【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：3.1 不等关系 Word版含解析

3.1 不等关系
1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点) 3．会比较数(或式)的大小．(难点)
[基础·初探]
教材整理 不等关系
阅读教材P 73～P 74，完成下列问题．
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．
1．人类能听到的声音频率x 不低于80 Hz 且不高于2 000 Hz ，用不等式表示为________．
【解析】 “不低于80 Hz ”即“≥80 Hz ”；“不高于2 000 Hz ”即“≤2 000 Hz ”．
【答案】 80 Hz ≤x ≤2 000 Hz
2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不高于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．
【答案】 ⎩
⎨⎧
f ≤2.5%，
p ≥2.3%
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【精彩点拨】 总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．
【自主解答】 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫
8－x －2.50.1×0.2
x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8－x －2.50.1×0.2
x ≥20.
用不等式表示不等关系的注意事项
1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．
2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．
[再练一题]
1．一个两位数，个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．
【解析】 该两位数为10b ＋a ，由题意可知10b ＋a >50. 【答案】 10b ＋a >50
6 t 的乙型卡
车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【精彩点拨】
【自主解答】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，
则⎩⎨⎧
x ＋y ≤9，
10×6x ＋6×8y ≥360，
0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，
即⎩⎨⎧
x ＋y ≤9，
5x ＋4y ≥30，
0≤
x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .
用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：
(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．
(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意． (3)要将所有不等关系都表示为不等式．
[再练一题]
2．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，写出L 与W 的关系．
图3-1-1
【解】 由题意，得
⎩⎨⎧
(L ＋10)(W ＋10)＝350，
L >4W ，L >0，W >0.
[探究共研型]
探究1 如果<b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？
【提示】 若a >b ，则a －b >0，反之也成立； 若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立； 若a <b ，则a －b <0，反之也成立． 探究2 若a >b ，则a
b >1吗？反之呢？
【提示】 若a >b ，当b <0时，a b <1，即a >bD ⇒\a
b >1； 若a b >1，则a
b －1>0，即a －b b >0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0， 即a
b >1D ⇒\a >b ，反之也不成立．
已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．
【精彩点拨】 ―x <1
【自主解答】 x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4>0，
∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x .
1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
2．作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤： ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．
(2)作商法比较大小的适用范围： ①要比较的两个数同号；
②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．
[再练一题]
3．若m >2，比较m m 与2m 的大小． 【解】 ∵m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m
，
又m >2，∴m
2>1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >⎝ ⎛⎭⎪⎫
m 20＝1， ∴m m >2m .
[构建·体系]
1．用不等式表示a 与b 的平方和是非负数，应为________．
【解析】 a 与b 的平方和应表示为a 2＋b 2，非负数即≥0，故a 2＋b 2≥0. 【答案】 a 2＋b 2≥0
2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为________．
【解析】 由题意可知v ≤120，d ≥10，即⎩⎨⎧
v ≤120，
d ≥10.
【答案】 ⎩⎨⎧
v ≤120，
d ≥10
3．b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)，若再添上m g 糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.
【导学号：91730050】
【解析】 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 【答案】 a ＋m b ＋m >a
b
4．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x －2，则m 与n 的大小关系是________． 【解析】 ∵m －n ＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74，又⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122≥0，
∴m －n >0，∴m >n . 【答案】 m >n
5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
【解】
设软件数为x ，磁盘数为y ，由题意得⎩⎨⎧
60x ＋70y ≤500，
x ≥3且x ∈N ，
y ≥2且y ∈N .
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________
学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器不小于B 容器的容积．若前一个量用a 表示，后一个量用b 表示，则上述事实可表示为________；________；________.
【答案】 a <b a >b a ≥b
2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为________.
【导学号：91730051】
【解析】 “限重”即不超过的意思，即T ≤40. 【答案】 T ≤40
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．
【解析】 “不低于”即≥，“高于”即>， “超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.
【答案】
⎩⎨⎧
x ≥95，y >380，z >45
4．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．
【答案】
⎩⎨⎧
50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *
5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”
设身高为h (米)，请用不等式表示下表中的不等关系
身高超过1.5米可表示为h >1.5， 身高不足1.2米可表示为h <1.2. 【答案】 1.2≤h ≤1.5 h >1.5 h <1.2
6．若a∈R，则
a
1＋a2
与
1
2的大小关系是________．
【解析】∵
a
1＋a2
－
1
2＝
2a－1－a2
2(1＋a2)
＝
－(a－1)2
2(1＋a2)
≤0，∴
a
1＋a2
≤
1
2.
【答案】
a
1＋a2
≤
1
2
7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过 2 200 km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．【解析】如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那
么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为
8x
x－12
，因此，不等关系“它原来行
驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式
8x
x－12
>9来表示．
【答案】8(x＋19)>2 200
8x
x－12
>9
8．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．
【解析】∵A＝n－n－1＝
1
n＋n－1
，
B＝n＋1－n＝
1
n＋1＋n
，
∵0<n＋n－1<n＋1＋n，
∴A>B.
【答案】A>B
二、解答题
9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解】 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，根据题意需用不等式组来表示，则有
⎩⎨⎧
500x ＋600y ≤4 000，
3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *
，
即⎩⎨⎧
5x ＋6y ≤40，
3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *
.
10．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 【解】 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝1
2且z ＝1时取等号．
[能力提升]
1．已知a ≠0，b ≠0，且a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1
b 的大小关系是________． 【解析】
a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1b 2－1a 2 ＝(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
.
∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，a 2b 2>0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，
∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 【答案】 a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
2．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________.
【导学号：91730052】
【解析】 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；
当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1,
百度
百度 此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，
∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .
【答案】 M >N
3．如图3-1-2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．
(1) (2)
图3-1-2
【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S 1＝12a 2＋12b 2＝12(a 2＋b 2)，(2)
的面积S 2＝ab ，所以有12(a 2＋b 2)>ab .
【答案】 12(a 2＋b 2)>ab
4．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻
力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知
一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是
钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．
【解】 依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，
则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <1，
47＋47k ＋47k 2≥1，
(k ∈N *)．。