SX2020A121高考数学必修_函数创新题的分类解析2

函数创新题的分类解析
函数是各级各类考试反复考查了内容，并在此基础上不断创新，引申或设置新的定义、术语、表述等，且设问新颖灵活，要求答题者依据新信息进行解题.这类试题情境陌生，解答时需要通过观察、分析、归纳、概括，对信息进行加工处理，再用函数知识进行类比、联想.
一﹑定义新概念与新运算型
函数中的新概念与新运算题就是以函数基本知识为基点，约定一个新概念或新运算.主要考查学生独立攻取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣问题，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.
例1对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎨⎧ a a ≥b b a ＜b
，函数f(x)＝max ||x ＋1|，|x －2||(x ∈R)的最小值是_____. 解析：由|x ＋1|≥|x －2|⇒(x ＋1)2≥(x －2)2⇒x ≥12， 故所以根据定义f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1| x ≥1
2|x －2| x ＜12
，其图象如右，则 f min (x)＝f(12)＝|12＋1|＝32
. 点评：本题是以分段函数为基点定义的一道函数新运算型创新题，就是对分段函数的各段定义域借助相关符号以最大值的形式给出 的.解答本题的关键是要抓住新定义运算规则，将新定义函数转化为普通的分段函数.
例2一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有( )
A.10个
B.9个
C.8个
D.7个
解析：由x 2＝1或x 2＝4，得x ＝±1或x ＝±2，则由同族函数的定义知，定义域取法有：{1，2}、{1，－2}、{－1，2}、{－1，－2}、{1，2，－2}、{－1，2，－2}、{1，－1，2}、{1，－1，－2}、{1，－1，－2，2}共有9种，故选B.
点评：本题是以函数的三要素为基点定义的一道新概念创新题.解答时要抓住新概念“同族函数”的解析式与值域相同，其定义域不同的特点，在保证前两个要素相同的条件下，正确选择自变量的取值构成不同函数的定义域.
二﹑类比型
函数中的类比型创新试题，类比方式主要体现在函数概念、性质及图象，以及抽象函数与具体函数之间的类比.解答时要充分利用在结构形式、性质﹑意义上的相似性把信息从一个对象上转移到另一个对象上，实现信息的转化，获得所需要的结论，从而达到求解的目的.
例3从指数函数f(x)＝log a x 中可抽象出f(x 1＋x 2)＝f(x 1)·f(x 2)的性质；从对数函数f(x)＝a x 中可抽象出f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)的性质.那么从函数________(写出一个具体函数即可)可抽象出f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)的性质.
解析：从指、对数函数抽象出的相关性质实质上是类比指数与对数的运算性质进行抽象的，根据此类比规律不难发现具有性质f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)的函数为一次函数，即y ＝kx ＋b(k ≠0).
点评：解答本题的运用是从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种类比思维形式.本题的类比主要体现在函数在结构上对应的运算法则的结构上进行类比的.
三、表格信息给予型
表格信息题就是利用表格数据给出信息的一种创新试题，这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活，突出对考生的阅读理解能力及处理信息能力的考查.解答时要求考生通过对图表的观察、分析、提炼、挖掘
出图表给予的有用信息，抓住问题的实质，排除无关数据的干扰，一举达到求解的目的.
例4已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表格1与表格2：
表格1 表格2 表格3
填写下列g[f(x)]的表格3，其三个数依次为( )
A.3，1，2
B.2，1，3
C.1，2，3
D.3，2，1
解析：当x ＝1时，f(1)＝2，则g[f(1)]＝g(2)＝3；当x ＝2时，f(2)＝3，则g[f(2)]＝g(3)＝2， 当x ＝3时，f(3)＝1，则g[f(3)]＝g(1)＝1，故选D.
点评：本题是以复合函数为基点创新的，解答时要注意对表格数据的对应关系，分清复合函数的内函数与外函数，再根据复合函数的复合规律完成表格数据.
四、图象判断型
此类创新题主要是通过对函数性质进行描述﹑或实际问题﹑或根据某种图形的变化等所给出的函数，一般表现为抽象函数.解决这类试题常用到以下知识和方法：(1)图象变换；(2)函数性质；(3)特殊值和特殊点；(4)极限思想.解题策略可以简单概括为：记变换，找特点(值)，用性质，看趋势.灵活的运用这四种解题策略，就能做出正确的判断.
例5如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面
积的2倍，则函数y ＝f(x)的图像是( )
解析：因为f(π4)＝π4－12＜π4，即点(π4，π4－12)在直线y ＝x 下方，排除A 、B ；f(3π4)＝3π4＋12＞3π4
，即点(3π4，3π4＋12
)在直线y ＝x 上方，排除C ，故选D ． 点评：从本题所给的图形信息是无法建立函数f(x)的解析式的，但根据从图像提供各种信息，通过分析得出解题思路：利用特殊值代入进行逐一排除.
五、条件探索型
探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的.要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题.
例6现有命题：若c ＞b,且f(x)的两个区间[a ，b]、[c ，d]上都是增函数,则f(x)在集合[a ，b]∪[c，d]上为增函数.若认为该命题为真，请给出证明；若认为该命题为假，请对原命题予以补充(不允许变更原命题的内容，不允许举例)使原命题能成立，先写出补充条件，然后证明给出的真命题.
解：需补充条件：f(c)＞f(b).
证：任取x 1，x 2∈[a ，b]∪[c，d],且x 1＜x 2，
①若x 1，x 2∈[a ，b]，由f(x)在[a ，b]是增函数，必有f(x 1)＜f(x 2)成立；
②若x 1，x 2∈[c ，d]，由f(x)在[c ，d]是增函数，必有f(x 1)＜f(x 2)成立；
③若a≤x 1≤b ＜c≤x 2≤d ，由题设知f(x 1)≤f(b)且f(c)≤f(x 2)， x 1 2 3 f （x ） 2 3 1 x 1 2 3 g （x ） 1 3 2 x 1 2 3 g (f （x ）) O
A
B
x
又∵f(b)＜f(c)，∴f(x1)＜f(x2)，
综上所述，f(x)在[a，b]∪[c，d]是增函数.
点评：结出结论，寻求使结论成立的充分条件，属于条件探求型.解答时要根据确定的结论进行多角度多方位的发散和探索，分析特殊，从特殊性认识一般性，大胆合理的猜想，把握解题的关键，打开解题的思路，找到解题的突破口.
从上面的几类函数创新题可以看到，函数的创新题的形式多样，解法灵活，极富挑战性，有利于培养学生的创新意识，是考察函数内容的一个新的亮点.是一类典型的信息迁移题，是命题者的重要“耕耘地”，因此在平时的学习中要强化创新题的训练及常规解题法的培养.。