第5课时 圆的方程
冀教版六年级数学上册全册教案：第5课时圆的面积(3)
冀教版六年级数学上册全册教案：第5课时圆的面积（3）第5课时圆的面积（3）教学目标：l.结合具体事例,经历解决已知圆的周长求圆面积的实际问题的过程2.能灵活运用圆的周长、圆的面积公式解决简单的实际问题。
3.感受数学在生活中的广泛应用,获得解决问题的成功体验。
教学重点：培养综合运用知识的能力。
教学难点：培养综合运用知识的能力。
教具学具准备：半径为10厘米的圆纸片、剪刀、半圆仪。
教学过程：一、复习l.半径是2厘米,直径是多少?圆周长是多少?圆面积是多少?2.半径是多少?直径是5分米,圆周长是多少分米?圆面积是多少分米?二、新授（一）问题情境1．师生讨论引出蒙古包，教师贴出图片让学生观察。
提出：你能想到哪些和数学有关的问题，给学生充分的发表不同问题的机会。
师：同学们，在草原上有一种非常特别的房子，你们知道叫什么吗？生：蒙古包。
师：对，蒙古包。
看，老师带来了一张蒙古包的图片。
图片贴在黑板上。
师：观察这个蒙古包，你都想到了哪些和数学有关的问题？学生可能会说：这个蒙古包是个圆形的。
这个蒙古包占地面积是多少呢？这个蒙古包有多高呢？这个蒙古包的直径是多少呢？这个蒙古包能住几个人呢？……2．提出：要计算蒙古包的占地面积，怎么办？师生讨论，得出：测量直径不好测，可以测量出周长，再计算占地面积。
教师给出周长数据。
师：如果要计算蒙古包的占地面积，怎么办？生：测量出蒙古包的直径，就能计算出它的占地面积。
师：对。
测量出直径就能求出它的面积。
大家来观察这个图片，这个蒙古包的直径好测量吗？生：不好测量。
师：对，从外面没法测量。
从里面测量一方面屋子里有东西不好量，另外也不容易测量准确。
测量直径不行，还有其它方法吗？生：测量出周长。
师：对，周长容易测。
草原上的人们也想到了这个办法，他们测量出蒙古包的周长是18.84米。
板书：周长18.84米。
(二)解决问题1．提出：已知周长，怎样求蒙古包的占地面积？学生讨论，理清思路后，自主计算。
人教版中职数学基础模块下册《圆的方程》教学设计 (一)
人教版中职数学基础模块下册《圆的方程》教学设计 (一)人教版中职数学基础模块下册《圆的方程》是中职数学重要的一个内容。
在教学过程中，需要让学生掌握圆的基本知识，理解圆的性质和方程的求解方法等，为应用数学、高等数学等其他课程的学习打下基础。
在此，我们将对这一内容进行教学设计，以期更好地完成教学任务。
一、教学目标1. 掌握圆的基本概念、性质和方程的求解方法；2. 理解圆相关的数学基础知识，如直线方程、两点间距离等；3. 懂得如何应用圆的方程解决相关问题；4. 培养学习数学的基本功，如推理证明、计算技巧和思维能力等。
二、教学内容1. 圆的定义和性质；2. 圆心和半径的概念；3. 圆的一般式和标准式的转化；4. 圆与直线的位置关系；5. 圆的直径、切线等。
三、教学方法1. 讲授与演示相结合；2. 以问题为中心，引导学生积极思考和讨论；3. 调动猜测和验证的机制，激发学生学习兴趣；4. 反复实验，强化及巩固学生记忆。
四、教学过程1.取一张大圆形，引出圆的基本概念和性质，教师按下面的问题向学生提问：（1）通过长短、透明、镜面、发声等多种方式，让学生感性认识圆形。
（2）直观讲解“圆周角相等，半径相等则等等”等多个性质。
2. 引入圆的方程，提出圆心和半径的概念，通过演示解法，引导学生理解：圆的一般式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$圆的标准式：$x^2+y^2=r^2$求圆心和半径的公式：$x=-\frac{b}{a}$， $y=-\frac{c}{a}$，$R=\sqrt{a^2+b^2-c}$3、教学解决圆与直线位置关系，演示解法，引导学生理解：（1）判别式法：求出圆心到直线的距离。
（2）解析法：将直线方程代入圆的一般式并化简。
（3）差化积法：将圆的一般式变形后代入直线方程。
4. 关于圆的直径、切线等，演示解法，引导学生理解。
特别是在讲解圆的切线时，教师可以采取“对话式”教学，即引导学生自己分析，如：（1）圆上的任意一点P的切线K满足什么条件？（2）因为直线K垂直于半径OP，因此可以先求出OP的斜率，再根据斜率公式求出直线K的斜率，并得出切线的斜率之后，即可得出切线的方程，推导完毕后，教师可以通过实验和讲解加深学生对于切线的理解。
圆的一般方程 课件
1．圆的一般方程
(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心
为
_
_
_
_C__(－___D2_，__－__E2_)_
_
_
_
_
_
，
半
径为
r
＝
_
_
1 _2_
_ _D_2_＋_ _E_2_－_ _4_F_ .
