专题4.7 山东省菏泽市(母题解读)-2018中考数学真题之名师立体解读高端精品(解析版)

【母题来源】山东省菏泽市2018年中考数学试卷第20题
【母题原题】如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b 经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．
（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；
（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．
（2）将y=x﹣2代入y=﹣，整理得：x2﹣2x+6=0，
∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式＞kx+b的解集为x＜0．
【命题意图】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，解题的关键是：（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标找出点C、D的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
【方法、技巧、规律】解决与函数相关的问题时，要结合图形进行解答，而且对于有待定系数时，要考虑可能出现的情况.一次函数与反比例函数问题中有时会出现几何图形问题.反比例函数与一次函数、三角形、四边形等的综合运用，充分利用各种图形的性质，表示出关键点的坐标及对应线段的长度是关键，灵活运用反比例函数性质，解答此类题目
【母题1】已知A （﹣4，2）、B （n ，﹣4）两点是一次函数y =kx +b 和反比例函数m
y x
=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式0m
kx b x
+-
>的解集．
【答案】（1）y =﹣x ﹣2，8
y x
=-
；（2）6；（3）x ＜﹣4或0＜x ＜2．
（3）由图可得，不等式0m
kx b x
+-
>的解集为：x ＜﹣4或0＜x ＜2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式． 【母题2】已知：如图，一次函数y =﹣2x +1与反比例函数k
y x
=
的图象有两个交点A （﹣1，m ）和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为（0，﹣2），连接DE ．
（1）求k的值；
（2）求四边形AEDB的面积．
【答案】（1）-3；（2）21 4
．
【分析】（1）根据一次函数y=﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），即可得到点A的坐标，再根据反比例函
数
k
y
x
的图象经过A（﹣1，3），即可得到k的值；
（2）先求得AC=3﹣（﹣2）=5，BC=3
2
﹣（﹣1）=
5
2
，再根据四边形AEDB的面积=△ABC的面积﹣△CDE
的面积进行计算即可．
点睛：本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是掌握：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
【母题3】已知一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x =的图象交于第一象限内的P （1
2
，8），Q （4，m ）两点，与x 轴交于A 点．
（1）分别求出这两个函数的表达式； （2）写出点P 关于原点的对称点P '的坐标； （3）求∠P 'AO 的正弦值．
【答案】（1）4
y x
=
，y =﹣2x +9；（2）P '的坐标为（12-，﹣8）；（3．
【分析】（1）根据P （12，8），可得反比例函数解析式，根据P （1
2
，8），Q （4，1）两点可得一次函数解析式；
（2）根据中心对称的性质，可得点P 关于原点的对称点P '的坐标；
（3）过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，构造直角三角形，依据P 'D 以及AP '的长，即可得到∠P 'AO 的正弦值．
（2）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（1
2
-
，﹣8）；
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；解直角三角形．
母题二统计与概率问题
【母题来源】山东省菏泽市2018年中考数学试卷第21题
【母题原题】为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）
（1）依据折线统计图，得到下面的表格：
其中a= 8 ，b= 7 ；
（2）甲成绩的众数是8 环，乙成绩的中位数是7 环；
（3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；VD：折线统计图；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．
【分析】（1）根据折线统计图即可得；
（2）根据众数的定义可得；
（3）求出甲乙两人成绩的方差，方差小者成绩稳定；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，利用概率公式计算可得．
（4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：
∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况，
∴恰好选到1男1女的概率为=．
【命题意图】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了概率公式．【方法、技巧、规律】在近五年中考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,从分值上看,从3分到7分不等；这部分内容目前来说知识基础中的基础，生活中，概率应用也是很广，尤其是对某些事情的推断，对某些数据的统计，都需要用到，首先要学着去初步理解初中数学概率初步的思维方式，根据中考考试要求来掌握这部分知识：1.计算简单事件概率的方法，重点学习了两种随机事件概率的计算方法，第一种，只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种，通过列表法、列举法、树形图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如配紫色，对游戏是否公平的计算．2.利用频率估计概率，分为如下两种情况：第一种，利用实验的方法进行概率估算；第二种，利用模拟实验的方法进行概率估算．如利用计算器产生随机数来模拟实验的方法．3.体会大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系，通过设计简单的概率模型．重在对事件发生可能性的刻画，来帮助人们在不确定的情境中做出合理的决策，如通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型．
