高中数学人教B版必修第二册4.1.1实数指数幂及其运算课件
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3.2.，3.15，3.142，3.1416，3.14160，...
中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近，从而两个序列 23.1，23.14，23.141，23.1415，23.14159，...； 23.2，23.15，23.142，23.1416，23.14160，...； 中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是2π
5 125 （2） 2 3
3 3
典型例题
例3 化简下列各式：
（1）
x y 5 2 3
1 2
x y x y
1 4
1
1 2
5 6
1 3
1 6
（2） m m1 2
m m 1 2
1 2
三、用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得. 在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“⋀”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值.如下 图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模 式下得到的结果。下面我们来求本节情境与问题中的年平均增长率。
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年 呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、202X年的年增长率分 别为16.84%，14.06%，14.26%。
你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费 支出为基础，预测202X年及以后各年的经费支出吗？
一、有理指数幂
初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32，
1 30=
5
3
1 53
1 125
一般地，an中的a称为底数 ，n称为指数
整数指数幂运算的运算法则有
aamma+n=n
，a(manm)n=
，am(abbm)m=
.
另外，a的平方根（或二次方根）：当a>0时，a有两个平方根，
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，我们可以用与上述 类似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，当a>0，t为任意实数时，可 以认为实数指数幂at都有意义. 可以证明，对任意实数s和t，类似前述有理指数释的运算法则仍然成立。
典型例题
例2 计算下列各式的值：
（1）
3 3
10
39
3.14＜π＜3.15 23.14＜2π＜23.15 3.141＜π＜3.142 23.141＜2π＜23.142 3.1415＜π＜3.1416 23.1415＜2π＜23.1416 3.14159＜π＜3.14160 23.14159＜2π＜23.14160
也就是说，两个序列
3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，...；
它们互为相反数，正的平方根记为 a ，负的平方根记为 a
；当a=0
时，a只有一个平方根，记为0
；当a＜0时，a在实数范围内没有平
方根。 9 3
例如， =
.
二次根式的运算法则有
a 2 a，a b ab， a a bb
（2）如果x3=a，则x称为a的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实 数a有且只有一个立方根，记作 3 a 。 例如，3 8 = 2 .
假设年平均增长率为x，则应该有 (1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3
从而x=3 (1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)1 15.05% 由此可预测202X年的科研和开发机构基础研究经费支出为
221.59×(1+15.05%)4≈388.24（亿元） 其他年份的预测值可用类似的方法算出.
注意，虽然我们不知道5 2 等的精确小数情势（计算器和计算机上给出的值都是
近似值），但是按照定义，我们知道5 2 的一些性质，比5如 2 5 2
等.
一般地，根式具有以下性质：
（1） n a
n a
（2）当n为奇数时，n an a； 当n为偶数时n，an a
例如，
7 27 2，4 34 3 3，5 23 5 23 8.
时仍然成立，因此，512 应该满足
1
52
2
512 2
51
5
这表示512 应该是 5 的平方跟，但是5的平方根有两个，即5 和-5 ，为了方便起 见，我们5规12 定 5 = .这样一来，尝试与发现中的问题也就解决了.
一般地，如果n是正整数，那么：当n a 有意义时，规定
1
an na
1
当 n a 没有意义时，称a n 没有意义.
asat=as+t (as)t=ast (ab)s=asbs
例如，
典型例题
例1
求证：如果a>b>0，n是大于1的自然数，那么a
1 n
＞b
1 n
证明
假设
1
an
1
bn
，即
11
a n ＜bn
11
或a n bn
根据不等式的性质与根式的性质，得
a<b或a=b.
11
这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而 a n＞bn
有歧义.
