(浙江专版)高中数学第一章三角函数1.2.1第一课时三角函数的定义与公式一学案新人教A版必修4

谡前自主学习*甚税寸離楼岛
预习课本P11〜15,思考并完成以下问题
(1) 任意角的三角函数的定义是什么?
(2) 三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关?
(3) 如何求三角函数的定义域?
(4) 如何判断三角函数值在各象限内的符号?
(5) 诱导公式一是什么?
［新知初探］
1 •任意角的三角函数的定义
前提如图，设a疋个任意角，它的
终边与单位圆交于点
Rx, y)
A .
丿4(】血
定义正弦y叫做a的正弦，记作sin a，即sin a = y
余弦x叫做a的余弦，记作cos a ,即cos a =厶
正切
-叫做a的正切，记作tan a，即tan a =~
x x
(X M 0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上
的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们
统称为三角函数
［点睛］三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)
为函数值的函数；三角函数值只与角a的大小有关，即由角a的终边位置决定.
5 5
5
5
3.
诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值相等.
［点睛］诱导公式一的实质是： 终边相同的角，其同名三角函数的值相等. 因为这些角
的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等.
［小试身手］
1.
判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ X”)
⑴若 a =3 + 720°,则 COS a = COS 卩.( )
(2) 若 sin a = sin 3,则 a = 3 .(
)
(3) 已知a 是三角形的内角，则必有 Sin a >0.( )
答案：⑴ V (2) X (3) V 2.
若 sin a <0, tan a >0,则 a 在( )
A.第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：C
3. 已知角a 的终边与单位圆的交点 P 七
5
, — ，贝U sin a + cos a =(
)
5 5
B . 2 •三角函数值的符号 如图所示:
正弦:
余弦: 一四象限正, 正切:
四象限
简记口诀：一全正、 正弦、三正切、四余弦.
A.
三象限负;
2 .5
D.
答案：B
55
55
4. sin = __________ , cos 3nn =
3 4
的值等于(
)
B .
D.
［解析］•••点P 在单位圆上，则|OP = 1.
_______ ______ 2 1
即.：—3a 2+ 4a 2= 1,解得 a =± 5. 1 -a <0,…a =—三.
5 3 4
••• P 点的坐标为？一 2 .
5 5 4
3 •- sin a =— -, cos a =.
5
5
4 3 2 •- sin a + 2cos a =— "+ 2X ;=,.
5
5 5
［答案］A
类 «LiS )2
利用三角函数的定义求值的策略
(1) 已知角a 的终边在直线上求 a 的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标， 然后再利用正、 余弦函数的定义求出
相应三角函数值.
法二：在a 的终边上任选一点 P (x , y ), P 到原点的距离为r (r >0).则sin a =十,cos
x
a =-.已知a 的终边求a 的三角函数值时，用这几个公式更方便.
(2) 当角a 的终边上点的坐标以参数形式给出时， 要根据问题的实际情况对参数进行分
类讨论.
［活学活用］
三角函数的定义及应用
谏电讲殊设计+毕-能通芟逊
［典例］ 设a sin a + 2cos a
A.
C.
答案：子-号
1 .如果a的终边过点P(2sin 30 °，—2cos 30 ° )，那么sin a的值等于()
解析：选C 由题意知P (1 , - ,：3), 所以 r = _；12+—-飞—2= 2,
所以sin a =—— .
••• a = 5,「. P (12,5).这时 r = 13,
负半轴重合.由tan e <0,可知e 的终边可能位于第二象限或第四象限，故 e 的终边只
能位于第四象限.
(2) I ，a 是第三象限角，
3n
• 2k n + n< a <2k n +
, k € Z.
n a
3 n
•k n + 1<7<k n + G
a
•—在第二、四象限.
a
a
a
A.
B . C.
J3 2
D.
2.已知角 a 的终边过点 P (12，a )，且 tan
1|，求 sin
a + COS a 的值.
解：根据三角函数的定义, tan
/• sin a
5
13， COS
12
13，从而sin
a + COS a
17
又cos —=- cos ■—, • cos ■—<0.
a
• y在第二象限.
［答案］(1)D (2)B
@00©
对于已知角a 判断a的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.
［活学活用］
1•设△ ABC的三个内角为A B, C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()
A. tan A与cos B
B. cos B 与sin C
A n A
•••°VAV…O v2<兀，二tan2>°；
又••• 0< C<n,.・. sin C> 0.
