2020高考数学刷题首选第二章函数导数及其应用考点测试12函数与方程文含解析

考点测试12 函数与方程
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、高等难度 考纲研读
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数
一、基础小题
1．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，那么函数g (x )＝bx 2
－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，1
2
C ．0，－12
D ．2，－1
2
答案 C
解析 由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2
－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12
.
2．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1) 答案 C
解析 由题意知，f (－1)f (1)<0，即(1－a )(1＋a )<0，解得a <－1或a >1. 3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
答案 C
解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )<0.A ，B 中不存在f (x )<0，D 中函数不连续．故选C.
4．用二分法研究函数f (x )＝x 5
＋8x 3
－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A ．(0，0.5)，f (0.125)
B ．(0.5，1)，f (0.875)
C ．(0.5，1)，f (0.75)
D ．(0，0.5)，f (0.25)
答案 D
解析 ∵f (x )＝x 5
＋8x 3
－1，f (0)<0，f (0.5)>0，
∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值为f (0.25)，故选D.
5．二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1，2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 答案 C
解析 ∵f (1)>0，f (2)<0，∴f (x )在(1，2)上必有零点，又∵函数为二次函数，∴有且只有一个零点． 6．函数f (x )＝3x ＋x 2
－2的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C
解析 函数f (x )＝3x ＋x 2－2的零点个数即为函数y ＝3x 与函数y ＝2－x 2
的图象的交点个数，由图象易知交点个数为2，则f (x )＝3x
＋x 2－2的零点个数为2，故选C.
7．已知自变量和函数值的对应值如下表：
则方程2x ＝x 2
的一个根位于区间( ) A ．(0.6，1.0) B ．(1.4，1.8) C ．(1.8，2.2) D ．(2.6，3.0) 答案 C
解析 令f (x )＝2x ，g (x )＝x 2
，因为f (1.8)＝3.482，g (1.8)＝3.24，f (2.2)＝4.595，g (2.2)＝4.84.令h (x )＝2x －x 2
，则h (1.8)>0，h (2.2)<0.故选C.
8．函数f (x )＝e x
＋2x －3的零点所在的一个区间为( ) A ．(－1，0) B ．0，12 C.12，1 D ．1，32
答案 C
解析 ∵f 12＝e 12－2<0，f (1)＝e －1>0，∴零点在1
2
，1上，故选C.
9．设函数f (x )＝x 3
－3x ，若函数g (x )＝f (x )＋f (t －x )有零点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－23，23) B ．(－3，3)
C ．[－23，23]
D ．[－3，3] 答案 C
解析 由题意，g (x )＝x 3
－3x ＋(t －x )3
－3(t －x )＝3tx 2
－3t 2
x ＋t 3
－3t ，当t ＝0时，显然g (x )＝0恒成立；当t ≠0时，只需Δ＝(－3t 2)2
－4×3t ×(t 3
－3t )≥0，化简得t 2
≤12，即－23≤t ≤23，t ≠0.综上可知，实数t 的取值范围是[－23，23]．
10．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )
A ．(a ，b )和(b ，c )内
B ．(－∞，a )和(a ，b )内
C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A
解析 易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a <b <c ，则f (a )>0，
f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a ，b )和(b ，c )内．
11．已知f (x )＝x 2
＋(a 2
－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围是________．
答案 (－2，1)
解析 函数f (x )的大致图象如图所示，则f (1)<0，即1＋(a 2
－1)＋a －2<0，得－2<a <1.故实数a 的取值范围是(－2，1)．
12．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|x 2
＋2x －1|，x ≤0，
2x －1
＋a ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．
答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12 解析 由于当x ≤0时，f (x )＝|x 2
＋2x －1|的图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2
x －1
＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x
＝－2a ，结合图形只需－2a >1⇒a <－12
即可．
二、高考小题
13．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
e x
，x ≤0，
ln x ，x >0，
g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )
A ．[－1，0)
B ．[0，＋∞)
C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C
解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x 并上下移动，可以发现当直线y ＝－x 过点A 时，直线
y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两
个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.
14．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2
－2x ＋a (e x －1
＋e
－x ＋1
)有唯一零点，则a ＝( )
A ．－12 B.13 C.1
2 D ．1
答案 C
解析 解法一：f (x )＝x 2
－2x ＋a (e
x －1
＋e
－x ＋1
)＝(x －1)2＋a [e
x －1
＋e
－(x －1)
]－1，
令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2
＋a ()e t ＋e
－t
－1.
∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t
)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．
∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点． 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝1
2.故选C.
