(五四制) 鲁教版数学 7年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_18

定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
上面这两个定理是由三角形内角和定理直接推导出来的. 像这样，由 一个基本事实或定理直接推出的真命题，叫做这个基本事实或定理的推论 （corollary）. 推论可以当作定理使用.
例 2 已知：如图 8-15，在△ABC 中，∠B =∠C，AD 平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
分析：要证明 AD∥BC，只需证明“同位角相等”，或“内错角相等”，或 “同旁内角互补”.
证明：∵∠E A C =∠B +∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和），
∠B =∠C（已知）， ∴∠C = 12 ∠EAC（等式的基本性质）. ∵AD 平分∠EAC（已知）， ∴∠DAC = 12 ∠EAC（角平分线的定义）. ∴∠DAC =∠C（等量代换）. ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.
∵∠B = 38°，∠BAD = 40°，
∴∠ADB = 102°.
随堂练习
1. 证明：直角三角形的两个锐角互余. 2. 已知：如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠A = 60°，∠C = 70°.
求证：∠ADE = 50°.
A
D
E
B
C
（第 2 题）
53
第八章 平行线的有关证明
习题 8.7
知识技能
6
三角形内角和定理
议一议
（1）在证明三角形内角和定理时，小明的想 P 法是把三个角“凑”到顶点 A 处，他过点 A 作直
A
Q
线 PQ∥BC（如图 8-12）. 他的想法可行吗？如果可
行，你能写出证明过程吗？
（2）你还能用其他方法证明三角形内角和 B
C
是 180°吗？与同伴进行交流.
图 8-12
例 1 如图 8-13，在△ABC 中，已知∠ABC = 38°，∠ACB = 62°，AD 平
1. 证明：有两个角互余的三角形是直角三角形. 2. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥ AB，垂足为点 D.
求证：∠A =∠DCB.
D
C
A
A
D
B
（第 2 题）
B
C
（第 3 题）
数学理解
※3. 已知：如图，四边形 ABCD 是任意一个四边形. 求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360°. 本题实际上证明了如下结论：四边形的内角和等于 360°.
E
A
D
B
C
图 8-15
55
联系拓广
※4. 在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到 BC 边上的 一点 P 处（如图（1））？如果把三个角“凑”到三角形内的一点 P 处呢（如图 （2））？如果“凑”到三角形外的一点 P 处呢（如图（3））？你还能想出其他 证法吗？
A
Q
R
B
PCຫໍສະໝຸດ （1）AS
N
P
Q
R
B
MT C
（2）
（第 4 题）
S P
N
A
Q
R
MT
B
C
（3）
54
6
三角形内角和定理
△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成
A
的角，称为△ABC 的外角. 如图 8-14，∠1 是△ABC 的
2
一个外角. 你能在图中画出△ABC 的其他外角吗？
3 C
41
B
D
图 8-14
议一议
∠1 与图中的其他角有什么关系？能证明你的结论吗？与同伴进行交流.
分∠BAC. 求∠ADB 的度数.
A
解：在△ABC 中，∠B +∠C +∠BAC = 180°.
∵∠B = 38°，∠C = 62°，
∴∠BAC = 80°.
∵AD 平分∠BAC，
B
D
C
∴∠BAD =∠CAD = 12 ∠BAC = 40°.
图 8-13
在△ADB 中，∠B +∠BAD +∠ADB = 180°.