斯托克斯公式的应用
§1-5斯托克斯定律及其应用
§1-5 斯托克斯定律及其应用
z离心分离可以提纯线粒体、染色体、溶酶体以及一些病 毒等亚细胞物质，还可以用超速离心法分离脱氧核糖核酸 等生物大分子。离心分离法已成为生物科学研究的重要手 段。
离心分离：利用高速离心的方法使物质分离的方法
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
图1—14是离心机的原理图，图中O为转轴，B、C为离心
可以写成 G=F+f，
4 πr 3 ρg
3
=
4 πr 3 ρ ' g
3
+
6πηrvt
由此得到
η = 2(ρ − ρ / )gr 2
9vt
（1-20）
通过对vt、r、ρ、ρ/各量的测量，就可以算出粘滞流体 的粘滞系数η。若已知粘滞系数η，根据（1-20）则可测
出小球体的半径。1911年，著名的密里根油滴实验就是用
这一公式测出了油滴的半径，从而求出电子的电荷。这种
方法还可用来做土壤的颗粒分析。
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
密立根
Millikan,RobertAndrews（1868～1953 年）美国物理学家。1910～1917年，应用 带电油滴在电场和重力场中运动的方法， 精确测定单个电子的荷电量，从而确定了 电荷的不连续性这就是著名的密立根油滴 实验。1916年曾验证爱因斯坦的光电效应 公式，并测定普朗克常数。在宇宙射线方 面也做了一些工作。
加速度 ω 2 x 是重力加速度g的几
十万倍，这时重力的作用完全可
以忽略。
C O
x
粒子 ω
图1—14离心机原理图
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
斯托克斯定理(流体)：球体在黏性流体中运动的阻力公式
斯托克斯定理（流体）：球体在黏性流体中运动的阻力公式一、引言斯托克斯定理是物理学中关于流体力学的重要定理之一。
它描述了一个球体在黏性流体中运动时所受到的阻力的公式。
本文将介绍斯托克斯定理的基本原理和推导过程，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
二、斯托克斯定理的基本原理斯托克斯定理是19世纪早期英国物理学家乔治·斯托克斯提出的。
它基于流体力学的基本方程，通过对流体的流动进行数学建模，进而推导出了球体在黏性流体中运动时所受到的阻力公式。
在黏性流体中，流体的流动可以用流体速度场来描述。
设流体速度场为V(r)，其中r为流体中的一个点。
根据流体力学的基本方程，可以得到流体中的速度场满足的方程为：∇·V = 0其中∇为梯度算子。
对于一个运动中的物体，其速度场可由以下公式给出：V(r) = V0 + ω×r其中V0为物体的整体运动速度，ω为物体的角速度，r为物体上的一个点。
接下来，我们考虑一个球体在黏性流体中的运动。
假设球体的半径为R，球心处的速度为V0，球体的角速度为ω。
我们可以将球体分解为无限多个微小的体积元素，每个体积元素的体积为dV。
根据斯托克斯定理，球体所受到的阻力可以通过对每个体积元素的贡献进行累加来得到。
由于流体的黏性，流体中的每个体积元素都会对周围的流体产生粘接力。
粘接力的大小与体积元素的速度梯度成正比。
根据流体力学的基本方程和牛顿第二定律，可以推导出球体所受到的阻力为：F = 6πηRV0其中F为球体所受到的阻力，η为流体的黏性系数，R为球体的半径，V0为球体的速度。
三、斯托克斯定理的应用斯托克斯定理在流体力学的研究中具有广泛的应用。
它可以用于解释流体中物体的运动特性，从而帮助科学家和工程师进行流体力学相关问题的分析和设计。
例如，在船舶设计中，斯托克斯定理可以用来计算船体在水流中的阻力，从而帮助设计师优化船体的形状和尺寸，提高船体的运动性能。
同样，在飞机设计中，斯托克斯定理可以应用于计算飞机在空气中的阻力，从而优化飞机的气动外形，提升飞机的飞行效率。
10-7斯托克斯公式 环流量和旋度
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯公式的使用条件:
条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时
斯托克斯公式建立了沿曲面S 的曲面积分与沿S的边界曲线L 的曲线积分之间的联系.
对曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设人站在曲面S 上的指定一侧，沿边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
斯托克斯公式:
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。
设是具有边界曲线的有向曲面，的边界曲线的正向这样规定：使这个正向与有向曲面的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线称为有向曲面的正向边界曲线．
设为空间的一条分段光滑的有向曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则．函数在曲面(连同边界)上具有连续的一阶偏导数，则
称为斯托克斯公式。
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
stockes公式
stockes公式斯托克斯公式（Stokes' theorem）是向量分析中的重要定理，其在流体力学、电磁学、机械等领域具有广泛应用。
它是高斯定理的推广形式，用于描述一个封闭曲面上的向量场与曲面的边界曲线上的向量场之间的关系。
斯托克斯公式可以通过从微积分和向量微积分的角度进行解释，本文将从数学的角度出发来详细介绍斯托克斯公式。
在数学中，斯托克斯公式是一个用于计算曲面上的向量场的环绕曲线的环量的公式。
设有一个光滑曲面S，边界为曲线C，以及一个向量场F，斯托克斯公式可以写作如下形式：∮C F·dr = ∬S (curl F)·dS其中，C为曲线C的参数方程，r为路径C上的参数，dr为路径的微小位移，F为一个三维向量场，S为曲面S的参数方程，dS为曲面元素的面积，curl F为向量场F的旋度。
在应用斯托克斯公式进行实际计算时，常常需要用到curl F的分量表示。
设向量场F=<P,Q,R>，则向量场F的旋度为：curl F = ∇ × F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中∇是nabla算子（也叫向量微分算子），∂/∂x表示对x求偏导数。
斯托克斯公式是由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）于19世纪中叶提出的，它的重要性在于它将微积分中的定积分扩展到了曲面的积分，从而可以描述旋量的环量。
斯托克斯公式是高斯定理的推广形式，可以看作是高斯定理的向量形式。
斯托克斯公式在流体力学中的应用非常广泛，特别是在描述旋涡和流线的关系方面起到了重要作用。
在电磁学中，斯托克斯公式被广泛应用于计算电场和磁场的闭合曲线上的环量，从而可以推导出安培定理和法拉第电磁感应定律。
此外，斯托克斯公式还在工程力学、热力学和机械等领域也有着重要的应用。
总而言之，斯托克斯公式是向量分析中的一项核心定理，可以用于描述封闭曲面上的向量场与边界曲线上的向量场之间的关系。
问题讨论 斯托克斯公式的应用 - 网上联合知识导航站
解: 奶油油滴在牛奶中上升时, 克服重力
G=
4 3
Πr3 Θg
和阻力 f
=
6ΠΓrv
的作用,
最后奶
可被忽略, 这时, 阻力可视为只有前一种 1 半
径为 r 的球形物体, 在粘滞系数为 Γ 的流体
中, 以速度 v 运动时, 所受阻力为:
f = 6ΠΓrv …………………………… (1)
这就是斯托克斯公式 1
2 斯托克斯公式的应用实例
例 1, 有一半径为 r, 密度为 Θ的小球, 在
密度为 Θ’(Θ’< Θ)、粘滞系数为 Γ 的静止流
体中下落, 若所受阻力遵从斯托克斯公式, 试
求小球的最大速度 1
解: 最初小球在重力
G=
4 3
Πr3Θg
和浮力
F=
4 3
Πr3Θ’g
的作用下加速
下落, 速度逐渐增加, 阻
力按式 (1) 逐渐增大, 直
油油滴所受的浮力 F =
4 3
Πr3Θ’g
与 G、f
三者
平衡 (图 b) , 奶油匀速上升, 由平衡条件, 得:
F= G+ f
即
4 3
Πr3Θ’g =
4 3
Πr3 Θg
+
6ΠΓrv
故 v =
2= 9
(Θ’Γ
Θ) g r2