解法二：f (x )＝0⇔a (e x －1
＋e
－x ＋1
)＝－x 2
＋2x .
e
x －1
＋e
－x ＋1
≥2 e
x －1
·e
－x ＋1
＝2，
当且仅当x ＝1时取“＝”．
－x 2
＋2x ＝－(x －1)2
＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (e
x －1
＋e
－x ＋1
)≥2a ，
要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝1
2.
若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C.
15．(2017·山东高考)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2
的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )
A ．(0，1]∪[23，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞) 答案 B
解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．
分两种情形：
(1)当0＜m ≤1时，1
m
≥1，如图①，当x ∈[0，1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；
(2)当m ＞1时，0＜1
m
＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，
即1＋m ≤(m －1)2
，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．
综上所述，m ∈(0，1]∪[3，＋∞)．故选B. 16．(2016·天津高考)已知函数
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0
(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰
有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34 答案 C
解析
要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧
3－4a
2≥0，
0<a <1，
3a ≥1，
解得13≤a ≤3
4
，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两
个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点，如图所示．
易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1
a －1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y
＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2
＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点
为(x 0，y 0)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
2－x 0＝x 2
＋(4a －3)x 0＋3a ，
－1＝2x 0＋(4a －3)，整理可得4a 2
－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34
.而当3a ≤2，
即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
34.
17．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．
答案 3
解析 ∵0≤x ≤π，∴π6≤3x ＋π6≤19π6.由题可知，当3x ＋π6＝π2，3x ＋π6＝3π2，或3x ＋π6＝5π
2
时，
f (x )＝0.解得x ＝π
9，
4π9，或7π9.故函数f (x )＝cos3x ＋π
6
在[0，π]上有3个零点． 18．(2018·天津高考)已知a >0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2ax ＋a ，x ≤0，
－x 2
＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2
个互异的实数解，则a 的取值范围是________．
答案 (4，8)
解析 设g (x )＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋ax ＋a ，x ≤0，
－x 2
＋ax －2a ，x >0，
方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解即函数y ＝g (x )有两个零点，即y ＝g (x )的图象与x 轴有2个交点，满足条件的y ＝g (x )的图象有以下两种情况：
情况一：
则⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ1＝a 2
－4a >0，
Δ2＝a 2
－8a <0，∴4<a <8.
情况二：
则⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ1＝a 2
－4a <0，Δ2＝a 2
－8a >0，不等式组无解．
综上，满足条件的a 的取值范围是(4，8)． 19．(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －4，x ≥λ，x 2
－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________；若函数f (x )恰有2个零点，
则λ的取值范围是________．
答案 (1，4) (1，3]∪(4，＋∞) 解析 当λ＝2时，不等式f (x )<0等价于
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥2，x －4<0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <2，
x 2
－4x ＋3<0，即2≤x <4或1<x <2，故不等式f (x )<0的解集为(1，4)．
易知函数y ＝x －4(x ∈R )有一个零点x 1＝4，函数y ＝x 2
－4x ＋3(x ∈R )有两个零点x 2＝1，x 3＝3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图，要使函数f (x )恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞)．
三、模拟小题
20．(2018·河南濮阳一模)函数f (x )＝ln 2x －1的零点所在区间为( ) A ．(2，3) B ．(3，4) C ．(0，1) D ．(1，2) 答案 D
解析 由f (x )＝ln 2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln 2－1<0，f (2)＝ln 4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1，2)上，故选D.
21．(2018·安徽安庆二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2，x ∈[0，1)，
2－x 2
，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝
f (x －1)，若
g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 答案 B
解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故F (x )有2个零点．故选B.
22．(2018·沈阳质检一)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，
f (x )＝
22
x
－1，则在区间(－2，6)上关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C
解析 原方程等价于y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)的图象的交点个数问题，由f (x ＋2)＝f (2－x )，可知f (x )的图象关于x ＝2对称，再根据f (x )是偶函数这一性质，可由f (x )在[－2，0]上的解析式，作出f (x )在(0，2)上的图象，进而作出f (x )在(－2，6)上的图象，如图所示．
再在同一坐标系下，画出y ＝log 8(x ＋2)的图象，注意其图象过点(6，1)，由图可知，两图象在区间(－2，6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选C.
23．(2018·郑州质检一)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
e x
－a ，x ≤0，2x －a ，x >0
(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，
则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，1]
B ．[1，＋∞) C．(0，1) D ．(－∞，1] 答案 A
解析 由于x ≤0时，f (x )＝e x
－a 在(－∞，0]上单调递增，x >0时，f (x )＝2x －a 在(0，＋∞)上也单调递增，而函数f (x )在R 上有两个零点，所以当x ≤0时，f (x )＝e x －a 在(－∞，0]上有一个零点，即e x
＝a 有一个根．因为x ≤0，0<e x
≤1，所以0<a ≤1.当x >0时，f (x )＝2x －a 在(0，＋∞)上有一个零点，即2x ＝a 有一个根．因为x >0，2x >0，所以a >0.所以函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是(0，1]，故选A.
