福建省惠安惠南中学2018-2019学年高二12月月考数学(理)试题(解析版)

惠南中学2018年秋季高二年12月月考
数学（理科）试卷
考试时间：120分钟满分：150分2018.12.15
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题(本题12小题，每题5 分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)
1.命题“若，则”的逆否命题是（）.
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
试题分析：逆否命题需将条件结论交换后分别否定，所以原命题的逆否命题为：若，则
考点：四种命题
2.已知命题，其中正确的是（）
A. 使
B. 使
C. 使
D. 使
【答案】D
【解析】
【分析】
由特称命题的否定为全称命题即可得解
【详解】命题，为特称命题，其否定为全称命题，
所以使.
故选D.
【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，由全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题即可得解.
3.设、是实数，则“”是“”的（）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充分且必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析：由不能推出，比如，而即，所以也不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，故选D.
考点：不等式的性质与充要条件的判断.
4.椭圆的左右焦点为，一直线过F1交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为（）
A. 32
B. 16
C. 8
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由椭圆的定义得，从而得解.
【详解】由椭圆的定义可知：.
△ABF2的周长为.
故选B.
【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题.
5.椭圆的焦距是2,则实数的值是( )
A. 5
B. 8
C. 5或8
D. 3或5
【答案】D
【解析】
【分析】
讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解.
【详解】当椭圆的焦点在x轴上时有：.
由焦距是2,可知，所以，解得；
当椭圆的焦点在y轴上时有：.
由焦距是2,可知，所以，解得.
故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题.
6.在正项等比数列中，和为方程的两根，则()
A. 16
B. 32
C. 64
D. 256
【答案】C
【解析】
略
7.已知等差数列的前n项和为，且，则（）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
【答案】D
【解析】
试题分析：由条件：，．
，，解得：
考点：等差数列由条件求某一项注意把握基本量．
8.已知等比数列公比为q，其前n项和为，若成等差数列，则等于（）
A. B. 1 C. 或1 D. -1或
【答案】A
【解析】
试题分析：因为S3，S9，S6成等差数列，即，2S9=S6+S3，所以2，整理得，，解得q3=或1，但q3=1时与已知不符，故选A。

考点：本题主要考查等比数列通项公式、求和公式。

点评：简单题，根据S3，S9，S6成等差数列可建立q的方程，解之即得。

9.数列满足且，则“”是“数列成等差数列”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当r＝1时，易知数列{a n}为等差数列；
由题意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，当数列{a n}是等差数列时，a2－a1＝a3－a2，
即2r－1＝2r2－r.解得r＝或r＝1，
故“r＝1”是“数列{a n}为等差数列”的充分不必要条件．
本题选择A选项.
10.对于0≤a＜1的实数a，当x，y满足时，z=x+y（）
A. 只有最大值，没有最小值
B. 只有最小值，没有最大值
C. 既有最小值也有最大值
D. 既没有最小值也没有最大值
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域的图形，再结合目标平移直线即可得解.
【详解】
因为x−ay=2是恒过(2,0)点的直线系，且0≤a＜1
所以x，y满足，的可行域如图：是三角形ABC的区域，
当目标函数经过可行域的B点时，目标函数确定最小值；
目标函数经过可行域的A点时，目标函数确定最大值。