代入数据得: v = 1186×10- 7m s
利用 (2) 式, 若 r 为已知, 可测流体的粘
第 6 卷 第 4 期
中 专 物 理 教 学
V o l16 N o 14
1998 年 12 月 PH YS ICS T EA CH IN G IN TH E SECONDA R Y SPEC IAL IZED SCHOOL
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
stokes公式
stokes公式Stokes公式是数学中的一个重要定理，描述了曲线或曲面上的矢量场的环量与流量之间的关系。
该公式由爱尔兰数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）在19世纪中叶提出，并被广泛应用于天文学、电磁学、流体力学等领域。
Stokes公式用于求解曲线或曲面上的矢量场的环量，即该矢量场沿曲线或曲面的积分。
一般来说，环量和流量可以通过不同的方法进行计算，但Stokes公式提供了一个统一的方法，将环量转化为曲面上的流量。
首先，我们来看一个简单的例子来理解Stokes公式。
假设我们有一个平面曲线C，以逆时针方向围成一个封闭的区域D。
在这个曲线上存在一个矢量场v(x, y) = (P, Q)，如果v(x, y)是一个可微分函数，那么Stokes公式可以表示如下：∮C v·ds = ∬D (curl v)·dS其中，∮C v·ds表示矢量场v沿曲线C的环量，也可以理解为矢量场v在曲线C上的积分；∬D (curl v)·dS表示矢量场v的旋度curl v在D区域上的流量，也可以理解为矢量场v的旋度在曲面D上的积分；ds和dS分别表示曲线上和曲面上的微小线元。
Stokes公式的核心在于旋度的引入。
旋度描述了矢量场在其中一点的旋转程度或转动方向。
在二维空间中，任何矢量场v(x, y)都可以表示为两个分量P和Q的线性组合，即v(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j，其中i和j分别是x和y轴的单位矢量。
旋度的定义为：curl v = (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k其中k是垂直于二维平面的单位矢量。
旋度是一个矢量，它表示了平面矢量场的局部旋转性质。
Stokes公式可以看作是格林公式在曲面上的推广。
格林公式描述了平面上一个标量函数的环量与流量之间的关系，而Stokes公式描述了二维平面上的矢量场的环量与流量之间的关系。
Stokes公式的证明可以分为两个步骤。
斯托克斯公式及其应用
第七节 斯托克斯公式及其 应用
一、斯托克斯公式 二、典型例题 三、场
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一、斯托克斯公式 (stokes)
1.定向曲面边界曲线的方向 设是具有边界曲线的定向曲面, 规定其边界曲线 的正向为: 这个方向与定向曲面的法向量符合右手法则,即 当右手除拇指外的四指依边界的绕行方向时,竖起 的拇指的指向与上法向量的指向相同. 按照这种方式规定了方向的边界曲线称为定向 曲面的正向边界曲线.
所以
P z
dzdx
P dxdy y
P z
fy
P cosdS
y
P z
fy
P dxdy. y
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因为
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy,
z
所以
P z
fy
P dxdy y
P[x, y, z( x, y)]dxdy Dxy y
O x
n
Dxy
y
C
P[ x, y, f ( x, y)]dx (依据格林公式)
其中是用平面x y z 3 截立方体[0,1][0,1][0,1] 2
的 表 面 所 得 的 截 痕, 若 从z轴 正 向 看 去, 取 逆 时 针 方 向.
z n
O
y
x
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解 : x y z 3的 2
上侧被所围的部分.