( 2 ) 说 明 ： 方 程 x 2 ＋ y 2 ＋ D x ＋ E y ＋ F ＝ 0 不 一 定 表 示 圆 ． 当 且 仅 当 _ _D_2_＋_ _E_2_－_ _4_F_>_ _0_ _ 时 ， 表 示 圆 ： 当 D 2 ＋ E 2 － 4 F ＝ 0 时 ， 表 示 一 个 点 _ _ (_－_ _D2_ _，_ _－_ _E2_)_ _ _ _ _ _ ； 当 D 2 ＋ E 2 － 4 F < 0 时 ，
D＝－2
，解得E＝2
.
16＋25＋4D－5E＋F＝0
F＝－23
∴△ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
忽视圆的方程成立的条件
已知点 O(0,0)在圆 x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0 外，求 k 的取值 范围.
[错解] ∵点 O(0,0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得 k＞12或 k＜－1.∴k 的取 值范围是(－∞，－1)∪(12，＋∞)．
解法二：设点 M 的坐标为(x，y)，连接 OC、PC，取线段 OC 的中点 A，连 接 MA.
圆 C 的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心 C(4,3)，|CP|＝2. 则点 A 的坐标为(2，32)．
人教版五年级数学上册 第5单元 简易方程第5课时 方程的意义
50＋50＝100
这是一个等式。
天平正好平衡 。
空杯子重100g。
一杯水有多重？ 怎样表示水水的重x量g？。
（100＋x）g
100＋x＞100
100＋x＞200
100＋x＜300
100＋x＝250
你能用一个式子表示图中的等量关系吗？
x元
x元
x元
2.4元 3x＝2.4
你能根据这些式子的特点进行分吗？
50＋50＝100 100＋x＝250
100＋x＞100 100＋x＜300
100＋x＞200 3x＝2.4
50＋50＝100 100＋x＝250
3x＝2.4 等式
100＋x＞100 100＋x＞200 100＋x＜300
不等式
50＋50＝100 100＋x＝250
3x＝2.4 等式
在这些等式中，有的含有 未知数，有的不含未知数。
等式
方程
巩固运用
(教材P63 做一做T1)
1. 下面哪些式子是方程？
35＋65＝100
5x＋32＝47 方程
x－14＞72 28＜16＋14
y＋24
6（y＋2）＝42 方程
(教材P63 做一做T2)
2. 看图列方程。
xg xg
50 g
x
73
166
2x＝50
x＋73＝166
3.根据下面的数量关系列出方程。
（1）x与3的和是16。 x＋3＝16
（2）x的5倍与20相等。 5x＝20
课堂小结
同学们，今天的数学课你 们有哪些收获呢?
课后作业
完成 本课时的习题。
像100＋x＝250， 3x＝2.4……这样，根据等量关 系列出的含有未知数的等式是方程。
圆的一般方程 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
2
0
2
2
7 2
4
2
整理得( x - ) + ( y - 2) = .
3
9
7 2
4
2
∴点M的轨迹方程为( x - ) + ( y - 2) = .
3
9
•
1
O
4
x
小结
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(直接法)
例题小结
方法总结：
求动点轨迹方程的常用方法：
（1）代入法：找到所求动点与已知动点的关系，带入已知
动点所在方程；
（2）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。
课堂练习
【巩固训练】已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,
点M在直线AB上, 且满足 AM = 2 MB , 求点M的轨迹方程.