2 .若角a是第二象限角，则点P(sin a , cos a )在第____________ 象限.
解析：T a为第二象限角，
••• sin a > 0, cos a < 0.
••• F(sin a , cos a )位于第四象限.
答案：四
_J+1
4 +4
n 2 n
—1 2 n + 7 + cos 2 n +T
1 sin( —1 395 ° )cos 1 110 ° + cos( —1 020 ° )sin 750 ° ;
11 n
1
2 n
2 sin —~^ + cos 5 • tan 4 n .
［解］⑴原式=sin( —
4X 360°+ 45° )cos(3 x 360°+ 30° ) + cos( —3X 360° +
60°)sin(2 x 360°+ 30°)
=sin 45 ° cos 30 ° + cos 60 ° sin 30
C. sin C与tan A
D. tan A与sin 解析：选D
［典例］
题型三］
诱导公式一的应用计算下列各式的值:
⑵原式=sin x 0=
n
-tan(4 n+ 0) = sin 石+ cos
将吕盘的ft當命宵禹阳7T +口的形式.捷中aE
［0, 2n) T frGZ
工
JR摒險导处式，轉化为求角O的某个三站请載便
X
若角为特珠轴.可盘接事出诙划的三轴凿独值
［活学活用］求下列
各式的值:
25 n
(1)sin 3~ tan
3
(2)sin 810 ° + cos 360 ° - tan 1 125
=sin
(2)sin 810 ° + cos 360 °—tan 1 125 °
=sin(2 x 360°+ 90°) + cos(360 ° + 0°) —tan(3 x 360°+ 45°)
=sin 90 ° + cos 0 °—tan 45 °
=1+1—1
层级一学业水平达标
1•若a =牛，贝U a的终边与单位圆的交点P的坐标是()
A.
1
2,
B.
1
2,
D.
1
2,
解析：选B设Rx, y) ,•••角a = -厂在第二象限,
15n
4 ；
解: (1)sin 251+tan
3
15n
~4~
n
=sin亍+ tan忆
7t
课后层级训续，步步捏升能力=1.
••• P —-,
~2 .
2, 2. 右角a 的终边上一点的坐标为（1 , — 1）, A . 1 B .— 1 C 上 D —龙
2 2 解析：选C •••角a 的终边上一点的坐标为（1 , —1），它与原点的距离r = ：1 则cos a 为（
） 2+ — 1 2
=2 cos 3. 若三角形的两内角 a ,卩满足sin cos 卩＜0,则此三角形必为（ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形
D. 以上三种情况都可能 解析：选B ••• sin a cos 卩 <0, a ,
卩€ (0 ,n ),
••• sin a >0, cos
卩卩为钝角.
4. 代数式sin 120 cos 210 °的值为
A.
B
. C.
D.
解析：选 A 利用三角函数定义易得 sin 120
cos 210 二，• sin 120 ° cos 210 2
A.
5. 若角 的终边在直线y =— 2x 上，则sin
等于（
A.
B .±-5
5 C.
1
D
•土
解析：选C 在a 的终边上任取一点（一1,2），则 r = 1 + 4= “J 5,所以 sin y 2 a =一=
r , 5
.或者取 R1 , — 2)，贝U r = .1 + 4=〔 5,所以 sin a
y 2
厂.5= —
6. tan
17n 解析：tan 17 n n
= tan — 6 n + — = tan
3
3
答案：3 7.已知角
的终边过点 P (5 , a )，且tan
12 冲
a =—=，贝y sin a + cos a
5
解析：I tan
a
a
= 5
12
• a =— 12.
25+ a 2 = 13.
sin
12 13，cos
• sin + cos a 答案: x + y = 0 上, sin a |cos a | |sin a | cos a 解析：
当 a 在第二象限时， |cos 四象限时， si n a |s in a | sin |cos a | 1 + |
co a =cos 综上， si
n
a
+ |s in
a | n
|cos a | cos a =U ・ 答案： 0
&若角 a 9.求下列三角函数值: a 的终边落在直线 |sin a | a a
a + cos a sin a =0. a cos (1)cos( — 1 050 ° ) ; (2)tan (3)sin 3 解：(1) ••• — 1 050 ° =— 3X 360°+ 30°, • cos( — 1 050 ° ) = cos( — 3X 360°+ 30° )=cos 30
19 n n
(2) T — = 3X 2n+ —, • tan*n = tan 3X 2n +
n n -
3 = tan 3 = \.' 3.
