三年高考(2017-2019)理数真题分项专题12数列Word版含解析

专题12 数列
1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-
B ．
310n a n =-
C ．2
28n S n n =-
D ．2
122
n S n n =
- 【答案】A
【解析】由题知，415
144302
45d S a a a d ⎧
=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，2
4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142
111
15
34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2
a q =⎧⎨
=⎩，2
314a a q ∴==，故选C ．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2
+b ，n *∈N ，则
A ． 当101
,102
b a =
> B ． 当101
,104
b a =
> C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->
【答案】A
【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *
=∈N .
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.
4．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10
D ．12
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243
332224222d d d ⨯⨯⎛
⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭
， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．
【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d ,的关系，从而求得结果.
5．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>
D ．1324,a a a a >>
【答案】B
【解析】令()ln 1,f x x x =--则()1
1f x x
'=-
，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.
若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()
212341110,a a a a a q q +++=++≤但
()()
2
12311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦
，即()12341230l n a a a a a a a +++≤<++，不合题意；
因此()210,0,1q q -<<∈，22
113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥
6．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11
2724,61548a d a d +=⎧⎨
+=⎩解得4d =，故选C ． 【秒杀解】因为166346()
3()482
a a S a a +=
=+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．
【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若
m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.
7．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数
学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330
C ．220
D ．110
【答案】A
【解析】由题意得，数列如下：
1
1,1,2,
1,2,4,1,2,4,
,2k
-
则该数列的前(1)
122k k k ++++=
项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=++++++
+=-- ⎪⎝⎭
，
要使
(1)
1002
k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分
和，设1212221t t k -+=++
+=-，
所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数2930
54402
N ⨯=
+=，故选A. 【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 8．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏
D ．9盏
【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数
列的求和公式有
7(12)
38112
x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．
9．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【答案】A
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2
326a a a =，即
()
()()2
12115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()
()6166166166122422
S a d ⨯-⨯-=+
=⨯+⨯-=-.故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.
（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
10．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即
4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．
【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．
11．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
1461
3
a a a ==，，则S 5=___________．
【答案】
121
3
【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
12．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则
10
5
S S =___________． 【答案】4
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,
因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，
所以
105S S =1111109
1010024542552
a d a a a d ⨯+
==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
13．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，
S n 的最小值为___________． 【答案】 0，10-. 【解析】等差数列
{}
n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差
321d a a =-=,5320a a d =+=,
由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
14．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，
则8S 的值是___________． 【答案】16
【解析】由题意可得：()()()25811191470
98
9272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩
，则8187
840282162S a d ⨯=+
=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方
程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.
15．【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．
【答案】63-
【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以
(
)66126312
S --=
=--，故答案是63-.
【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令
1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的
变形方向即可得结果.
16．【2018年高考北京卷理数】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为___________．
【答案】63n a n =-
【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，， 【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
17．【2018年高考江苏卷】已知集合*
{|21,}A x x n n ==-∈N ，*
{|2,}n
B x x n ==∈N ．将A
B 的所
有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27
【解析】所有的正奇数和()
2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16
个正奇数，即56
21382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，
2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，
4510<12=60
S a =，不符合题意；……；当n =26时，
()275
2621221(141)441625032121=2516S a ⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，
()85
27221222(143)21484+62=546>12=542
0S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的
最小值为27.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
18．【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S
==∑___________．
【答案】
21
n n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123
43
4102
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=⨯+⨯=， 裂项可得
1211
2()(1)1
k S k k k k ==-++， 所以
11111
11122[(1)()()]2(1)223111
n
k k
n
S n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
19．【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．
【答案】8-
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
1212
131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②
，由②
①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3
418a a q ==-．
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
20．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知36763
44
S S ==,，则
8a =___________．
【答案】32
【解析】当1q =时，显然不符合题意；
当1q ≠时，316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩
，解得1142a q ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
21．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则
2
2
a b =___________． 【答案】1
【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么2213
12
a b -+==． 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大
部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 22．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，
1434n n n b b a +-=-.
（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =
+-，11
22
n n
b n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111
()2
n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为
1
2
的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，11
2
n n n a b -+=
，21n n a b n -=-． 所以111
[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，
111[()()]222
n n n n n n b a b a b n =+--=-+．
【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.
23．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若
12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，
，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．
（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；
（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最
小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1
个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．
【答案】(1) 1,3,5,6（答案不唯一）；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一） （2）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.