D 2
E 2 D 2 + E 2 - 4F
(x + ) + ( y + ) =
.
2
2
4
(1)当D2+E2-4F>0时,
D E
表示以( - 2 ,- 2
)为圆心,以(
①
1
D 2 + E 2 - 4F
2
)为半径的圆
D E
D
E
2
2
(2)当D +E -4F=0时,方程只有一组解 x = - ，y = - ，表示一个点( - 2 ,- 2
(1) x 2 + y 2 - 6 x = 0 ;
第5课时 圆的标准方程
第5课时圆的标准方程学习目标：1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程.一、自主学习阅读课本相应内容，并完成下列问题：1．圆的标准方程(1) 圆的定义：在平面内，到的距离等于的点的叫圆．(2) 确定一个圆最基本的要素是和．(3) 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中为圆心，为半径．2．点和圆的位置关系点M(m，n)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判定方法如表：3.(1) 确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2) 方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()5. 给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为()A．4x－y＝0B．4x＋y＝0 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝06.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_____________．7. 已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)与圆的位置关系是________．二、问题探究探究1求下列各圆的标准方程．(1) 圆心在原点，半径为2；(2) 圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5,1)；(3) 以P1(1,2)，P2(－3,4)为直径的端点．变式：已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，求圆C的标准方程．探究2已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(－3,3)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．求圆C的标准方程．变式：已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的方程．探究3已知两点M(3,8)和N(5,2)，圆C以MN为直径．(1) 求圆C的方程；(2) 试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式：已知点A(3,5)，B(7,2)，圆C以AB为直径．(1) 求圆C的标准方程；(2) 已知点53,2P⎛⎫-⎪⎝⎭，若点Q在圆C上，求P Q的最大值和最小值．三、课堂小结四、课堂检测1．圆心在y x=上，过原点及点（0，2）的圆的标准方程为_________________.2. 已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标，分别是A（5，6），C（3，-4），则此圆的标准方程是_______________.3. 圆心为（1，-2）半径为y轴上截得的弦长为___________________.。
圆的标准方程优秀教案
圆的标准方程【教课目的】（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；（2）掌握圆的标准方程，并能依据方程写出圆心的坐标和圆的半径；（3）能依据所给条件，经过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。
【教课重难点】圆的标准方程及其运用。
圆的标准方程的推导和运用。
【教课过程】一、问题情境1．情境：河北赵州桥是世界上历史最悠长的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们可否表示出该圆弧所在圆的方程呢？2．问题：在表示方程从前我们应当先观察有没有坐标系？假如没有坐标系，我们应当如何成立坐标系？如何找到表示方程的等式？二、学生活动回想初中相关圆的定义，如何用方程将圆表示出来？三、建构数学1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆P(x, y) 的标准方程：一般地，设点 P( x, y) 是以 C (a, b) 为圆心， r 为半径的圆上的C ( a, b) O随意一点，则 |CP | r ，由两点间距离公式，获得：(x a)2 (y b)2 r 即( x a)2 ( y b)2r 2 （1） ；反过来，若点 Q 的坐标 ( x 0 , y 0 ) 是方程 (1) 的解，则 ( x 0 a)2 ( y 0 b) 2 r 2 ，即 ( x 0 a) 2 ( y 0 b)2 r ，这说明点 Q ( x 0 , y 0 ) 到点 C (a, b) 的距离为 r 即点 Q 在以 C (a,b) 为 圆心， r 为半径的圆上；2．