n (1,1,1),en
(
1, 3
1, 3
1 ), 3
类似地
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯定理:斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。
斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。
斯托克斯粘滞公式:斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种．公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1中文名称：斯托克斯粘滞公式英文名称：Stokes viscocity formula定义及摘要：斯托克斯粘滞公式斯托克斯公式（数学公式）:斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。
Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中的应用摘要格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。
本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。
关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用一、引言格林（Green ）公式，斯托克斯（Stokes ）公和高斯（Gauss ）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
它们有很强的物理意义即建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，因此它们有许多重要的应用，在数学上它们主要用来简化某些多元函数积分的运算，而在其他各个专业领域它们也有很多重要的应用。
接下来将一一介绍它们在不同专业中的应用。
二、格林（Green ）公式的应用（一）格林公式的定义Green 公式反映了第二型平面线积分与二重积分的联系。
1、单连通区域的概念 设D 为平面区域，如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ，则D 称为平面单连通区域；否则称为复连通区域.通俗地讲，单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域.2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线，规定L 的正向为：当观察者沿的这个方向行走时，平面区域(也就是上面的D)内位于他附近的那一部分总在他的左边.简言之：区域的边界曲线的正向应符合条件：人沿曲线走，区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。
圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围是
圆球的斯托克斯阻力公式是描述圆球在流体中受到的阻力的公式，它可用于计算小尺寸球体在低雷诺数流体中的阻力。
本文将从多个角度探讨圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围，以便更好地理解和应用这一公式。
一、斯托克斯阻力公式的基本原理斯托克斯阻力是指当圆球在流体中做匀速直线运动时所受到的阻力。
根据斯托克斯定律，圆球所受阻力与其半径、流体粘度和速度有关。
斯托克斯阻力公式可以用数学形式表示为：\[F = 6\pi \eta rv\]其中，F为圆球所受阻力，η为流体的粘度，r为球的半径，v为球的速度。
根据该公式可以看出，当球的半径较小，速度较慢，流体粘度较大时，斯托克斯阻力对球的影响较大。
二、适用范围斯托克斯阻力公式适用于小尺寸的圆球在低雷诺数流体中的阻力计算。
具体而言，斯托克斯阻力公式适用于以下情况：1. 小尺寸圆球：当圆球的半径很小，通常小于0.1mm时，斯托克斯阻力公式适用。
因为在这种情况下，球的速度较慢，流体粘度对阻力的影响较大，可以忽略惯性力。
2. 低雷诺数流体：斯托克斯阻力公式适用于雷诺数很小的流体中，通常小于1。
在低雷诺数下，惯性力相对较小，流体作用于球体的粘滞力起主导作用，因此斯托克斯阻力公式适用。
三、适用范围的限制然而，斯托克斯阻力公式也存在一定的适用范围限制。
在以下情况下，斯托克斯阻力公式可能不适用：1. 大尺寸圆球：当圆球的半径较大时，斯托克斯阻力公式不再适用。
因为此时球的速度可能较快，惯性力不可忽略，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力的影响。
