甘肃省天水一中2013-2014学年高二数学下学期第一学段考试试题 理

天水一中2012级2013——2014学年度第二学期第一学段考试
数学试题〔理科〕
一、选择题〔此题共10小题，每一小题4分，共40分. 在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕
1．c ＜d, a ＞b ＞0, 如下不等式中必成立的一个是〔 〕
A ．a+c ＞b+d
B ．a –c ＞b –d
C ．ad ＜bc
D ．d
b c a > 2．函数28(0)2x y x x
=-->的最大值是〔 〕 A ．6 B ．8 C ．10 D ．18
3.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为〔 〕
A 4)2(22=++y x
B 4)2(22=-+y x
C 4)2(22=+-y x
D 4)2(22=++y x
4.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，如此点P 的极坐标为〔 〕 A (23，π43) B (23-，π45) C (3，π45) D (-3，π4
3) 5.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θ
θ2cos 1sin 22y x 〔θ为参数〕化为普通方程是〔 〕
A 042=+-y x
B 042=-+y x
C 042=+-y x ]3,2[∈x
D 042=-+y x ]3,2[∈x
6．不等式3529x ≤-<的解集为〔 〕
A ．[2,1)[4,7)-
B ．(2,1](4,7]-
C ．(2,1][4,7)--
D ．(2,1][4,7)-
7.假设圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x 〔θ为参数〕，直线的方程为⎩
⎨⎧-=-=1612t y t x 〔t 为参数〕， 如此直线与圆的位置关系是〔 〕
A 相交过圆心
B 相交而不过圆心
C 相切
D 相离
8．函数2
20()5(0)f x x x x =+>的最小值为〔 〕 A 10 B 15 C 20 D 25
9．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为〔 〕
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
10．用数学归纳法证明“n
n n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 〞时，由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，如此必须证得右边为〔 〕
A ．
1212111+++++k k k B ．
2211212111+++++++k k k k
C ．1212121+++++k k k
D ．22112121++++++k k k
二、填空题〔本大题共4小题，每一小题4分，共16分〕
11．假设14a <<，24b -<<，如此2a －b 的取值范围是.
12.假设实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，如此222x y z ++的最小值为 13
．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，
如此AB 的中点坐标为.
14.点P 的极坐标是〔1，π〕，如此过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是.
三、解答题〔本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
15．〔本小题10分〕
a 、
b 、x 、y 均为正实数，且
a 1＞
b 1，x ＞y. 求证：a
x x +＞b y y +.
16．〔本小题10分〕
直线l 经过点P 〔1，1〕，6πα＝
倾斜角.
〔1〕写出直线l 的参数方程； 〔2〕设l 与圆422=+y x 相交于两点A 、B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积.
17．〔本小题12分〕
函数()|8||4|f x x x =---.
〔Ⅰ〕作出函数y =f 〔x 〕的图像：
〔Ⅱ〕解不等式|8||4|2x x --->.
18.〔本小题12分〕在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos ϕ y ＝b sin ϕ
(0>>b a ，ϕ为参数〕
，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．曲线C 1上的点M(1，
32 )对应的参数ϕ＝π3 ，曲线C 2过点D(1，π3 )． 〔I 〕求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；
〔II 〕假设点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋π2 ) 在曲线C 1上，求22
211
1ρρ+的值．
天水一中2012级2013——2014学年度第二学期第一学段考试
数学试题〔理科〕
一、选择题
1——5 BABAD 6——10 DBBCD
二、填空题 11.)10,2(- 12．214a 13
．(3,14.θ
ρcos 1-= 三、解答题
15．〔本小题10分〕
证法一：〔作差比拟法〕∵a x x +－b y y +=））（（b y a x ay bx ++-，又a 1＞b
1且a 、b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay. ∴））（（b y a x ay bx ++-＞0，即a
x x +＞b y y +. 证法二：〔分析法〕
∵x 、y 、a 、b ∈R +，∴要证
a x x +＞
b y y +，只需证明x 〔y+b 〕＞y 〔x+a 〕，即证xb ＞yA ． 而由a 1＞b
1＞0，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立.
16．〔本小题10分〕
解：〔1〕直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 〔2〕把直线312112
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得22231(1)(1)4,(31)2022
t t t t +++=++-= 122t t =-，如此点P 到,A B 两点的距离之积为2
17．〔本小题12分〕
解：
()()的图像如图所示
函数－－x f 8)(x 4,8)x (42x,124)(x ,4x f )1(∴⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<= 〔分段函数3分，图象3分，共6分〕
()()();
52x f 5x 2，集为由图可知，不等式的解＝时，解法一：当∞-= 448844542122242φ<≤≤>⎧⎧⎧⇒<≤<⎨⎨⎨>->->⎩⎩⎩
解法二：或或或或　x x x x x x
()5∴-∞原不等式的解集是，。

〔12分〕
18、〔本小题12分〕
解析：〔I 〕将)23,1(M 与对应的参数3
πϕ=， 代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 2
33cos 1ππb a ，即⎩⎨⎧==12b a ， 所以曲线C 1的方程为14
22
=+y x . 设圆2C 的半径为R ，由题意圆2C 的方程为2cos R ρθ=，〔或222()x R y R -+=〕. 将点(1,)3D π
代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π
=，即1R =， 〔或由(1,)3
D π
，得1(2D ，代入222()x R y R -+=，得1R =〕， 所以曲线2C 的方程为2cos ρθ=，或22(1)1x y -+=.
〔Ⅱ〕因为点1(,)A ρθ，2(,)2B π
ρθ+在曲线1C 上， 所以222
211cos sin 14ρθ
ρθ+=，222222sin cos 14
ρθρθ+=， 所以2222221211
cos sin 5(sin )(cos )444θθθθρρ+=+++=.。