方程 (x a)2 (y b)2 r 2 (r 0) 叫做以 (a,b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点 (0,0) 时，圆的方程则为 x 2y 2r 2 (r 0) ；特别地，圆心在原点且半径为１的圆往常称为单位圆；其方程为 x 2 y 2 1四、数学运用1．例题：例 1．分别说出以下圆方程所表示圆的圆心与半径：（2） ( x 2)2( y 3)27； （ ） ( x 5) 2 ( y 4) 2 182（3）x 2( y 23（ ） 2 y 21441)4 x （5） ( x 4)2y 24解：（以下表）方程圆心半径( x 2) 2 ( y 3)2 7 (2,3)7 ( x 5)2 ( y 4) 2 18 ( 5, 4) 3 2x 2 ( y 1)2 3 (0, 1)3x 2y 2 144(0,0) 12( x 4) 2 y 2 4(4,0)2例 ．（ ）写出圆心为 A(2, 3)，半径长为 5 的圆的方程，并判断点 M (5, 7)，N( 5, 1)21能否在这个圆上；（2）求圆心是 C (2,3) ，且经过原点的圆的方程。
圆的一般方程(优质课)
解：[方法二]
P O
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
x2 + y 2 - m = 0 x + y -1 = 0
Q
2x - 2x + (1 - m) = 0
2
同理y1 y2 = 1- m 2
1- m x1 x2 = 2
OP OQ
x1 x2 + y1 y2 = 0 (2)
将
2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2 2
它表示以
D E , 2 2
为圆心,
D + E 4 F 以 r= 2
为半径的圆;
2
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
62 - 4 (-9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例 例3：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x + 1) + y = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
练习
x + y - 8x - 6 y + 21 = 0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D 2 + E 2 - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
人教版六年级上册数学教案-第5单元第5课时圆的面积
人教版六年级上册数学教案第5单元第5课时圆的面积教案内容：一、教学内容今天我要给大家讲解的是人教版六年级上册数学的第5单元第5课时，主要内容是圆的面积。
在这一节课中，我们将学习圆的面积的计算方法，以及如何应用这些知识解决实际问题。
二、教学目标通过这一节课的学习，我希望同学们能够掌握圆的面积的计算方法，并且能够灵活运用这些知识解决实际问题。
同时，我也希望同学们能够培养自己的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点本节课的重点是圆的面积的计算方法，难点是如何理解并应用这些计算方法解决实际问题。
四、教具与学具准备为了帮助同学们更好地理解圆的面积的计算方法，我准备了一些教具和学具，包括圆的模型、计算器和一些实际的圆形的物品。
五、教学过程1. 实践情景引入：我会拿出一个圆形的物品，让同学们观察并思考，他们能否计算出这个圆的面积。
2. 讲解圆的面积的计算方法：我会利用教具和学具，向同学们讲解圆的面积的计算方法，并且会给同学们一些例题，让他们通过观察和思考，理解并掌握这些计算方法。
3. 随堂练习：在讲解完例题之后，我会给同学们一些随堂练习题，让他们通过实际操作，巩固所学的知识。
4. 作业布置：我会给同学们布置一些作业，让他们在课后进一步巩固所学的知识。
六、板书设计在讲解圆的面积的计算方法时，我会利用板书，清晰地展示计算步骤，帮助同学们更好地理解和记忆。
七、作业设计1. 题目：计算下面圆的面积。
圆的直径：10cm答案：圆的面积为78.5平方厘米。
2. 题目：一个圆的半径是8cm，求这个圆的面积。
答案：这个圆的面积为200.96平方厘米。
八、课后反思及拓展延伸通过这一节课的学习，我发现同学们对圆的面积的计算方法掌握得比较好，但在解决实际问题时，还有一些同学会遇到一些困难。
在今后的教学中，我将继续强调实际问题的解决方法，让同学们能够更好地应用所学的知识。
同时，我也会给同学们提供一些拓展延伸的材料，让他们在学习的过程中，不断提高自己的思维能力和解决问题的能力。
【部编版小学数学】第5课时用字母表示数的应用(2)
第5单元简易方程第5课时用字母表示数的应用（2）【教学内容】：教材P59例5及练习十三第5、6、7、8题。
【教学目标】：知识与技能：1．在实际情境中理解用字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示复杂数量关系。
2．在探索数量关系的过程中，体会用字母表示数的优越性，感受数学的简洁美。
3．渗透不完全归纳思想和代数思想，培养符号化意识，提高概括能力。
过程与方法：经历用字母表示数来解决生活中实际问题的过程，掌握用字母表示复杂数量关系的方法。
