江苏省海安县～度第一学期期末调研考试高二数学(文)苏教版含答案

Read x If x ≤2 then f (x )←2x －3 Else f (x )←log 2x End if Print f (x )
2008～2009年度第一学期期末调研考试
高二数学(文科)试卷
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分. 把答案填写在答题卡相应位置.
1. 双曲线2
2
13
y x -=的离心率是 ▲ .
2. 设复数11i z =+，223i z =-，则12z z ⋅等于 ▲ ．
3. 三鹿婴幼儿奶粉事件发生后，质检总局紧急开展液态奶三聚氰胺的专项检查. 设 蒙牛、 伊利、光明三家公司生产的某批次液态奶分别是2400箱、3600箱和4000箱， 现从中 共抽取500箱进行检验，则这三家公司生产的液态奶被抽取的箱数依次为 ▲ .
4. 命题“,x ∃∈R 32x +=0”的否定是 ▲ .
5. 将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：
则第3组的频率为 ▲ .
6. 样本a 1, a 2, a 3, …, a 10的平均数为X ，样本b 1, b 2, b 3, …, b 20的平均数为Y , 则 样本a 1，a 2，a 3，…，a 10, b 1，b 2，b 3，…，b 20的平均数为 ▲ (用X ,Y 表示).
7. 根据如图所示的伪代码表示的算法，可得f (1)+f (4)= ▲ .
8. 从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有下
列事件：
①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白
球”；
②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； ③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”； ④“取出3只红球”与“取出3只白球”. 其中是对立事件的是 ▲ (写序号).
9. 按右图所示的程序框图操作，若将输出的数按照输出 的先后顺序排列，则得到数列{}n a ，则数列 {}n a 的
通项公式是 ▲ .
10. 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠
内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则 AM <AC 的概率为 ▲ .
11. 已知方程
22121y x t
t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则t 的取值范围是 ▲ .
12. 如图所示，水波的半径以1m/s 的速度向外扩张，
当半径为5m 时，这水波面的圆面积的膨胀率是 ▲ m 2/s.
13. 以下是关于圆锥曲线的四个命题：
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若P A －PB ＝k ，则动点P 的轨迹是双曲线； ②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线221y x -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ④以过抛物线的焦点的一条弦AB 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切. 其中真命题为 ▲ (写出所以真命题的序号). 14. 已知函数f (x )的定义域为[)2-+∞，，且(4)(2)1f f =-=，
)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示，
则在平面直角坐标系aOb 中，平面区域0,
0,(2)1a b f a b ≥⎧⎪
≥⎨⎪+<⎩
的面积是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题
无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4m时，水面宽8m.
(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；
(2)若水面上升1m，求水面宽度.
4
8
16. (本小题满分14分)
已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，14，18，20，且总体的中位数为10.5 (将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数).
(1)求该总体的平均数；
(2)求a的值，使该总体的方差最小.
17. (本小题满分14分)
某射击运动员射击1次，命中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.20，0.22，0.25，
0.28. 计算该运动员在1次射击中：
(1)至少命中7环的概率；
(2)命中不足8环的概率.
18. (本小题满分16分)
如图，过点3(0,)(02)a a <<的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ，求矩形ABCD
19. (本小题满分16分)
已知m ∈R ，设命题p ：在平面直角坐标系xOy 中，方程22123y x m m
+=+-表示双曲线； 命题q ：函数()
324()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上存在极值. 求使“p 且q ”
为真命题的m 的取值范围.
20. (本小题满分16分)
已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点(2,1)M ，它们在y 轴上有一个公共焦点，椭圆和 双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程；
(2)已知动直线l 过点(0,3)P ，交抛物线于A B 、两点，是否存在垂直于y 轴的直线l'被 以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l'的方程；若不存在，说明理由.