由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.
因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12
,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，
所以0p m r a a ≤.
所以00m n a a <·
（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.
先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,
,,21m p p p a a a m --是数列
{}
n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则
121,,
,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.
再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.
假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .
因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯
⨯⨯⨯=<个
.
与已知矛盾.
最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.
假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m
.与已知矛盾.
综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.
所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨
-⎩为奇数，为偶数.
【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
24．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知
1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,
1,,
k k n k
k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(
){}
221n n a c -的通项公式； （ii ）求
()2*
1
n
i i
i a c n =∈∑N ．
【答案】（1）31n a n =+；32n
n b =⨯（2）（i ）()
221941n n n a c -=⨯-（ii ）
()()2*
21
1*
1
272
5212
n
n n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2
662,
6124,
q d q d =+⎧⎨
=+⎩解得3,2,
d q =⎧⎨
=⎩故14(1)331,6232n n
n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．
所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．
（2）（i ）()()()()
22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}
221n n a c -的通项公式为()
221941n n n a c -=⨯-． （ii ）
()()22221
1
1
1
211n n n
i
i
n
i i
i
i
i
i
i i i i a c a a c a a c
====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑
()
()
12212439412n n
n n
i i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭
∑
(
)
(
)21
1
41432
52
914
n n n n ---=⨯+⨯+⨯
--
()211*
2725212
n n n n --=⨯+⨯--∈N ．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．
25．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.
（1）已知等比数列{a n }()n *
∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；
（2）已知数列{b n }()n *
∈N 满足:11
1221,
n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *
∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟
成立，求m 的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()
*
n ∈N ；②5.
【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.
由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440
a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．
因此数列{}n a 为“M—数列”.
（2）①因为
1
122
n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得2
122
1
1b =
-，则22b =. 由1122
n n n S b b +=-，得112()
n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()
111122n n n n
n n n n n b b b b b b b b b +-+-=
---，
整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n (
)*
n ∈N .
②由①知，b k =k ，*k ∈N .
因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1
k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .
当k =1时，有q ≥1；
当k =2，3，…，m 时，有
ln ln ln 1
k k
q k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则2
1ln ()x
f 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：
因为
ln 22663=<=，所以max ()(3)3
f k f ==．
取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln k
q k
…，即k k q ≤， 经检验知1
k q
k -≤也成立．
因此所求m 的最大值不小于5．
若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15
≤216，
所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．
【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
26．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2
）记,n c n *=
∈N
证明：12+.n c c c n *++<∈N
【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得
11124,333a d a d a d +=+=+，
解得10,2a d ==．
从而*
22,n a n n =-∈N ． 所以2*
n S n n n =-∈N ，，
由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得
()
()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++．
解得()2
121n n n n b S S S d
++=
-． 所以2*
,n b n n n =+∈N ．
（2
）*n c n =
==∈N ． 我们用数学归纳法证明．
（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；
（ii ）假设()
*n k k =∈N
时不等式成立，即12k c c c +++<．
那么，当1n k =+时，
121k k c c c c +++++<<
<==．
即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii
），不等式12n c c c ++
+<对任意*n ∈N 成立．
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算
求解能力和综合应用能力.
27．【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．
所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
28．【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
【答案】（1）1(2)n n a -=-或1
2n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.
由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.
故1(2)n n a -=-或12n n a -=.
（2）若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n n S --=.由63m S =得(2)188m
-=-，此方程没有正整数解.
若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m
=，解得6m =.
综上，6m =.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.
29．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数
列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2
+n ．
（1）求q 的值；
（2）求数列{b n }的通项公式．
【答案】（1）2q =；（2）2
1
15(43)()
2
n n b n -=-+⋅.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.
由35
20a a +=得18()20q q
+=， 因为1q >，所以2q =.
（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .
由11,1,, 2.
n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.
由（1）可知1
2n n a -=，
所以1
11(41)()2
n n n b b n -+-=-⋅，
故2
11(45)()
,22
n n n b b n n ---=-⋅≥，
11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+
+-+-
23111
(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.
设22
1113711()(45)(),2222
n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，
2211111137()(49)()(45)()22222
n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以221
11111344()4()(45)()22222
n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，
因此2
114(43)()
,22
n n T n n -=-+⋅≥，
又11b =，所以2
115(43)()2
n n b n -=-+⋅.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
“
”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等
于1两种情况求解.