情感、态度与价值观：在学习活动中，感受生活中处处都有数学，体验数学知识的应用价值，培养学生解决实际问题的能力，增强学习的信心。
【教学重、难点】重点：理解用字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示复杂数量关系。
难点：用字母表示应用题中的复杂数量关系。
【教学方法】：设置数学问题，引导学生练习。
在练习中体验、交流、感悟。
【教学准备】：多媒体、小棒。
【教学过程】一、游戏导入抓小棒的游戏。
1．明确操作要求：同学们每次抓的小棒根数是老师抓的3倍。
2．教师分别抓1根、3根、7根小棒，学生抓出相应的根数。
在此基础上提问：怎样求出你应抓的根数？3．教师抓一大把时，问：你和你的同桌一共抓几根呢？当a= 60时，你们小组的同学一共抓几根？当a等于200时呢？二、探索新知教材第59页例5。
1．摆三角形所用小棒的根数。
(1)教师：摆1个三角形需要几根小棒？摆2个、3个、4个呢？指名学生回答：摆1个三角形需要3根小棒，摆2个需要6根，摆3个需要9根……教师：你能发现什么规律？小组讨论并派出代表发言。
引导学生得出所用的小棒的根数是摆的三角形个数的3倍。
(2)教师：假如摆x个三角形，需要几根小捧？学生：3x根。
教师：x表示什么？这儿的x可以是哪些数？学生小组交流，教师指名汇报。
(3)教师：当x等于6时，就是摆了几个三角形？需要几根小棒？当x 等于20时呢？学生小组讨论交流。
2．摆正方形所用小棒的根数。
湘教版数学九年级上册教学课件 一元二次方程的解法(第5课时)
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
于是得
r1
5 2
1
,
r2
5 1 2
(舍去).
答：小圆形场地的半径是 5 m.
2 1
课堂小结
概念
因 式 分 原理 解 法
步骤
将方程左边 因式分解， 右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
3.解方程：
1 3x2 6x 3； 2 4x2 121 0.
解：化为一般式为
解：因式分解，得
x2－2x+1 = 0. ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
因式分解，得
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
解： 10x-4.9x2=0.
49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2－4ac
x
50 49
2
50 49
x1
11, 2
x2
11. 2
x1=x2=1.
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地 面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
五年级【数学(人教版)】实际问题与方程(第5课时)教学设计
课程基本信息课题实际问题与方程（第5课时）教科书书名：义务教育教科书数学五年级上册出版社：人民教育出版社学习目标学习目标：1.了解两个物体相向运动的过程，理解两个物体相向运动的数量关系，能找到等量关系列方程，解决相关的实际问题。
2.经历找等量关系列方程解决问题的过程，感受列方程解决问题的特点，提高解决实际问题的能力，渗透模型思想。
3.体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。
学习重点：理解两个物体相向运动的数量关系，列方程解决问题。
学习难点：理解两个物体相向运动的数量关系。
教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟一、情境引入，导入新课师：看到这个信息，你能联想到什么？预设1：路程＝速度×时间，3分钟就能骑750m。
预设2：时间＝路程÷速度，要骑一条1000m的路，小林需要骑4分钟。
8分钟二、解决实际问题（一）阅读与理解师：从图中了解了哪些信息？师：看到这些信息，你有什么困惑或问题?预设：相向而行是什么意思？师：你是怎么理解相向而行的？预设1：相向而行就是两人面对面骑行。
预设2：当两个人相遇时，一共骑行了4.5km。
（二）分析与解答1.用你喜欢的方式表示小林和小云的运动过程。
汇报交流。
预设1：用手模拟运动的过程。
左边表示小林的家，右边表示小云的家，他们分别从自己家同时出发。
面对面骑行，两人之间的距离越来越近，最终相遇。
这时，4.5km正好骑完。
预设2：画图表示，但相遇地点不符合题意。
预设3：画图表示，相遇地点符合题意。
预设：相遇时，小林骑了几分钟，小云也骑了几分钟，两人的骑行时间一样。
师：两人同时出发，相遇时骑行的时间是一样的，这个时间也就是相遇时间。
师：对比这两幅图，你们有什么想说的？预设：相遇点的位置不一样。
相遇时两人骑行的时间一样，小林的速度比小云快，骑的路程就比小云多。
引导学生在分析中了解两个物体相向运动的过程，理解两个物体相向运动的数量关系。
高中数学湘教版选择性必修第一册课件：圆的标准方程
(2 + 3 + 2)2 + ( + 5)2 ,解得 a=-2.∴圆
2
2
心为 C(-1,-2),半径长 r= (-1-2) + (-2 + 3) = √10.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
-3-(-5)
(方法 2)线段 AB 的中点坐标为(0,-4),直线 AB 的斜率 kAB=
线上.