【母题1】小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
【答案】（1）50；（2）108°；（3）1
2
．
【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；
（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【母题2】某校为了推进学校均衡发展，计划再购进一批图书，丰富学生的课外阅读．为了解学生对课外阅
读的需求情况，学校对学生所喜爱的读物：A．文学，B．艺术，C．科普，D．生活，E．其他，进行了随机抽样调查（规定每名学生只能选其中一类读物），并将调查结果绘制成以下不完整的统计图表．
（1）a= ，b= ，请补全条形统计图；
（2）如果全校有2500名学生，请你估计全校有多少名学生喜爱科普读物；
（3）学校从喜爱科普读物的学生中选拔出2名男生和3名女生，并从中随机抽取2名学生参加科普知识竞赛，请你用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）80，64；（2）750；（3）3 5．
【分析】（1）由E类型的人数及其百分比求得总人数，总人数乘以A类型百分比可得其人数，在用总人数减去其余各组人数得出D类型人数，即可补全条形图；
（2）用总人数乘以样本中C类型所占比例即可得；
（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据概率公式求解可得．
【解析】（1）∵抽查的总人数为：32÷10%=320人，∴a=320×25%=80人，b=320﹣80﹣48﹣96﹣32=64人；补全条形统计图如下：
故答案为：80，64；
考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【母题3】为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）参加音乐类活动的学生人数为人，参加球类活动的人数的百分比为；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整；
（3）该校学生共600人，则参加棋类活动的人数约为；
（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别用F，G，H表示），先准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）7，30%；（2）作图见解析；（3）105；（4）1
2
．
【分析】（1）先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；（2）根据（1）中所求数据即可补全条形图；
（3）总人数乘以棋类活动的百分比可得；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
（2）补全条形图如下：
考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
母题三关于圆的切线的证明与计算问题
【母题来源】山东省菏泽市2018年中考数学试卷第22题
【母题原题】如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD 度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE2=EF×ED；
【命题意图】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【方法、技巧、规律】圆与相似形综合问题，证明三角形相似不是最终目的，利用相似三角形的对应边成比例计算某些线段的长才是此类问题的真正目的，最后都落脚于计算图中线段问题上，均是这一种模式的应用，由此我们还可以进
【母题1】如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）PB =PE ；（3 【分析】（1）证明△AEC ∽△ACB ，列比例式可得结论；
（2）如图2，证明∠PEB =∠COB =∠PBN ，根据等角对等边可得：PB =PE ；
（3）如图3，先确定线段PQ 的最小值时Q 的位置：因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，先求AE 的长，从而得PB 的长，最后利用勾股定理求OP 的长，与半径的差就是PQ 的最小值．
（3）如图3，∵N 为OC 的中点，∴ON =12OC =12
OB ，Rt △OBN 中，∠OBN =30°，∴∠COB =60°，∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∵Q 为⊙O 任意一点，连接PQ 、OQ ，因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A =
12∠COB =30°，∴∠PEB =2∠A =60°，∠ABP =90°﹣30°=60°，∴△PBE 是等边三角形，Rt △OBN 中，
BN ，∴AB =2BN =设AE =x ，则CE =x ，EN =﹣x ，Rt △CNE 中，2222)x x =+-，
x ，∴BE =PB =Rt △OPB 中，OP ，∴
PQ ﹣4PQ ．
点睛：本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，第三问有难度，确定PQ 最小值时Q 的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相结合，解决问题．
考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．
【母题2】如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．
（1）求证：DH 是圆O 的切线；
（2）若A 为EH 的中点，求EF FD