2. 高雷诺数流体：斯托克斯阻力公式不适用于雷诺数较大的流体中。
在高雷诺数下，惯性力将影响流体的运动状态，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力对阻力的影响。
3. 非牛顿流体：斯托克斯阻力公式不适用于非牛顿流体。
在非牛顿流体中，流体粘度随剪切速率的变化，斯托克斯阻力公式中假设流体粘度为常数的条件不成立。
四、如何判断是否适用斯托克斯阻力公式在实际应用中，若需要判断斯托克斯阻力公式是否适用，可以按照以下步骤进行：1. 计算雷诺数：首先计算流体中的圆球的雷诺数，若雷诺数小于1，则可初步判断斯托克斯阻力公式可能适用。
格林公式与斯托克斯公式
格林公式与斯托克斯公式格林公式与斯托克斯公式是数学中的两个重要定理，它们在微积分和向量分析中发挥着重要的作用。
本文将对这两个公式的定义、应用和相关理论进行探讨，以便更好地理解它们的意义和实际应用。
一、格林公式（Green's theorem）格林公式是关于曲线积分和面积分之间关系的一个定理。
它的具体表述可以用下面的公式表示：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qx - Py) dxdy其中，C表示一条简单闭曲线，P和Q是连续函数，具有一阶连续偏导数。
D表示C所围成的有界区域，且D满足一定的条件。
格林公式可以理解为曲线积分和面积分之间的转化关系。
它的应用非常广泛，例如在电磁学的电场和磁场分析中，可以通过格林公式将曲线积分转化为面积分，从而简化计算。
二、斯托克斯公式（Stokes' theorem）斯托克斯公式是关于曲面积分和体积分之间关系的定理。
它可以用下面的公式表示：∮S (F·ds) = ∬\(\mathop{rot} F \cdot n dS\)其中，S表示一个有限曲面，F是一个向量值函数，rot F表示F的旋度，n表示曲面S的单位法向量，ds表示曲面元素的微小面积。
斯托克斯公式是格林公式的推广，它将曲面积分和体积分联系起来。
斯托克斯公式在流体力学、电磁学等领域具有广泛的应用。
例如，在电磁学中，它可以用来计算磁场在闭合回路上的环流。
三、应用实例以下是格林公式和斯托克斯公式在实际问题中的应用实例。
1. 格林公式的应用：假设有一个平面区域D，它的边界是一个简单闭曲线C。
现在我们要计算曲线C所围成的区域D的面积。
根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积分，从而简化计算。
2. 斯托克斯公式的应用：假设有一个闭合曲面S，它的边界是一个简单闭曲线C。
现在我们要计算矢量场F沿着曲线C的环流。
根据斯托克斯公式，我们可以将曲面积分转化为体积分，从而简化计算。
这些实例只是格林公式和斯托克斯公式应用的冰山一角。
广义斯托克斯公式
广义斯托克斯公式
广义斯托克斯公式是向量分析中的一条重要公式，在曲线积分和曲面积分的计算中有广泛应用。
该公式告诉我们，对于任意可微的向量场和合适的曲线或曲面，我们可以用曲线积分或曲面积分的值来求出该场在曲线或曲面内部的流量或环量。
这个公式的推导基于格林公式和高斯散度定理，它将一个曲线积分或曲面积分与该场在曲线或曲面内部的流量或环量联系起来，从而使得我们可以更方便地计算这些物理量。
广义斯托克斯公式在电磁学、流体力学、天体物理学等领域中都有重要应用。
- 1 -。
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用
Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中的应用摘要格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。
本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。
关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用目录一、引言 (1)二、格林（Green）公式的应用 (1)（一）格林公式的定义 (1)1、单连通区域的概念 (1)2、区域的边界曲线的正向规定 (1)3、陈述 (1)(二)格林公式的物理原型 (1)1、物理原型 (2)2、计算方法 (2)（三）格林公式与GPS面积测量仪 (3)1.应用曲线积分计算平面区域面积 (3)2.GPS面积测量仪的数学原理 (4)3.实验结果 (5)4.进一步讨论 (5)（四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 61.扰动重力位的地面边值问题 (6)2.地面边值问题的格林公式表示 (6)三、Stokes公式的应用 (8)（一）Stokes公式简介 (8)（二）环量与环量密度 (9)（三）环量的应用 (9)1.