
(A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③
9．（汇编江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若
12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A ．32
B ．2
C ．5
2
D ．3
10．（汇编全国7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（３，0），则其离心率为（ ）A ．
43 B ．32
C ．21
D ．4
1
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为
1
2
x =
，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .
12．给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆
22
12516
x y +=上的动点，F 是右焦点，当5
3
A B B F +
取得最小值时，试求B 点的坐标。

13． （1）已知双曲线
1
C 与椭圆
2
C ：
22
13649
x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为7
3，求双曲线1C
的方程．
（2）以抛物线2
8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P
点的轨迹方程．
14．设A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点与右焦点，若在其
右准线上存在点P ，使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ，则该椭圆的离心率的取值
范围是____________．
解析：根据题意知，点A (－a,0)，F (c,0)，右准线x ＝a 2c ，所以a ＋c ≥a 2
c －c ，即2c 2
＋ac
－a 2≥0，故2e 2＋e －1≥0，又0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.
15．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 1，F 2分别在双曲线x 2b 2－y 2
a 2＝1的左、右准线
上，
则椭圆的离心率e ＝ ▲ ．
16．若抛物线px y 22
=的焦点与双曲线12
22
2=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 ★ 评卷人
得分
三、解答题
17．（本小题满分14分）
已知点M 到双曲线22
1169
x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3．
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．
18．如图，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴为AB ，
点)1,0(恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率3
2
e =， 过点B 的直线l 与
x 轴垂直．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，
延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点． ②
点Q 的轨迹；
②判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．（本题满分15分）
19．已知ABC ∆的三个顶点在抛物线y x =Γ2
:上运动， 1.求Γ的焦点坐标；
2.若点A 在坐标原点，且2
π=
∠BAC ，点M 在BC 上，且满足0=⋅BC AM ，求点
M 的轨迹方程；
3.试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为
2的正三角形ABC ，若存在，求出
这个正三角形ABC 的边长，若不存在，说明理由. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第二小题满分6分，第三小题满分9分.
20．设椭圆C 1的方程为22
22b y a x +=1（a ＞b ＞0），曲线C 2的方程为y =x
1，且C 1与
C 2在第一象限内只有一个公共点P . (Ⅰ）试用a 表示点P 的坐标.
(Ⅱ）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S （a ）的值域；
(Ⅲ）设min｛y1，y2，…，y n｝为y1，y2，…，y n中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表达式. （汇编上海，22）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人得分
一、选择题
1．C
2．A
3．AB
解析：F（1，0）设A（
2
y
4
，y0）则O A＝（
2
y
4
，y0），F
A＝（1－
2
y
4
，－y0），
由
O A∙F
A＝－4⇒y0＝±2，故选B 4．B
5．B
6．B
7．C
8．D
9．B
解析：B由
3
tan
623
c
b
π
==有2222
344()
c b c a
==-,则2
c
e
a
==,故选B.
10．C
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11．
12．因为椭圆的，所以，而为动点B 到左准线的距离。

故本题可化为，在椭圆上求一点B ，使得它到A 点和左准线的距离之和最小，过点B 作l 的垂线，垂点为N ，过A 作此准线的垂线，垂点为M ，由椭圆定义于是为定值其中， 解析：因为椭圆的35e =
，所以513AB BF AB BF e +=+，而1
BF e
为动点B 到左准线的距离。