的值； （3）若EA =EF =1，求⊙O 的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）23
；（3． 【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB =∠OBD =∠ACB ，则DH ⊥OD ，DH 是圆O 的切线；
（2）如图2，先证明∠E =∠B =∠C ，则H 是EC 的中点，设AE =x ，EC =4x ，则AC =3x ，由OD 是△ABC 的中位线，得：OD =12
AC =32x ，证明△AEF ∽△ODF ，列比例式可得结论； （3）如图2，设⊙O 的半径为r ，即OD =OB =r ，证明DF =OD =r ，则DE =DF +EF =r +1，BD =CD =DE =r +1，证明△BFD ∽△EF A ，列比例式为：EF BF FA DF =，则111r r r
+=-，求出r 的值即可．
（3）如图2，设⊙O 的半径为r ，即OD =OB =r ，∵EF =EA ，∴∠EF A =∠EAF ，∵OD ∥EC ，∴∠FOD =∠EAF ，则∠FOD =∠EAF =∠EF A =∠OFD ，∴DF =OD =r ，∴DE =DF +EF =r +1，∴BD =CD =DE =r +1，在⊙O 中，∵∠BDE =∠EAB ，∴∠BFD =∠EF A =∠EAB =∠BDE ，∴BF =BD ，△BDF 是等腰三角形，∴BF =BD =r +1，∴AF =AB ﹣BF =2OB ﹣BF =2r ﹣（1+r ）=r ﹣1，在△BFD 和△EF A 中，∵∠BDF =∠EF A ，∠B =∠E ，∴△BFD ∽△EF A ，
∴EF BF FA DF =，∴111r r r +=-，解得：r 1，r 2，综上所述，⊙O ．
点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r ，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
考点：圆的综合题；压轴题．
【母题3】如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =12cm ，BD =16cm ，动点N 从点D 出发，沿线段DB 以2c m /s 的速度向点B 运动，同时动点M 从点B 出发，沿线段BA 以1c m /s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t （s ）（t ＞0），以点M 为圆心，MB 长为半径的⊙M 与射线BA ，线段BD 分别交于点E ，F ，连接EN ．
（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．
【答案】（1）BF=8
5
t（0＜t≤8）；（2）t=
32
7
；（3）0＜t≤
32
7
或
40
9
＜t＜8．
【分析】（1）连接MF．只要证明MF∥AD，可得BM BF
BA BD
=，即
1016
t BF
=，解方程即可；
（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，可得BE BN
OB AB
=，即
2162
810
t t
-
=，解方程即可；
（3）①由题意可知：当0＜t≤32
9
时，⊙M与线段EN只有一个公共点．②当F与N重合时，则有
8
5
t+2t=16，
解得t=40
9
，观察图象即可解决问题；
（3）①由题意可知：当0＜t≤32
9
时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
②当F与N重合时，则有8
5
t+2t=16，解得t=
40
9
，关系图象可知，
40
9
＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个
公共点．
综上所述，当0＜t≤32
7
或
40
9
＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
点睛：本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．学会用构建方程的思想思考问题．属于中考压轴题．
考点：圆的综合题；分类讨论；动点型；压轴题．
母题四几何综合问题
【母题来源】山东省菏泽市2018年中考数学试卷第23题
【母题原题】问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD 沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．
操作发现：
（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形．
（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）先判断出∠ACD=∠BAC，进而判断出∠BAC=∠AC'D，进而判断出∠CAC'=∠AC'D，即可的结论；（2）先判断出∠CAC'=90°，再判断出AG⊥CC'，CF=C'F，进而判断出四边形ACGC'是平行四边形，即可得出结论；
（3）先判断出∠ACB=30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出结论．
（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAD=∠ACB，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°
在图3中，由旋转知，∠DAC'=∠DAC，
∴∠ACB=∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'=90°，
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴∠CAC'=90°，
由旋转知，AC=AC'，
∵点F是CC'的中点，
∴AG⊥CC'，CF=C'F，
∵AF=FG，
∴四边形ACGC'是平行四边形，
∵AG⊥CC'，
∴▱ACGC'是菱形，
∵∠CAC'=90°，
∴菱形ACGC'是正方形；
【命题意图】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出∠CAC'=90°是解本题的关键．
【方法、技巧、规律】四边形问题主要涉及平行四边形、矩形、菱形、正方形等，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要三角形的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.
