2021高考数学复习资料 专题三 函数的概念、性质与基

函数f(x)在区间D上是④ 减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
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知识拓展 (a)单调函数的定义有以下两种等价形式: ∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,
f (x1)-f (x2 )
(i) x1-x2 >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
f (x1)-f (x2 )
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(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是 T=2|a| .
(3)若f(x+a)=
f
1 (x)
或f(x+a)=-
f
1 (x)
,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是
T=2|a| .
(4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,
2|a|是它的一个周期.
证法二:易求得f '(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1).
∵x∈(0,+∞),∴e-x>0,e2x-1>0,∴f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 方法总结 (1)用定义法判断函数单调性的步骤为求定义域→取值→作差
→变形→定号→单调性.
(2)用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域→求导→解不等式f '(x)>0
时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y= 1 的单调减区
x
间为(-∞,0)和(0,+∞),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞). 2.函数的最值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I,都有⑤ f(x)≤M (2)存在x0∈I,使得⑥ f(x0)=M
(5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,
4|a|是它的一个周期.
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知能拓展
考法一 判断函数单调性的方法
例1 已知f(x)=ex+e-x.证明: f(x)在(0,+∞)上为增函数. 解题导引 证法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,然后作差f(x1)-f(x2),变形、 定号、判断. 证法二:先求导数f '(x),然后判断f '(x)与零的大小关系,最后作出判断.
f (x)
(iv)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y= f (x) 的单调性相同. (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
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注意 单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个
结论 M是f(x)的⑨ 最大 值
(1)对于任意的x∈I,都有⑦ f(x)≥M (2)存在x0∈I,使得⑧ f(x0)=M
M是f(x)的⑩ 最小 值
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考点二 函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义
图象特点
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数
y轴 对称
奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
2.奇、偶函数的性质
原点 对称
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于原
点对称的区间上的单调性 (2)在公共定义域内,
相反 .
(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
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证明 证法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
e
x1
+
e-
x1
-
e
x2
-
e-
x2
=(
e
x2
-
e
x1
)
1 ex1 x2
-1.
∵0<x1<x2,∴ex2 -ex1 >0,
∵e>1,x1+x2>0,∴ex1x2 >1,∴
1 ex1 x2
-1<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
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单调递减. (c)函数单调性的常用结论 (i)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减) 函数. (ii)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反. (iii)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 1 的单调性相反.
(或f '(x)<0)→单调性.解析式为三次或分式或指数、对数式的复合函数的
单调性常用导数法.
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例2 函数y=|x|(1-x)的增区间为 ( )
A.(-∞,0)
B.
0,
1 2
C.[0,+∞)
D.
1 2
,
解题导引 去绝对值符号转化为分段函数,画图象得增区间.
解析
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高考数学
§3.2 函数的基本性质
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考点清单
考点一 函数的单调性及最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2
都有① f(x1)<f(x2)
都有② f(x1)>f(x2)
函数f(x)在区间D上是③ 增函数
(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数;
(iii)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.
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考点三 函数的周期性
1.周期函数的概念 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都 有 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做f(x)的周 期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. 2.关于函数周期性的几个常用结论 (1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是 T=|a-b| .
x1-x2 <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
(ii)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. (b)复合函数的单调性 函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性 相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))