-5-(-3)
由 kAB=
-2-2
1
= 2,则线段 AB 中垂线的斜率为 k=-2.又线段 AB 的中点坐标
为(0,-4),因此线段 AB 的中垂线的方程为 y+4=-2x.
2
2
令 y=0,得 x=-2,即圆心坐标为 C(-2,0),所以 r=|CA|= [2-(-2)] + (-3) =5,
的方程;几何法、代数法判断点与圆的位置关系.
3.常见误区:求圆的标准方程时,依据题意恰当地运用圆的几何性质解题,可
以化繁为简,提高解题效率,而使用待定系数法则运算较为复杂.圆的标准
方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,圆心是(a,b),半径为r>0.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2022吉林长春第二中学高二检测)已知圆C 的圆心坐标为(2,3),且过原点,
圆的图示
圆是平面内到一定点的距离等于 定长
的所有的点组成的
圆的定义 集合,这个定点即圆心,而定长就是半径
这些点构成了圆的圆周
r>0
2+(y-b)2=r2
(x-a)
圆的标准 圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程
,把它叫
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案【篇一：《圆的标准方程》教学设计】《圆的标准方程》教学设计（教师用）成都市洛带中学刘德军一、教材分析学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。
圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。
二、学情分析学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
三、教学目标(一)知识与技能目标（1）会推导圆的标准方程。
（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。
（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。
(二)过程与方法目标（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。
（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
(三)情感与态度目标圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．四、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。
2、难点：圆的标准方程的应用。
3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
五、教学过程首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。
《圆的标准方程》课件5 (北师大版必修2)
思考4:经过一个点、两个点、三个点分 别可以作多少个圆？ 思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
y r A o x
理论迁移 例1 写出圆心为A（2，-3），半径 长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）， 求它的外接圆的方程. y A
o C B
x
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
y
程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
作业： P120练习： 1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
思考5:我们把方程 ( x a) ( y b) r 称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的 标准方程，那么确定圆的标准方程需要 几个独立条件？
2 2 2
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆 称为单位圆，那么单位圆的方程是什 么？ x2+y2=r2
思考7:方程 ( x a) ( y b) r ， 2 2 2 2 2 ( x a) ( y b) r ，( x a) ( y b) m 是圆方程吗？
第四章 4.1 4.1.1
圆与方程 圆的方程 圆的标准方程
问题提出 1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？ 圆心和半径 2.直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
【部编版小学数学】第5课时圆环的面积
第5课时圆环的面积学习目标：1.掌握圆环和“外方内圆”、“外圆内方”图形的面积的计算方法，并能正确计算圆环的面积。
2.运用圆的面积计算公式解决一些实际问题，培养自己主动探索解决问题的能力。
学习重难点：掌握圆环面积的计算方法。
学具准备：旧光盘、古建筑图片。
使用说明与学法指导：自学教材P68、69的内容，然后结合学具和组内成员一起探究圆环的面积计算方法，把在合作探究过程中还存在的疑问提交全班共同解决。
带★的可以选做。
知识储备1．填空（1）一个圆的面积扩大9倍，周长扩大（）倍。
（2）将一个半径是5厘米的圆，平均分成32等份，通过剪拼等活动，摆成一个近似的长方形，这个长方形的长是（）厘米，宽是（）厘米。
（3）周长相等的正方形和圆比较，（）的面积大。
（4）有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，小圆与大圆周长的比是（），小圆与大圆面积的比是（）。
2．一个圆形喷水池的周长是62.8米，这个水池的占地面积是多少平方米？自主与合作学习（一）自学教材P68的内容。
（二）拿出准备的光盘观察，1．光盘的面积是( )的面积，求它的面积的方法是（）。
2．解决问题光盘银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米，它的面积是多少平方厘米？（1）自主列式解答（2）组内展示自己的方法后，归纳总结圆环的面积计算方法：3．一个环形铁片，内圆半径是6厘米，环宽是4厘米，求这个环形铁片的面积？外圆半径是（）厘米，根据圆环的面积计算方法列式计算为：自学教材P69例3的内容，然后结合学具和组内成员一起探究“外方内圆”、“外圆内方”的面积计算方法。
问：图中的两个圆半径都是1米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？阅读理解：“外方内圆”求的是（）比（）多的面积。
“外圆内方”求的是（）比（）多的面积。
分析解答：左图右图达标检测1．判断（1）在同一个圆内，两条半径就是一条直径。
（）（2）在一个大圆内剪去一个小圆就形成了一个圆环。
（）（3）任意一个圆环，都有无数条对称轴。
五年级上册数学教案-第5单元《第5课时解方程(3)》人教版