31 n
⑶ T — —= — 4X 2n +
sin a sin a
corr +corr =0；
当a 在第
警=sin -4X 2n+ 宁=sin
肯.
4
4 4
2
10.已知点M 是圆x 2 + y 2= 1上的点，以射线 0M 为终边的角 a 的正弦值为一 ¥，求
COS a 和tan a 的值.
解：设点M 的坐标为(x i , y i ). 由题意，可知 sin a =—2，即y i =— . •••点M 在圆x 2 + y 2 = 1上， 2
2 丄
■ - X i + 屮=1 ,
即 x 2+ —二2= 1,
2
解析：选A 由cos a < 0, Sin a >0可知，角a 的终边落在第二象限内或
y 轴的正
3a — 9 w 0,
半轴上，所以有
a + 2>0,
即一2<a w 3.
冗
2.给出下列函数值：① sin( — 1 000 ° ):②cos ——:③tan 2，其中符号为负的个 数为(
)
A. 0 B . 1 C. 2
D. 3
解析：选 B ••• — 1 000 ° = — 3X 360°+ 80°,
••• — 1 000 ° 是第一象限角，贝U sin( — 1 000 ° )>0 ;
•- tan a = =—1 或 tan a = 1.
层级二应试能力达标
1.已知角 a 的终边经过点(3 a — 9, a + 2)，且cos a w 0, sin a >0，则实数 a 的取
值范围是(
)
A. ( — 2,3] B . ( — 2,3) C. [ —
2,3)
D. [ — 2,3]
a 拧或COs
a
/• sin …cos
n n •••— 4是第四象限角，••• cos - -4 >°;
•/ 2 rad = 2x 57° 18'= 114° 36'是第二象限角，• tan 2<0.故选 B.
的终边在第四象限.
B .— 8 D.— 4
解得m=— 8.
点，且 sin e =— —55，贝y y =
解析：|OP =Q 43+ y 2.根据任意角三角函数的定义得， 寸〒亍― 又••• sin e =— 学v 0及R4 , y ）是角e 终边上一点，可知
e 为第四象限角，• y =— 8.
5 答案：—8
=1—1+¥ 2
答案：于
7.判断下列各式的符号:
(1)sin 340 ° cos 265 ° ; (2)sin 4tan
解：（1） ••• 340。

是第四象限角，265°是第三象限角, ••• sin 340 ° <0, cos 265 ° <0, • sin 340 ° cos 265 ° >0.
3.若 tan x <0,且 sin
x — cos x <0,则角x 的终边在（
A.第一象限 B .第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：选D
••• tan x <0,「.角x 的终边在第二、四象限，又
sin x — cos x <0,.••角 x
4.已知角 a 的终边经过点P （ m — 6），且cos
a = — 4，则
5
A. 8 C. 4 解析：选B
由题意 r = I Op = m + — 6 2
cos m 4
a =—m + 36=—5，
5.已知角 e 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P （4 , y ）是角e 终边上一 2
5^,解得 y =± 8.
23 n
4
6. tan 405
—sin 450 °
解析：原式= tan(360 ° + 45° ) — sin(360 + 90° ) + cos(2 x 360°
+ 30° ) = tan 45 ° — sin 90 + cos 30
3 n
⑵Tn <4<-y ,A 4是第三象限角,
23 n
••• sin 4<0 , tan — — >0,
23 n
• sin 4ta n —
<0.
4
由lg(cos a )有意义，可知 cos a >0, 所以a 是第四象限角.
3 2 2
(2)因为 |OM = 1,所以 5 + m = 1,
又a 为第四象限角，故 n <0, 从而m=— 4,
5
sin a
23 n ~4~ n 6n
+ -4，
23 n ~4~
，是第一象限
&已知
1
|sin a |
1 sin
lg(cos
—)有意义.
⑴试判断角—所在的象限.
(2)若角—的终边上一点是 M £ , m ，且|OM = 1( O 为坐标原点)，求m 的值及sin
5
的
1
解：(
1)由 |sin — | =
_1 sin
—，所以sin
—<0
,。