故选C.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域研究目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过
的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
11.椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设P点坐标为，则，，，
于是，故.
∵∴.故选B.
【考点定位】直线与椭圆的位置关系
12.设的三边长分别为，的面积为，.若，，
，，，则( )
A. 为递减数列
B. 为递增数列
C. 为递增数列，为递减数列
D. 为递减数列，为递增数列
【答案】B
【解析】
由题意得，所以数列是常数列，故．
∵，
∴，
∴，即．
∴是以点，长轴长为的椭圆的焦点三角形，
又，所以的形状和位置如下图所示：
∵，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，
故当时，，
∴点的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点P．
∴的边上的高单调递增，
∴单调递增，
∴数列为递增数列．选B．
点睛：本题将数列、解析几何等知识相结合，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．首先，在数列运算的基础上，要处理好数列之间的关系，掌握数列变化中的确定性；其次，在解析几何特征分析上，确定出点的几何特征；最后由椭圆的定义将问题加以解决．
第Ⅱ卷(非选择题90分)
二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）
13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为____.
【答案】
【解析】
试题分析：等差数列的，，则
考点：等差数列和等比数列的性质；
14.已知正数a,b满足2a+b=10,则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用，展开后利用基本不等式求解即可.
【详解】由2a+b=10，可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查基本不等式，着重考查基本不等式的应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
15.设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在A，使,且
，则双曲线的离心率为__.
【答案】
【解析】
【分析】
设，根据双曲线定义表示，再利用勾股定理表示，从而可得解. 【详解】设分别是双曲线的左、右焦点.
若双曲线上存在点A,使,且，
设
双曲线中，
∴离心率，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得a和c 的比值，属于中档题.
16.已知分别是圆锥曲线和的离心率，设，则的取
值范围是．
【答案】（-∞，0）。

【解析】
试题分析∵a＞b＞0∴0＜＜1，e1=，e2=，∴0＜e1e2＜1，
∴m=lge1+lge2=lg（e1e2）＜0．
考点：圆锥曲线的定义、性质与方程
点评：本题主要考查了椭圆、双曲线的离心率，考查对数的运算性质。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程【答案】3x2-y2=12（或=1）
【解析】
试题分析：由椭圆方程求得焦点坐标和离心率，即可求到双曲线的c与离心率。

试题解析：由已知得双曲线c=4,椭圆离心率为
则双曲线离心率为2，得a=2,故b2=12
故所求双曲线方程是3x2-y2=12（或=1）
18.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：；（2）求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，
即，
又为钝角，因此，
故，即；
(Ⅱ)由（1）知，
，∴，
于是
，
∵，∴，因此，由此可知的取值范围是
．
考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.
19.已知数列是公差为2的等差数列，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）先等差数列的公差为，根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解，再代入等差数列的通项公式化简即可；（2）由（1）求出数列的通项公式，然后再利用裂项相消即可求出数列的前项和为，进而证明结果．
试题解析：（1）数列是公差为2的等差数列，
,,成等比数列，,
所以由
得
解之得,所以,即
（2）由（1）得
考点：1．等差数列的性质；2．等比数列的性质；3．裂项相消．
【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成
；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。

无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有
①；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和．
20.已知是递增的等差数列，，是方程的根
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由和可得公差，进而可求通项公式；
（Ⅱ）由，利用错位相减法求和即可.
【详解】（Ⅰ）方程的两个根为2，3，由题意得，
设数列的公差为，则，故，从而
所以的通项公式为
（Ⅱ）设的前项和为，由（1）知，则
①
②
①-②得.
所以，
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项相消法求和的计算，属于基础题.
21.已知椭圆过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点的直线l与椭圆相交于A,B两点，且为锐角（其中O为坐标原点),求直线l斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（II）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意得，，从而可解得椭圆的方程；
（II）设，，设直线的方程为：，与椭圆联立，利用根与系数的关系代入求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意得，
结合，解得
所以，椭圆的方程为.
（II）设，，则，.
设直线的方程为：.
由得
即.
所以，，
.
由解得或.
故或为所求.
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆相交的计算问题，用到了“设而不求”的思想处理向量问题，属于基础题.
22.已知两圆的圆心分别为，P为一个动点，且直线
的斜率之积为.
（Ⅰ）求动点P的轨迹M的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在
【解析】
(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，
设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和(x≠0)．
由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．
所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．
(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①
依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.
当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x0，y0)，则x1＋x2＝，则x0＝＝，
所以y0＝k(x0－2)＝k＝.
要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，
所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，
因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，
所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.。