【母题1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．
（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO =15°，BP =4，请求出BQ 的长．
【答案】（1）BQ =CP ；（2）成立：PC =BQ ；（3）4．
【分析】（1）结论：BQ =CP ．如图1中，作PH ∥AB 交CO 于H ，可得△PCH 是等边三角形，只要证明△POH ≌△QPB 即可；
（2）成立：PC =BQ ．作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．证明方法类似（1）；
（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，
EF a ，在Rt △PCE 中，表示出PC ，根据PC +CB =4，可得方程4a ++=，求出a 即可解决问题；
【母题2】如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC
出线段AD和DF的长．
【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC BE；（2）AD=，DF．
【分析】（1）①结论：BC=BD．只要证明△BGD≌△BHC即可．②结论：AD+AC=BE．只要证明
AD+AC=2AG=2EG，再证明EB BE即可解决问题；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD
≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH，AD的长，由sin∠ACH=AK BH
AC BC
=，推出AK的长，设FG=y，则
AF=﹣y，BF，由△AFK∽△BFG，可得AF AK
BF BG
=，可得关于y的方程，求出y即可解决
问题．
②结论：AD+AC．
∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，
EG=BE•cos30BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴
AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG BE，∴AD+AC．
考点：相似三角形的判定与性质；几何变换综合题；探究型；压轴题．
【母题3】△OP A和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．
（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；
（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．
【答案】（1）EP=EQ；（2）成立；（3）150°．
【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；
（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．
点睛：此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出CE=DQ，解（3）的关键是判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，是一道中等难度的题目．
考点：几何变换综合题；变式探究；探究型；压轴题．
母题五二次函数综合问题
【母题来源】山东省菏泽市2018年中考数学试卷第24题
【母题原题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；
（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，
设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y=mx+n，
，得，
即直线AB的函数解析式为y=﹣x﹣5，
当x=p时，y=﹣p﹣5，
∵OB=5，
∴△ABP的面积是：S==，
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，
∴﹣5＜p＜0，
∴当p=﹣时，S取得最大值，此时S=，点p的坐标是（，﹣），
即点p的坐标是（，﹣）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是．
【命题意图】本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
【方法、技巧、规律】弄清题目中所涉及的概念，熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看可知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论。

综合使用分析法和综合法，运用方程的思想，，使用分类讨论的思想，运用数形结合的思想，运用转化的思想。

【母题1】如图，已知直角坐标系中，A 、B 、D 三点的坐标分别为A （8，0），B （0，4），D （﹣1，0），点C 与点B 关于x 轴对称，连接AB 、AC ．
（1）求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交线段CA 于点M ，连接P A 、PB ，设点E 运动的时间为t （0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式，并求出四边形PBCA 的最大面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使得△ABH 是直角三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）217422y x x =-++；（2）S =﹣8t 2+32t +32，当t =2时，S 有最大值，且最大值为64；（3）H
（7
2
，11），（
7
2
）．
【分析】（1）由于A（8，0），D（﹣1，0），故设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣8），将B（0，4）代入即可求得a，进而求得抛物线的解析式为；
（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；
若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△P AB的面积可由（1
2
PQ•OA）求得，
在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值；
（3）根据已知条件得到∠HAB＜90°，①当∠ABH=90°时，求得直线AB：y=﹣1
2
x+4，直线BH：y=2x+4，
于是得到H（7
2
，11），②当∠AHB=90°时，过B作BN⊥对称轴于N，则BN=
7
2
，AG=
9
2
，设对称轴交x
轴于G，根据相似三角形的性质得到HN
（负值舍去），于是得到H（
7
2
）．
（3）存在，∵抛物线的对称轴为：x=
18
2
-+
=
7
2
，∵直线x=
7
2
垂直x轴，∴∠HAB＜90°，①当∠ABH=90°
时，由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣1
2
x+4，所以，直线BH可设为：y=2x+h，代入B（0，4），
得：h=4，∴直线BH：y=2x+4，当x=7
2
时，y=11，∴H（
7
2
，11），②当∠AHB=90°时，过B作BN⊥对称
轴于N，则BN=7
2
，AG=
9
2
，设对称轴交x轴于G，∵∠AHG=∠HBN=90°﹣∠BHN，∠BNH=∠AGH=90°，
∴△AHG∽△BHN，∴AG HG
HN BN
=，∴
9
2
7
2
HG
HN
=，∴HN（HN+4）=
63
4
，∴4（HN）2+16HN﹣63=0，解
得：HN
（负值舍去），∴H（
7
2
），综上所述，H（
7
2
，11），（
7
2
）．
点睛：本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
考点：二次函数综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；存在型；分类讨论；压轴题．
【母题2】如图，抛物线2
2y ax bx =+-的对称轴是直线x =1，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣2，0），点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ． （1）求抛物线解析式；
（2）若点P 在第一象限内，当OD =4PE 时，求四边形POBE 的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
【答案】（1）211242y x x =
--；（2）338；（3）当N （92，﹣14）或（4.6，45）或（5。