高二(文科)数学参考答案及评分标准200901
一、填空题(5分×14＝70分)
1. 2
2. 5－i
3. 120，180，200
4. 3,20x x ∀∈+≠R
5. 0.14
6. 2X Y +
7. 1 8. ③ 9. *721(,)
n a n n n =-∈N ≤ 10. 34 11. ()()
3,11,2-∞- 12. 10π 13. ②③④ 14. 4
二、解答题 15. (14分)
(1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为22(0)x py p =->. -----------------
------3分
由已知条件可知，点B 的坐标是(4,4)-，代入方程， 得242(4)p =-⨯-，即2p =. -----------------------6分 所以，所求抛物线标准方程是24.x y =- -----------------------7分 (2)若水面上升1m ，则3y =-, -----------------------10分
代入24x y =-，得24(3)12x =-⨯-=,x =± -----------------------13分
所以这时水面宽为m. -----------------------14分
16．(14分)
(1)由题意得10.52
a b +=, 即a +b =21. -----------------------2分
于是2+3+3+7+a +b +12+14+18+20=100， ----------------------4分
所以2，3，3，7，a ，b ，12，14，18，20的平均数为1001010
=. ----------------------6分
(2)设2，3，3，7，a ，b ，12，14，18，20的方差为s 2，则 s 2=222221(210)(310)(10)(10)(2010)10
a b ⎡⎤-+-++-+-+
+-⎣⎦
222211355(10)(10)355(10)(11)1010a b a a ⎡⎤⎡⎤=+-+-=+-+-⎣
⎦⎣⎦ ()2121288a a =-+. ----------------------11分
故当2110.52
a ==时，总体的方差s 2取得最小值. ---------------------14分
17．(14分)
记事件“射击1次，命中k 环”为A k (k ∈N ，且k ≤10)，
则事件A k 彼此互斥. ----------------------2分
(1)记“射击1次，至少命中7环”为事件A ，那么当A 10，A 9，A 8，A 7之一发生时，事件A 发生. 由互斥事件的概率加法公式，得 10987()()P A P A A A A =+++
10987((((
)P A P A P A P A =+++））） =0.20+0.22+0.25+0.28=0.95. ----------------------6分
(2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，至少命中7环”的对立事件，即A 表
示事件“射击1次，命中不足7环”. 根据对立事件的概率公式，得
()
1()10.950.05.P A P A =-=-= -----------------
-----9分
记事件“射击1次，命中不足8环”为B ，那么A 与A 7之一发生，B 发生，
而A 与A 7是互斥事件，于是()
7()()0.280.050.33.P B P A P A =+=+= ----------------------12分
答：该运动员在1次射击中, 至少命中7环的概率为0.95；命中不足8环的概率为0.33.
----------------------14分
(第(2)小题若先计算事件“至少命中8环”的概率，在依对立事件的概率公式求解，参照评阅)
18. (16分)
设切点为00(,)x y ，则200y ax =-. -----------------------1分
因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--, 即20002()y ax ax x x +=--，----------3分
因为切线过点()
30,a ，所以320002(0)a ax ax x +=--，即320a ax =，于是0x a =±.--------------5分
将0x a =±代入200y ax =-得30y a =-. -----------------------7分
(若设切线方程为3y kx a =+，代入抛物线方程后由0∆=得到切点坐标，亦予认可.) 所以32,8AB a BC a ==-， -----------------------9分
所以矩形面积为4162(02)S a a a =-<<， ---------------------10分
于是3168S a '=-. ---------------------12分
所以当0a <<时，0S '>2a <时，0S '<； ---------------------14分
故当a S 有最大值为 ----------------
-----16分
19．(16分)
命
题
p
为
真
命
题
(2)(3)023
m m m m ⇔+-<⇔<->或.
-----------------------3分
对于函数()
324()63
f x x mx m x =++++，有24()323f 'x x mx m =+++. -----------------------6分
函数()
324()63
f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上存在极值
⇔()0f 'x =有两个不等实根
()()
2
421201 4.3
m m m m ⇔-+>⇔<->或 ---------------------10分
于是命题q 为真命题14m m ⇔<->或. ---------------------11分
所以“p 且q ”为真命题⇔命题p 和q 都是真命题 ---------------------13分
23,2 4.14
m m m m m m <->⎧⇔⇔<->⎨<->⎩或或或 ---------------------15分
故使“p 且q ”为真命题的m 的取值范围是()
(),24,-∞-+∞. -----------------
----16分
20．(16分)
(1) 设抛物线方程为22(0)x py p =>，将(2,1)M 代入方程得 2.p =
所以抛物线方程为24x y =. ----------------------2分
由题意知, 椭圆、双曲线的焦点为12(0,1),(0,1)F F -.
设椭圆的方程为2
2221(1)1
y x a a a +=>-，则由椭圆定义得
122||||2a MF MF =+=+，
于是22(13a ==+212a -=+
221
=. ----------------------5分
设双曲线的方程为2222
1(01)1y x m m m +=<<-，则由双曲线定义得
1222m MF MF =-=，
于是)
2
213m =
=-21 2.m -=
2
21
=. ----------------------8分
(2)设11(,)A x y ，则AP 的中点C 113,22x y +⎛⎫
⎪⎝⎭
. ----------------------9分
设l'的方程为y a =，C 到l'的距离为h ，以AP 为直径的圆半径为r ，l'被圆截得的弦长为d .
则()2
22
11
3
13224y h a y a +=-=+-⎡⎤⎣⎦， ()
()2
2
2
211132
4PA r x y ⎡⎤==+-⎣
⎦， ----------------------12分
因为点11(,)A x y 在抛物线24x y =上，所以2114x y =. 由()
()()2
22
22211111332d
r h x y y a ⎡⎤=-=+--+-⎡⎤⎣⎦⎣
⎦， 得()()()()2222
221111113324332d x y y a y y y a ⎡⎤⎡⎤=+--+-=+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2
14(2)4
12.a y a a =--+ ----------------------14分
当a =2时，d 2=8，d = ----------------------15分
故存在直线l'：y =2，它被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值(定值为
----------------16分。