五年级上册数学教案第5单元《第5课时解方程(3)》人教版一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材第5单元的第5课时，即解方程(3)。
这一课时主要引导学生进一步掌握解方程的方法和技巧，培养学生的逻辑思维和解题能力。
具体内容包括：1. 理解并掌握方程的解的概念；2. 学会使用代数方法解方程；3. 能够运用解方程的方法解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握解方程的方法，能够熟练运用代数方法解一元一次方程；2. 过程与方法：通过合作交流、探究学习，培养学生解决问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：理解并掌握方程的解的概念，学会使用代数方法解方程；2. 教学重点：能够运用解方程的方法解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：笔记本、练习本、文具盒。
五、教学过程1. 情景引入：通过一个实际问题，引发学生对解方程的兴趣；2. 讲解与演示：讲解解方程的方法和步骤，并在黑板上进行演示；3. 练习与讨论：学生独立练习解方程，并与同学进行讨论交流；4. 巩固与应用：通过解决实际问题，巩固所学知识，并提高学生的应用能力。
六、板书设计1. 解方程的步骤：设定未知数、列出方程、求解方程、检验解；2. 解方程的方法：代数方法、图形方法、试错方法等。
七、作业设计1. 请解下列方程：(1) 2x + 5 = 15；(2) 3x 7 = 2x + 4；(3) 5(x 2) = 2(3x + 1)。
2. 解方程的实际应用：某商店进行打折活动，原价为100元，打折后价格为80元，折扣是多少？八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生进一步学习解方程的其他方法，如图形方法、试错方法等，提高学生的解题能力。
重点和难点解析一、教学内容的深入理解1. 方程的解的概念：我会在课堂上强调方程的解是指能够使方程成立的数值，并且通过具体的例子让学生理解和解方程的过程。
圆与圆的位置关系
第5课: 圆与圆的位置关系一．学习目标二．知识梳理圆与圆位置关系的判定1. 圆与圆的位置关系有几种，各有几条公切线，分别画出来？（1）几何法：设圆两圆的圆心距设为d ，半径分别为r ，R ，（R>r ）则当d R r >+时，两圆 当d R r =+时，两圆 当R r d R r -<<+ 时，两圆 当时，两圆 当d R r <-时，两圆d R r =-（2）设两圆的方程分别为221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=，两圆作差得公共弦所在直线，将直线方程代入其中任一圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，则当0∆<时，圆与圆 ；当0∆=时，圆与圆 ；当0∆>时，圆与圆 。
三．典例分析例1．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离例2.已知圆221:2610C x y x y ++-+=和圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长．例3．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条四．练习题1．若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞D ．(25,9)(11,)--+∞ 2．已知圆()()221:111C x y +++=，圆()()222:349C x y -+-=，A 、B 分别是圆1C 和圆2C 上的动点，则AB 的最大值为（ ）A 4B 4C 4D 4 4．圆2250x y 与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（ ）A BC ．D ． 3．已知圆1C ：()221x a y -+=和2C ：222240x y by b +-+-=恰好有三条公切线，则的最小值（ ）A ．1B ．2C ．2D ．44．若直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A ．12 B ．4 C ．9 D ．145．当曲线1y =与直线330kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,25⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．122,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣7．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D ．728．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．2- 9．已知直线:(0)l y kx k =≠与圆22:230C x y x +--=相交于A ，B 两点．（1）若||AB =k ；（2）在x 轴上是否存在点M ，使得当k 变化时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0，若存在，求出点M 的坐标：若不存在，说明理由．10．已知圆C 的方程为：224x y +=．（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于,A B 两点，若AB =l 的方程；（2）圆C 上有一动点()00,M x y ，()00,ON y =，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．。
《圆的标准方程》课件5 (北师大版必修2)
思考8:方程 y 4 ( x 1) 与 y 4 ( x 1) 表示的曲线分别是什么？
2
2
知识探究二：点与圆的位置关系 思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种 位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆 的位置关系？
A O OA<r O OA=r A O A
OA>r
第方程
问题提出 1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？ 圆心和半径 2.直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
知识探究一：圆的标准方程
思考4:经过一个点、两个点、三个点分 别可以作多少个圆？ 思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
y r A o x
理论迁移 例1 写出圆心为A（2，-3），半径 长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）， 求它的外接圆的方程. y A
o C B
x