例如，862 6 82 是有意义的，而862 6 8 2
是没有意义的。因此，以后如果没有特
别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数。
负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s是正分数，as有意义且a≠0时，规 定a- s=1
as
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂）. 一般情况下，当s与都是有理数时，有运算法则：
尝试与发现
你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使 a 2 a 成为(am)n=amn的特例 ，
a b ab
成为ambm=(ab)m的特例吗？
现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算，也就是给出512 等的定义.同以前 一样，我们希望推广后，有关的运算性质仍然能保持，比如(am)n=amn在m，n都是分数
尝试与发现
类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义。
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得
则x称为a的 n次方根
。
xn=a，
例如，因为方程x4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32， 而且x5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2
例如，
1
42 4 2
27
1
3 3 27
-3
而 912 没有意义，因为 9 没有意义.
这样一来，543
1
可以看成53 4
3
54
=1
53 4
1
54
=3
，也可以看成514
3
，即
m
对于一般的正分数 n ，也可作类似规定，即
m
an
n
a
m n am
m
但值得注意的是，这个式子在n 不是既约分数（即m，n有大于1的公约数）时可能会
利用例1的结论，可以证明（留作练习）：
（1）如果a>s>0，s是正有理数，那么as>bs；
（2）如果a>1，s是正有理数，那么as>1，a-s<1；
（3）如果a>1，s>t>0，且s与t均为有理数，那么as>at
二、实数指数幂
有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂，下面我们通过一个例子来描述其中的思想。 应该怎样理解2π这个数呢
尝试与发现
根据前面的知识，猜测2π与23的相对大小，以及2π与24的相对大小 不难猜出，23＜2π＜24.
就像在计算圆的面积时，我们常常取π为3.14一样，在精度要求不高的前提下，我们可以认
为 157 2π≈22350.14=
因为π=3.141592653...是一个无理数（即无限不循环小数），我们写不出他的精确的小数情 势，但是因为3.1＜π＜3.2，所以23.1＜2π＜23.2，同样
根据方程xn=a解的情况不难看出： （1）0的任意正整数次方根均为0，记为n 0 0 . （2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根， 记为 n a ，负的方根记为-n a ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n 为偶数时n，a 在实数范围内没有意义。 （3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 n a 。而且正数的奇数数次方根是 一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数. 当 n a 有意义的时候，n a 称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近，从而两个序列 23.1，23.14，23.141，23.1415，23.14159，...； 23.2，23.15，23.142，23.1416，23.14160，...； 中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是2π
5 125 （2） 2 3
3 3
典型例题
例3 化简下列各式：
（1）
x y 5 2 3
1 2
x y x y
1 4
1
1 2
5 6
1 3
1 6
（2） m m1 2
m m 1 2
1 2
三、用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得. 在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“⋀”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值.如下 图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模 式下得到的结果。下面我们来求本节情境与问题中的年平均增长率。
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年 呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、202X年的年增长率分 别为16.84%，14.06%，14.26%。
你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费 支出为基础，预测202X年及以后各年的经费支出吗？
一、有理指数幂
初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32，
1 30=
5
3
1 53
1 125
一般地，an中的a称为底数 ，n称为指数
整数指数幂运算的运算法则有
aamma+n=n
，a(manm)n=
，am(abbm)m=
.
另外，a的平方根（或二次方根）：当a>0时，a有两个平方根，
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，我们可以用与上述 类似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，当a>0，t为任意实数时，可 以认为实数指数幂at都有意义. 可以证明，对任意实数s和t，类似前述有理指数释的运算法则仍然成立。
典型例题
例2 计算下列各式的值：
（1）
3 3
10
39
3.14＜π＜3.15 23.14＜2π＜23.15 3.141＜π＜3.142 23.141＜2π＜23.142 3.1415＜π＜3.1416 23.1415＜2π＜23.1416 3.14159＜π＜3.14160 23.14159＜2π＜23.14160
也就是说，两个序列
3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，...；
它们互为相反数，正的平方根记为 a ，负的平方根记为 a
；当a=0
时，a只有一个平方根，记为0
；当a＜0时，a在实数范围内没有平
方根。 9 3
例如， =
.