24．(2019·贵阳模拟)已知定义在[－2，2]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋x ，－2≤x ≤－1，ln (x ＋2)，－1<x ≤2，
若g (x )＝f (x )
－a (x ＋2)的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )
A ．0，1e －1
B ．0，1
3e
C.
ln 22，1e D.2ln 23
，＋∞
答案 C
解析 ∵g (x )的图象与x 轴有3个不同的交点，∴y ＝f (x ) 与y ＝a (x ＋2)的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x ) 与y ＝a (x ＋2)的图象，如图所示，易知直线y ＝a (x ＋2)过定点A (－2，0)，斜率为a .
当直线y ＝a (x ＋2)与y ＝ln (x ＋2)相切时是一个临界状态，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝y ′＝1x 0＋2，a (x 0＋2)＝ln (x 0＋2)，解得x 0＝e －2，a ＝1e .又B (2，ln 4)，k AB ＝ln 42－(－2)＝ln 22，故ln 22≤a <1
e
.故选
C.
25．(2018·衡阳三模)已知函数f (x )＝x 2
－3x ＋134－8cos π12－x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上的所有零
点之和为( )
A ．6
B ．7
C ．9
D ．12 答案 A
解析
h (x )＝x 2－3x ＋13
4
＝x －32
2＋1的图象关于x ＝32
对称，设函数g (x )＝8cos π12
－x .由π12
－x ＝k π，可得x
＝12－k (k ∈Z )，令k ＝－1可得x ＝32，所以函数g (x )＝8cos π12－x 的图象也关于x ＝32对称．当x ＝12时，h 12＝2<g 12＝8，作出函数h (x )，g (x )的图象．由图可知函数h (x )＝x 2
－3x ＋134＝x －322＋1的图象与函数g (x )＝8cos π12－x 的图象有四个交点，所以函数f (x )＝x 2
－3x ＋134－8cos π12－x 在(0，＋∞)上的零点个数为4，
所有零点之和为4×3
2
＝6，故选A.
26．(2018·广东惠州4月模拟)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f 12＋x ＝f 1
2－x ，函数f (x ＋1)是奇函
数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－1
2
在区间[－3，5]内的所有根的和为________．
答案 4
解析 ∵函数f (x ＋1)是奇函数，∴函数f (x ＋1)的图象关于点(0，0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，即函数f (x )的图象关于点(1，0)对称，则f (2－x )＝－f (x )．
又∵f 12＋x ＝f 1
2
－x ，
∴f (1－x )＝f (x )，从而f (2－x )＝－f (1－x )， ∴f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝1
2对称．
画出函数f (x )的图象如图所示．
∴结合图象可得方程f (x )＝－12在区间[－3，5]内有8个根，且所有根之和为1
2
×2×4＝4.
27．(2018·江西上高第二中学模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 3
，x ≥0，|lg (－x )|，x <0，
则函数y ＝2f 2
(x )－3f (x )的零点
个数为________．
答案 5
解析 令y ＝2f 2
(x )－3f (x )＝0， 则f (x )＝0或f (x )＝3
2
.
函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 3，x ≥0，|lg (－x )|，x <0
的图象如图所示：
由图可得，f (x )＝0有2个根，f (x )＝32
有3个根，故函数y ＝2f 2
(x )－3f (x )的零点个数为5.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题
1．(2018·湖南衡阳八中月考)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.
(1)求g [f (1)]的值；
(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解 (1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－
2.
(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <5
4时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求实数a 的取值范围是
1，54
. 2．(2018·河北沧州一中月考)已知关于x 的二次方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围．
解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2
＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图1
所示，得⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)＝2m ＋1<0，
f (－1)＝2>0，
f (1)＝4m ＋2<0，
f (2)＝6m ＋5>0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m <－12
，
m ∈R ，m <－1
2
，
m >－56
.
即－56<m <－12
.
(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0，1)内，如图2所示，列不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)＝2m ＋1>0，
f (1)＝4m ＋2>0，
Δ＝4m 2
－4(2m ＋1)≥0，0<－m <1
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m >－1
2
，
m >－12，
m ≥1＋2或m ≤1－2，
－1<m <0，
即－1
2<m ≤1－ 2.。