故本题可化为，在椭圆上求一点B ，使得它到A 点和左准线的距离之和最小，过点B 作l 的垂线，垂点为N ，过A 作此准线的垂线，垂点为M ，由椭圆定义 ||3
5
||||||||BF e BF BN e BN BF ==⇒=
于是 5
||||||3
AB BF AB BN AN AM +
=+≥≥为定值 其中，当且仅当B 点AM 与椭圆的定点时等点成立，此时B 53
(
,2)2
所以，当53
AB BF +
取得最小值时，B 点坐标为53
(,2)2 13．（1）解：的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则解得双曲线的方程为（2）解：设点，则，∴．代入得：．此即为点P 的轨迹方程．
解析： （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).
±2137e =由1273e e =得1133e =
设双曲线的方程为222
21(,0)y x
a b a b -=>则
222
2213
139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22
194y x -=
（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨
=⎩．
代入
200
8y x =得：
2
412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 14． 15． 16． 评卷人
得分
三、解答题
17．（1）双曲线22
1169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分
设点(,)M x y ，则122
3MF MF =， 即
2222(5)23(5)x y x y
++=-+． ……………3分 化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分 （2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，
它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分 因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4， 所以圆心到直线y = x + m 的距离为8，即
|13|811
m -+=+． ……………12分
解得 1382m =±． ……………14分 18． （15分）解：（1）1b =． 由离心率3
2
e =
得2a =． 所以椭圆的标准方程为2
214
x y +=． ………………………………………4分
（2）设()00,P x y ，),(y x Q ．
∵HP PQ =，∴⎩⎨⎧==002y y x x ．∴⎪⎩
⎪
⎨⎧==y y x x 2100
∵2
20014x y += ∴
14
42
2
=+y x ，即422=+y x ………………………………………8分
∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．……………………9分 又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()0
0222
y y x x =
++． 令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，∴0042,2y N x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
． (11)
分
∴()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ⎛⎫
=- ⎪+⎝
⎭．
∴()()()()22
00000000000000004242222222
x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-+
+++ ()()0000220x x x x =-+-=．
∴OQ NQ ⊥．∴直线QN 与圆O 相切． …………………………………15分 19．理:
(1) 【解】. 由y x =2
得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
41,0 ……3分 (2) 【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为b kx y +=(k 显然存在的),与
抛物线
y x =2
交于()()2211,,,y x C y x B 则⎩⎨⎧=+=2x y b kx y 得
02=--b kx x ,,21k x x =+b x x -=21 ……5分 又点C B ,在抛物线Γ上,故有2
22211,x y x y ==, 22
22
121b x x y y ==∴
022121=+-=+=⋅∴b b y y x x AC AB 1=b 或0=b (舍)
1+=∴kx y -------① ……7分 又AM 的斜率为x y ,则有1
-=⋅k x y ,既
y x k -=代入① 故M 点轨迹为
)0(02
2≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……9分
另解:由上式①过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM ,
所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既
)0(022≠=-+x y x y 【解2】设点M 的坐标为()y x ,,AB 方程为kx y =,由
2π
=
∠BAC 得AC 方程为
x k y 1-=,则⎩⎨⎧==2x y kx y 得()2
,k k B , 同理可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1k k C ∴BC 方程为))(11
(
222k x k k k k k y -+
-
=-恒过定点)1,0(P ,
)1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM ,
所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既
)0(02
2≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分)
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】
若存在AB 边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ,设
),(,),(2
2q q B p p A , (其中不妨设q p <), 则2
2
2=--p q p q , 2=+∴q p ------① ……11分
令a AB =,则()()2
2222a p q p q =-+-,即()()()
22
22a p
q p q p q =-++-
将①代入得,()22
3a p q =-,
()q p a
p q <=
-∴ 3 -----------------② ……13分
线段AB 的中点为M ,由①, ②得M 的横坐标为22
2
=
+q p , M 的纵坐标为
()()1221422
2
2
22a p q p q q p +=-++=+ ……15分
又设()2,1=d 由d MC ⊥得)23(,2,223123a MC a a a MC =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±⋅=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴21212,22222,221221,2222a a a a a a MC OM OC
点C 在抛物线y x =2上,则()
()2212166121a a a ±=+ ,即01852=±a a , 又因为0>a ,
518=∴a ……18分
【解2】 设),(,),(22q q B p p A ,
),(2r r C ABC ∆的三边所在直线CA BC AB ,,的斜率分别是
p r p r p r r q r q r q q p q p q p +=--+=--+=--2
22222,, ------① ……12分
若AB 边所在直线的斜率为2,AB 边所在直线和x 轴的正方向所成角为
()0900,<<x α,则2tan =α,
所以()()
⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+0060tan 60tan ααp r r q ……14分 即
536,613
260tan tan 160tan tan 613260tan tan 160tan tan 0000=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=++-=+-=+p q p r r q αααα-----② 又2tan ==+αq p --------------③ ……16分
所以, ()()()()[]222
2221p q p q p q p q AB ++-=-+-=
将②, ③代入上式得边长518=AB ……18分
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
文:
（1）【解】由11=a ，
()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a (3)
分 （2）【解】由3231+=
+n n n a a a 得 32111=-+n n a a ……8分 所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分
（3）【解】
由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n
……11分 当2≥n 时 ，
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……13分 所以
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n 因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， (16)
分 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201129-≤m ，
所以2020≥m ， 2020m in =∴m ……18分
20．（Ⅰ）解：将y =x
1代入椭圆方程，得112222=+x b a x ， 化简得 b 2x 4－a 2b 2x 2+a 2=0，
由条件，有Δ=a 4b 4－4a 2b 2=0
得ab =2
解得 2
,2a x a x -==（舍去）
故P 的坐标为（a
a 2,2）. （Ⅱ）解：∵在△ABP 中，|AB |=222
b a -，高为a 2， ∴S （a ）=)41(22221422a
a b a -=⋅-⋅ ∵a ＞b ＞0，b =a 2，∴a ＞a
2， 即a ＞2，得0＜44a
＜1，于是0＜S （a ）＜2 故△ABP 的面积函数S （a ）的值域为（0，
2）. （Ⅲ）解：g （a ）=c 2=a 2－b 2=a 2－
24a
， 解不等式：g （a ）≥S （a ）， 即a 2－24a ≥)41(24a -， 整理得：a 8－10a 4+24≥0，
即（a 4－4）（a 4－6）≥0，
即（a 4－4）（a 4－6）≥0
解得：a ≤2（舍去）或a ≥46，
故f （a ）=min ｛g （a ），S （a ）｝=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-≤<-444226,)41(262,4a a a a a。