开尔文定理 (9)2.开尔文定理的推论 (10)3.升力 (10)（四）旋度 (11)（五）旋度的应用 (12)1. 平面矢量场的旋度 (12)2.环流量是区域S 内有无漩涡的量度 (12)3.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 (13)4.空间矢量场的旋度 (13)四、Gauss公式的应用 (16)1、数学中的高斯公式 (16)2、保守场的推导 (17)3、高斯公式在电场中的运用 (17)4、高斯定理在万有引力场中的应用 (19)5.高斯公式推证阿基米德浮力定律 (21)6.高斯公式推证静电场中的高斯定理 (22)7.高斯公式与散度 (24)五、结语 (25)六、参考文献 (26)一、引言格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
斯托克斯公式应用的五点注记
斯托克斯公式应用的五点注记斯托克斯公式是电磁学中非常重要的一个定理，它描述了磁场和电场之间的关系，同时也是计算电磁场的基本工具之一。
在工程学和物理学领域，斯托克斯公式的应用非常广泛，本文将从五个方面来详细介绍斯托克斯公式的应用。
一、斯托克斯公式的基本概念斯托克斯公式又称为斯托克斯定理，它是高斯定理和安培定理的推广。
斯托克斯公式描述了一个封闭曲面上的环量与该曲面所围成的区域内的流量之间的关系，这个定理在电磁学中有着广泛的应用。
斯托克斯公式的数学表达式为：$$oint_{partial S} vec{A} cdot dvec{l} = iint_S (abla times vec{A}) cdot dvec{S}$$其中，$vec{A}$表示一个向量场，$partial S$表示一个封闭曲面的边界，$dvec{l}$表示曲线元素，$S$表示曲面，$dvec{S}$表示曲面元素，$abla times vec{A}$表示向量场$vec{A}$的旋度。
二、斯托克斯公式的应用1. 计算磁通量斯托克斯公式可以用来计算磁通量。
对于一个磁场，我们可以通过斯托克斯公式计算其磁通量。
具体来说，我们可以选取一个封闭曲面，然后计算该曲面上的环量，再通过斯托克斯公式将该环量转化为该曲面内的磁通量。
2. 计算电场强度斯托克斯公式还可以用来计算电场强度。
对于一个电场，我们可以选取一个封闭曲面，然后计算该曲面上的环量，再通过斯托克斯公式将该环量转化为该曲面内的电场强度。
3. 计算电磁感应斯托克斯公式可以用来计算电磁感应。
对于一个变化的磁场，我们可以通过斯托克斯公式计算其感应电场。
具体来说，我们可以选取一个封闭曲面，然后计算该曲面上的环量，再通过斯托克斯公式将该环量转化为该曲面内的感应电场。
4. 计算电流密度斯托克斯公式还可以用来计算电流密度。
对于一个电流密度，我们可以选取一个封闭曲面，然后计算该曲面上的环量，再通过斯托克斯公式将该环量转化为该曲面内的电流密度。
斯托克斯公式的使用条件
条件：当表面是平面xoy上的封闭面时斯托克斯公式建立了沿表面s的表面积分与沿S的边界曲线l的曲线积分之间的关系表面s的一侧及其边界曲线L的方向指定如下：让一个人站在表面s的指定侧并沿着边界曲线L行走，并且指定的一侧始终在表面s的左侧则人的前进方向就是边界曲线L的正方向。
此方法也称为右手法则。
扩展数据Navier Stokes方程在建模和仿真中的应用Navier Stokes方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件下（例如入口，出口和壁）求解这些方程，可以预测给定几何形状中的流体速度和压力。
由于这些方程的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间或圆形管中的流动，求解方程比较容易，但是对于更复杂的几何形状则很难求解。
斯托克斯定理是关于微分几何中微分积分的命题。
它概括了向量微积分的几个定理，并以斯托克斯爵士命名。
当封闭周长中存在涡流束时，沿封闭周长的速度环流等于封闭周长中所有涡流束的涡流之和，这称为斯托克斯定理。
斯托克斯定理表明，沿闭合曲线L的速度环流等于通过该曲线所界定的任何曲面的涡流。
物理场的观点是建立某个区域中的场与该区域边界上的场量之间的关系。
ℝ的斯托克斯公式令s为分段光滑的有向曲面，并且s的边界为有向闭合曲线，即，Γ的正方向和s的侧面符合右手定则：函数P（x，y，z），q（x，y，z），R（x，y，z）定义在“表面s 及其边界上，并且具有一阶连续偏导数[2]斯托克斯公式斯托克斯公式该公式在或Kelvin Stokes定理或curl定理上被称为Stokes公式。
这与函数的卷曲有关，发散运算符可以将其写为[3]，它在“矢量场的弯曲的表面积分”和“在表面边界上的矢量场的线积分”之间建立连接。
这是一般Stokes公式的特例（在N和X00的情况下为2），我们仅需要在ℝ3空间中进行测量即可将矢量场视为等价的1形式。
