教学设计：3.1.3 导数的几何意义

3.1.3 导数的几何意义
【教学目标】 知识与技能目标：
本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：
(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.
(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线.
(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率.即：
()()x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
(lim
000
0/＝曲线在0x x =处切线的斜率
在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法.
过程与方法目标：
(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力.
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高.
(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知.
情感、态度、价值观：
(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；
(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究
新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处.在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展. 【教学重点与难点】
重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法.
难点：发现、理解及应用导数的几何意义. 【学法指导】
通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，学生可以根据学案超前完成活动，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务.
使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的.学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中. 【数学知识线索】
【教学流程】
平均变化率
瞬时变化率 导 数
割线的斜率
切线的斜率
割 线
切 线
逼 近
导数的几何意义 函数的增减性
应 用
数形结合
类 比
【教学过程】
教 学 过 程
设 计 意 图 一、创设情境、导入新课
1.回顾旧知、引出研究的问题：
前面我们学习了函数在0x x =处的导数0()f x '就是函数在该点处的瞬时变化率．．．．．
.那么： 问：(1) 求导数0()f x '的步骤有哪几步? 生：第一步：求平均变化率
()00()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆； 第二步：求瞬时变化率()0000()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆.
（即0x ∆→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．．） (2)观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆ 在图形中表示什么？
老师引导学生回忆联系本节课的旧知
识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径.
教师板书，便于学生数形结合探究导
复习旧知，自然引出研究问题
动画类比、知识迁移，获得切线新定义
数形结合，学生探索获得导数的几何意义
通过例题和练习，巩固知识，加深对导数的认识
生：平均变化率表示的是割线
n
PP的斜率.
师：这就是平均变化率
．．．．．(．y x
∆∆)．的几何意义
．．．．．，那么瞬时变化率(
lim
x
y
x
∆→
∆
∆
)
在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义.
教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？ 生：先感知后发现，当0x ∆→，随着点B 沿着圆逼近点A ，割线AB 无限趋近于点A 处的切线.
◆把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：
多媒体显示【动画2】：
动态演示教材上点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势图.
师：类比【动画1】，当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，研究割线n PP 的变化趋势.
学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：
当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 逼近点
00(,())P x f x 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个
确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.
突破研究的难点：0x ∆→，割线n PP →点P 处的切线 那么：0x ∆→，割线的斜率→？与导数0()f x '又有何关系呢？学生自选A 或B 组题目进行下面的探究活动.
2.数形结合，探究导数的几何意义
结合【动画2】的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义.分层自选(A)、(B)中的一组.
【探究一(A)】
1.已知曲线上两点0000(,()),(,())n x x P x f x P x f x +∆+∆： (1)根据切线定义可知：0x ∆→，割线n PP 趋近于切线PT .那么割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 又有何关系？
纳和总结并深入体会知识间的联系.
三、探索小结、重点讲评
1.获得导数的几何意义
◆学生快速探究活动后，展示研究成果，教师重点讲评： 割线n PP 的斜率是0000
()()
()n f x x f x k x x x +∆-=
+∆-,
当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，
n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即 0000
()()lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆
切线PT 的斜率k 即为函数在0x x =处的导数. 导数的几何意义：
00000()()
()lim x f x x f x f x x x k x
∆→+∆-'===∆曲线在处的切线的斜率
师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？ 生：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量. 问：切线y kx b =+中，如果0k >，则切线有怎样的变化趋势？如果0k <呢？反之，由切线的变化趋势，能否确定斜率的情况？
生：0k >，则切线呈上升趋势；0k <，则切线呈下降趋势.由切线的变化趋势可以得出切线的斜率情况，也即该点处的导数情况.
2.了解以直代曲思想
把点P 附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线.
借助实物投影仪，展示学习成果，学生经历了完整的探究过程后，教师的讲评就可以有针对性和详略，学生也可以结合自己探究的体会更
好地建构知识.
突破导数的几何意义这个学习重点.
复习一次函数的增减性，为后面利用导数研究函数的增减性埋下伏笔.
通过将曲线一点
P
P
P
师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？
生：点P附近，曲线和该点处的切线的增减变化情况一致.如果切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势.处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想.
渗透用导数的几何意义研究函数的增减性
至此突破学习重点和难点，用时约15分钟
四、知识应用、巩固理解
1.导数几何意义的应用
例题：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
10
5.6
9.4
)(2+
+
-
=t
t
t
h的图象.
(1)
(2)
优生可在完成【探索一】后提前进行知识的应用.
要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法.
t O5.00.1
【探究二(A)】
1．用图形体现3.3)1(/
-=h ，6.1)5.0(/
=h 的几何意义.
2．导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？ 3．请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在43,t t 附近呢？
分析：附近：瞬时．．，增减：变化率．．．，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数.可借助切线的变化趋势得到导数的情况.
生：作出曲线在这些点处的切线，在0t 处切线平行于x 轴，即
0()0h t '=，说明在0t 时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在12,t t 作出切线，切线呈下降趋势，即12()0,()0h t h t ''<<，
函数在点附近单调递减.曲线在2t 附近比在1t 附近下降得更快，则是因为12|()||()|h t h t ''<.
【探究二(B)】
h
t
O
3
t
4t 0t
1t 2t
【探究二(B)】
1.运用导数的几何意义，描述)(t h 在210,,t t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在43,t t 附近呢？
2. 如何用导数研究函数的增减？
小结：附近：瞬时．．，增减：变化率．．．，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数.导数的正负即对应函数的增减.作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具.
同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性.都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具.
例题变式1：函数32y x =+上有一点00(,)x y ，求该点处的导数
0()f x '，并由此解释函数的增减情况.
0000000()()()
lim
3()2(32)lim 3x x f x f x x f x x x x x x
∆→∆→'=+∆-∆+∆+-+==∆解：
函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增.(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)
例题变式2：下图是函数()y f x =的图象，请回答下面的问题：
【探究三(A)】
1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明.
生：单调区间有：[52),[2,1),[1,3),[3,5]---，
作出区间内一系列的曲线的切线，发现切线呈现一致的上升或下降的趋势，即切线的斜率一致为正或负，所以导数值在单调区间内恒正或恒负，对应函数单调递增或递减. 【探究三(B)】
1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明. 答案同上
2.根据上题的结论，研究某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？
生：从数的角度：导数正负对应函数的增减，。