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
y
l A C x
o B
小结作业
(1)圆的标准方程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
作业： P120练习： 1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0， 2 2 2 ( x a) ( y ，如何判 b) r y0)和圆C： 断点M在圆外、圆上、圆内？ (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
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(6) 圆的参数方程
圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为
x r cos y r sin
为参数
圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为
x a r cos y b r sin
为参数
②圆的一般方程与二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系； 二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0， B=0 ，D2+E2-4AF>0。 二、问题讨论
(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过 定点； (2)求与圆相切的直线方程；
(3)求圆心的轨迹方程。
[思维点拔]：本题是含参数的圆的方程，与圆 的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定 的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时， 方程表示圆的集合，即圆系。解本题(1)可用分 离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可 用配方法求解。 一般地，过两圆C1：f(x，y)=0与C2：g(x，y)=0 的交点的圆系方程为： f(x，y)+λg(x，y)=0(λ为参数)。
y
M O B C x
备用题： 例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上 运动，以OM、ON为两边作平行四边形 MONP，求点P的轨迹。
[思维点拔]：求与圆有关的轨迹问题，充分利 用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上 点之间的关系或动点所满足的几何条件。
例 6 、 已 知 圆 的 方 程 是 ： x2+y2-2ax+2(a2)y+2=0，其中a≠1，且a∈R。
两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比 为定值 a(a 0) ，求P点的轨迹。 【评述】上述解法是直接由题中条件，建立 方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程 的方法称圆与y轴相切，圆 心在直线 x 3 y 0上，且直线 y x 截圆所得 的弦长为 2 7 ，求此圆的方程。 【评述】求圆的弦长方法
2 2
2
(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中 点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端 点。（用向量法证之）
（4）半圆方程： y r 2 x a 2 b, y c bx x 2 d (5)圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线 l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( λ≠-1)该方程不包括圆C2； （ 1时为一条直线方程，相交两圆时 为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称 轴方程）
（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构 成直角三角形的三边
(1 k 2 )[ x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 ] （2）代数法：用弦长公式
例4、已知⊙O的半径为3，直线 l 与⊙O相切， 一动圆与 l 相切，并与⊙O相交的公共弦恰 为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。 【点评】建立适当的 坐标系能使求轨迹方 程的过程较简单、所 求方程的形式较“整 A 齐” .
三、课堂小结
1、求圆的方程：主要用待定系数法，有两种求 数，一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和 半径；二是利用圆的一般方程求出系数D、E、 F的值。
2、已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程， 用经过两圆交点的圆系方程简捷。 3、解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用 圆的几何性质，简化运算。
4、与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选 择适当方法（如直接法、定义法、动点转移法 等），有时还需要结合运用其他方法，如交轨 法、参数法等。
圆 的 方 程
高三备课组
一、内容归纳 1. 知识精讲.
①圆的方程 (1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r 为圆的半径，(a，b)为圆心。 (2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)， 1 D E D 2 E 2 4F 其中圆心为 ( , ) ，半径为，
例1、根据下列条件，求圆的方程。 (1)和圆x2+y2=4相外切于点 P(-1， 3 )，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线 2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3) 两点，且在y轴上截得的线段长为 4 3 ，求圆的 方程。
[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般 方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程， 应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半 径的条件，选用标准式，否则选用一般式。 例2(优化设计P112例1)设 A(c,0), B(c,0)(c 0)为