2016年3月江西省六校联考数学试卷参考答案

2016年3月江西省六校联考数学试卷(理科)参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
13．10； 14．
2
10
； 15．()1,12,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦； 16．221
,2,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数
或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. （I ）14
3
5)1411(
1sin 2=
-=∠DBA ,…………（2分） A DBA A DBA A DBA BDC sin sin cos cos )cos(cos ∠-∠=+∠=∠
=7
1
231435211411-=⨯-⨯.…………（6分） （II ）设x AD =,
在ABD ∆中,
x AB ABD AD ADB AB 5
8
sin sin =⇒∠=∠, …………（9
分）
在ABC ∆中,5cos 22
2
2
=⇒∙∙-+=x A AC AB AC AB BC ,
15=∴AC .…………（12分）
18.(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
841.3556.59
50
40602575)10251550(100))()()(()(22>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K
∴有95%的把握认为“体育迷“与性别有关. …………（6分）
(2)由频率分布直方圆知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽
取一名“体育迷”的概率为4
1. 由题意X ～B(3，
1
)，从而X 的分布列为；
4
3
413)(=⨯
==np X E .…………（12分） 19. （I ） 四边形C C BB 11是菱形，0
160=∠CBB ，
∴C BB 1∆是正三角形.
取BC 的中点O ，连结1,OB OA ，则1OB BC ⊥, 又 C BB 1∆是等边三角形，
∴OA BC ⊥，
O OB OA =1 ，∴1AOB BC 面⊥，
11AOB AB 面⊂ ∴1AB BC ⊥.…………（4分）
（II ） ABC ∆和C BB 1∆是全等的正三角形，由2=AB ,可得31==OB OA , 又 61=
AB ,∴2
1221OB OA AB +=,∴OA OB ⊥1.
又 BC OB ⊥1,∴ABC OB 面⊥1.
分别以1,,OB OB OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系xyz O -，则
)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,)0,1,0(-C ,)3,0,0(1B ,)3,2,0(1-C ,
)3,2,3(1--=AC ,)0,2,0(11-=C B ,)0,1,3(--=AC ,)3,1,0(1--=C B .
设),,(z y x =是平面11AB C 的一个法向量,则
⎩⎨⎧==+--⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=∙=∙0
2032300
111y z y x C B m AC ,取)1,0,1(=,…………（6分） 设n 是平面
1CAB 的一个法向量,则
⎪⎩⎪⎨
⎧=∙=∙0
1B AC n ,取)1,3,1(-=,…………（8分） A
5
10,cos =
=
〉〈n m . ∴锐二面角11C AB C --的余弦值为
5
10
.…………（12分） 20. （I ）设M 为动圆圆心，由题意知，动点M 到定点()10，与定直线1-=y 的距离相等，点M 的轨迹为抛物线，其中()10，为焦点，1-=y 为准线，所以轨迹方程为
y x 42=.…………（4分）
（II ）设()()1122,,,A x y B x y .
(1))2(4121111+=--=
x x y K MA , )2(4
1
21222+=--=x x y K MB . 依题意，421-=+⇒-=x x K K MB MA ,
于是1)(4
1
211212-=+=--=x x x x y y K AB .
∴ 直线AB 的斜率为定值-1. …………（8分）
（2）设直线AB 的方程：y=-x+m,
⎩⎨⎧=+-=y
x m
x y 42
0442=-+⇒m x x , m x x x x 4,42121-=-=+,
1016160->⇒>+⇒>∆m m ,
又00,0,02121≤⇒≥≤≤m x x x x ，01≤<-∴m .