二次根式的运算法则有
a 2 a，a b ab， a a bb
（2）如果x3=a，则x称为a的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实 数a有且只有一个立方根，记作 3 a 。 例如，3 8 = 2 .
假设年平均增长率为x，则应该有 (1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3
从而x=3 (1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)1 15.05% 由此可预测202X年的科研和开发机构基础研究经费支出为
221.59×(1+15.05%)4≈388.24（亿元） 其他年份的预测值可用类似的方法算出.
注意，虽然我们不知道5 2 等的精确小数情势（计算器和计算机上给出的值都是
近似值），但是按照定义，我们知道5 2 的一些性质，比5如 2 5 2
等.
一般地，根式具有以下性质：
（1） n a
n a
（2）当n为奇数时，n an a； 当n为偶数时n，an a
例如，
7 27 2，4 34 3 3，5 23 5 23 8.
时仍然成立，因此，512 应该满足
1
52
2
512 2
51
5
这表示512 应该是 5 的平方跟，但是5的平方根有两个，即5 和-5 ，为了方便起 见，我们5规12 定 5 = .这样一来，尝试与发现中的问题也就解决了.
一般地，如果n是正整数，那么：当n a 有意义时，规定
1
an na
1
当 n a 没有意义时，称a n 没有意义.
asat=as+t (as)t=ast (ab)s=asbs
例如，
典型例题
例1
求证：如果a>b>0，n是大于1的自然数，那么a
1 n
＞b
1 n
证明
假设
1
an
1
bn
，即
11
a n ＜bn
11
或a n bn
根据不等式的性质与根式的性质，得
a<b或a=b.
11
这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而 a n＞bn
有歧义.
例如，862 6 82 是有意义的，而862 6 8 2
是没有意义的。因此，以后如果没有特
别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数。
负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s是正分数，as有意义且a≠0时，规 定a- s=1
as
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂）. 一般情况下，当s与都是有理数时，有运算法则：
尝试与发现
你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使 a 2 a 成为(am)n=amn的特例 ，
a b ab
成为ambm=(ab)m的特例吗？
现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算，也就是给出512 等的定义.同以前 一样，我们希望推广后，有关的运算性质仍然能保持，比如(am)n=amn在m，n都是分数
尝试与发现
类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义。
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得
则x称为a的 n次方根
。
xn=a，
例如，因为方程x4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32， 而且x5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2
例如，
1
42 4 2
27
1
3 3 27
-3
而 912 没有意义，因为 9 没有意义.
这样一来，543
1
可以看成53 4
3
54
=1
53 4
1
54
=3
，也可以看成514
3
，即
m
对于一般的正分数 n ，也可作类似规定，即
m
an
n
a
m n am
m
但值得注意的是，这个式子在n 不是既约分数（即m，n有大于1的公约数）时可能会
利用例1的结论，可以证明（留作练习）：
（1）如果a>s>0，s是正有理数，那么as>bs；
（2）如果a>1，s是正有理数，那么as>1，a-s<1；
（3）如果a>1，s>t>0，且s与t均为有理数，那么as>at
二、实数指数幂
有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂，下面我们通过一个例子来描述其中的思想。 应该怎样理解2π这个数呢
尝试与发现
根据前面的知识，猜测2π与23的相对大小，以及2π与24的相对大小 不难猜出，23＜2π＜24.
就像在计算圆的面积时，我们常常取π为3.14一样，在精度要求不高的前提下，我们可以认
为 157 2π≈22350.14=
因为π=3.141592653...是一个无理数（即无限不循环小数），我们写不出他的精确的小数情 势，但是因为3.1＜π＜3.2，所以23.1＜2π＜23.2，同样
根据方程xn=a解的情况不难看出： （1）0的任意正整数次方根均为0，记为n 0 0 . （2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根， 记为 n a ，负的方根记为-n a ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n 为偶数时n，a 在实数范围内没有意义。 （3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 n a 。而且正数的奇数数次方根是 一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数. 当 n a 有意义的时候，n a 称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.