定理的第一个已知书面形式是威廉·汤姆森（开尔文勋爵）在给斯托克斯的信中给出的。
strokes定律
strokes定律斯托克斯定律（Stokes' Law）是描述在液体中沉降的小颗粒的速度的物理定律。
它由英国物理学家乔治·斯托克斯在19世纪中叶提出并得到广泛应用。
斯托克斯定律的应用范围广泛，涉及颗粒物理学、流体力学、环境科学等多个领域。
斯托克斯定律的核心内容是颗粒沉降速度与颗粒的大小、密度和流体的黏度有关。
根据斯托克斯定律，当颗粒的直径很小、流体黏度较大时，颗粒在流体中的沉降速度与颗粒的直径成正比。
具体而言，斯托克斯定律可以用以下公式表示：V = (2/9) * (g * (ρp - ρf) * r^2) / η其中，V表示颗粒的沉降速度，g表示重力加速度，ρp和ρf分别表示颗粒的密度和流体的密度，r表示颗粒的半径，η表示流体的黏度。
斯托克斯定律的应用非常广泛。
在颗粒物理学中，它可以用来估计颗粒的大小和密度。
在生物学中，斯托克斯定律可以用来研究细胞的沉降速度，从而推断细胞的大小和形状。
在环境科学中，斯托克斯定律可以用来研究颗粒物质在水体中的沉降速度，从而评估水体的污染程度。
斯托克斯定律的实际应用需要满足一定的条件。
首先，颗粒的直径必须远小于流体的特征长度，以确保颗粒沉降过程中不会发生湍流。
其次，颗粒的密度不能过大，以避免沉降速度过快，导致斯托克斯定律不再适用。
最后，流体的黏度必须足够大，以确保颗粒沉降速度可以通过斯托克斯定律进行准确估计。
斯托克斯定律的实验方法一般是通过测量颗粒在某种流体中的沉降时间来确定颗粒的沉降速度。
实验中通常会借助显微镜或摄像机来记录颗粒的运动轨迹，然后根据斯托克斯定律的公式计算出颗粒的沉降速度。
斯托克斯定律的研究和应用不仅在科学研究中起着重要作用，也有很多实际应用的价值。
例如，在工业领域中，斯托克斯定律可以用来设计颗粒分离设备，如离心机、过滤器等。
在医学领域中，斯托克斯定律可以用来研究血细胞的沉降速度，从而辅助诊断某些疾病。
斯托克斯定律是描述在液体中沉降的小颗粒的速度的重要物理定律。
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第6卷 第4期中 专 物 理 教 学V ol.6N o.4 1998年12月PHYSICS T EACHIN G IN T HE SECO N DA RY SPECIA L IZED SCHO O L Dec.1998问题讨论
斯托克斯公式的应用
玉 花
(内蒙古锡林浩特牧业学校 026000)
斯托克斯公式具有广泛的用途.本文就
两个具体实例来加以讨论:
1 斯托克斯公式
由于流体的粘滞性,固体在流体中运动会
受到两种阻力,一种是由于层流体附着在固体
表面,层流体和邻层流体间的内摩擦力;另一
种是为压强阻力,压强阻力的实质是尾随运动
着的固体后面的流体中,有涡旋产生.固体相
对于流体的速度小时涡旋还未形成,压强阻力
可被忽略,这时,阻力可视为只有前一种.半
径为r的球形物体,在粘滞系数为Z的流体
中,以速度v运动时,所受阻力为:
f=6πZ rv(1)
……………………………
这就是斯托克斯公式.
2 斯托克斯公式的应用实例
例1,有一半径为r,密度为d的小球,在
密度为d’(d’<d)、粘滞系数为Z的静止流
体中下落,若所受阻力遵从斯托克斯公式,试
求小球的最大速度.
解:最初小球在重力
G=4
3πr
3d g和浮力F=
4
3
πr3d’g的作用下加速
下落,速度逐渐增加,阻
力按式(1)逐渐增大,直
到三力平衡(图a)时速度达到最大,小球匀速下落.由平衡条件,得:
F+f=G
即 4
3πr 3d’g+6πZ rv0=4
3πr
3d g
故 v0=
2
9
(d-d’)
Z gr
2(2)
………………
例2,求牛奶加热使奶油分离时,奶油油
滴匀速上升的速度,已知奶油油滴直径d=
2μm,牛奶的粘滞系数Z= 1.1×10-3Pa·s,奶
油的密度为d=0.94×103kg/m3,牛奶的密度
为d’= 1.034×103kg/m3.
解:奶油油滴在牛奶中上升时,克服重力
G=
4
3
πr3d g和阻力f=6πZ rv的作用,最后奶
油油滴所受的浮力F=
4
3πr
3d’g与G、f三者
平衡(图b),奶油匀速上升,由平衡条件,得:
F=G+f
即
4
3πr
3d’g=4
3πr
3d g+6πZ rv
故 v=
2=
9
(d’-d)
Z gr
2
代入数据得:v= 1.86×10-7m/s
利用(2)式,若r为已知,可测流体的粘
滞系数Z,若Z、v、d、d’为已知,可求小球
的半径或质量,用油滴法第一次测电子电量,
就是用这个方法测油滴质量的.
收稿日期:1998-08-19
谈谈“放大镜”的教学
苏振和
(江苏南京市江宁县职教中心 211100)
放大镜角放大率定义为:
M=
T
T0
d
f
(如图1)
·
19
·。