点M 到直线AB 的距离2
3-=m d ,
弦长m x x x x AB +=-+=
1244)(221221，
3122
1
-∙+=∙=
∆m m d AB S MAB ， 设(]0,1,)3)(1()(2
-∈-+=m m m m f ，
33
1
03103)(2'<<⇒<+-=m m m m f ，
∴f(m)在(]0,1-上单调递增，9)0()(max ==f m f ， 6=∴∆MAB S .…………（12分）
21.（I ）x
x e
x a e x x a x f )
4cos(2)sin (cos )('π
+=-= …………（2分） 令()0f x '=，由0x ≥，得42x m πππ+=-，即*3,4
x m m N π
π=-
∈， 若22242k x k πππππ-<+<+，即32244k x k ππππ-
<<+，则cos()04
x π
+>；
若3222
4
2k x k π
π
πππ+
<+
<+
，即52244k x k ππππ+<<+，则cos()04
x π+<； 因此，在区间3((1),)4m m πππ--
与3(,)44
m m ππππ-+上，()f x '的符号总相反，于是当*3,4x m m N ππ=-∈时，()f x 取得极值，所以*3,4
n x n n N ππ=-∈.……（4分） 4314
322)1()43sin()(π
ππ
ππ
π+-+--=-=n n n n e e n a x f ，易知()0n f x ≠，而 ππ
ππ
π-+-+++-++-=-=e ae
ae
x f x f n n n n n 4
314
3)1(2n 12
2)1(22(-1))()(是常数， 故数列{()}n f x 是首项为4
12
2)(π
-=ae x f ，公比为π--e 的等比数列.
[]
π
ππ
--+--=-e
e ae S n
n 1)(1224
.…………（6分） （II ）对一切1)(,≤∙∈+n n x f x N n 恒成立，即
4
32
24
3ππππ-
≤-
n e a n 恒成立，
设()(0)t e g t t t =>，则2
(1)
()t e t g t t -'=，令()0g t '=得1t =，
当01t <<时，()0g t '<，所以()g t 在区间(0,1)上单调递减；
当1t >时，()0g t '>，所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增；…………（8分） 因为(0,1)n x ∈，且当2n ≥时，1(1,),,n n n x x x +∈+∞<所以
[]{}4
21min 4)4()45(),4
(min )(),(min )(π
ππππe g g g x g x g x g n ==⎭⎬
⎫⎩⎨⎧== 因此，1)(,≤∙∈+n n x f x N n 恒成立，当且仅当4422ππe a ≤，解得4
24π
π
e a ≤，
故实数a 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎝⎛∞-424,π
πe .…………（12分） 22. 解：连结BP ，∵四边形ABCP 内接于圆，
∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA
∴PCD ∆∽BAD ∆∴BD PD BA PC =又∵AB AC =∴
BD PD
PC =
AC …………（5分） （2）连结BP ,∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB
又∵四边形ABCP 内接于圆 ∴∠ACB=∠APB
从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD
∴PAB ∆∽BAD ∆ ∴
AD AB
BA PA = ∴2AB AD AP =⋅ 又∵AB=AC=3 ∴2
AB AD AP =⋅=92=AC …………（10分）
23. （I ）曲线3C 的直角坐标方程为03222=-+x y x ，
联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+0
3202222
2
x y x y y x ，解得⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==2
323
00y x y x 或. 所以2C 与3C 交点的直角坐标为)2
3
,23(
),0,0(.…………（5分） （II ）曲线1C 的极坐标方程为）（0,≠∈=ρραθR ，其中πα≤≤0.
曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=,因此A 的极坐标为),sin 2(αα,B 的极坐标为
),cos 32(αα.所以ααcos 32sin 2-=AB =)3
sin(4πα-,
当46
5max ==
AB 时，π
α. …………（10分） 24. （I ）⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>-≤≤-+-<-=.21,4,213,23,3,4)(x x x x x x x f
3)(>∴x f 的解集为⎪⎭
⎫
⎝⎛1,
31;…………（5分）
（II ）1230)(-≥+⇔≥x a x x f ,
2
1
=x 时，R a ∈， 21≠
x 时,⎥⎦
⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈-+≤1,2121,1,123min x x x a .
[)+∞⋃⎥⎦
⎤ ⎝⎛
-∞-∈-+=-+,432,122721123x x x , 3
2
123min =-+∴
x x ,∴32≤a . …………（10分）。