30．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数
列．
（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；
（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，
并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】（1）75
[,]32
；（2）见解析.
【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． （1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532
d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75
[,]32
．
（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．
若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，
即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，
即当2,3,
,1n m =+时，d 满足11
11211
n n q q b d b n n ---≤≤--．
因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，
从而11201n q b n --≤-，1
101
n q b n ->-，对2,3,
,1n m =+均成立．
因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,
,1n m =+均成立．
下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1
{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）
． ①当2n m ≤≤时，111 2222
111()()()
n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==
---， 当1
12m
q <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．
因此，当21n m ≤≤+时，数列12
{}1n q n ---单调递增，
故数列12{}1n q n ---的最大值为
2
m q m
-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．
当2n m ≤≤时，1
11112111
()()()n
n n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1
{}1n q n --单调递减，
故数列1{}1n q n --的最小值为
m
q m
． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m m
b q b q m m
-．
31．【2018年高考天津卷理数】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *
∈N ，{}n b 是等差
数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *
∈N ，
（i ）求n T ；
（ii ）证明2
21()22()(1)(2)
2n n
k k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑
N . 【答案】（1）1
2n n a -=，n b n =；（2）（i ）122n n T n +=--；（ii ）见解析.
【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
（1）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得2
20q q --=.
因为0q >，可得2q =，故1
2n n a -=.
设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =
所以，数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =
（2）（i ）由（1），有122112
n
n n S -=
=--，故 111
2(12)
(21)22212n n
n
k
k
n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.
（ii ）证明：因为
1121
2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，
所以，3243
212
21
()2222222()()()2(1)(2)3243212
n n n n
k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑
. 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
32．【2017年高考天津卷理数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *
∈N ，{}n b 是首项为2的等比数
列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *
∈N ．
【答案】（1）32n a n =-，2n
n b =；（2）
1328
433
n n +-⨯+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．
由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以2
60q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2n
n b =．
由3412b a a =-，可得138d a -= ①． 由114=11S b ，可得1516a d += ②，
联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．
所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n
n b =．
（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，1
2124n n b --=⨯，有221(31)4n
n n a b n -=-⨯，
故23
245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯，
23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
上
述
两
式
相
减，得
2
3
1
12(14)
324343434(31)4
4(314
n n
n n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯=---
-111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328
433n n n T +-=
⨯+． 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328
433
n n +-⨯+． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 33．【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.
（1）求数列{x n }的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .
【答案】（1）1
2
n n x -=；（2）(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【解析】（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.
由题意得112
1132
x x q x q x q +=⎧⎨
-=⎩，所以2
3520q q --=， 因为0q >,所以12,1q x ==，
因此数列{}n x 的通项公式为1
2.n n x -=
（2）过123,,,P P P …，1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q …，1n Q +,
由(1)得111222.n n n n n x x --+-=-=
记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以
123n T b b b =+++…+n b
=101325272-⨯+⨯+⨯+…+3
2(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①，
又012
2325272n T =⨯+⨯+⨯+…+2
1(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②，
①-②得12
1132(222)(21)2n n n T n ----=⨯+++
+-+⨯
=1132(12)
(21)2.212n n n ---+
-+⨯- 所以(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 34．【2017
年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：
11
1
1n k n k n
n
n
k n k
a a
a a a
a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是
“()P k 数列”．
（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-
122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =
所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．
（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③
n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④
将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,
a a a 是等差数列，设其公差为d'．
在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．
【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得
n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得
21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证
起始项也满足即可． 35．【2017
年高考北京卷理数】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s
个数中最大的数．
（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，
n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）
111110,
c b a =-=-=
21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，
3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.
当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,
,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.
所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.
（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则
12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.
所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，
①当10d >时，取正整数2
1
d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,
m m m c c c ++是等差数列.
②当10d =时，对任意1n ≥，
1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--
此时，123,,,,,
n c c c c 是等差数列.
③当10d <时， 当2
1
d n d >
时，有12nd d <. 所以
1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n
-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--
对任意正数M ，取正整数121122
11
||max{
,}M b d a d d d m d d +-+-->-，
故当n m ≥时，
n
c M n
>. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生. 36．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．
证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；
（2）2x n +1− x n ≤
1
2
n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212
n -．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，
那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．。