2019-2020学年汕头市名校数学高二第二学期期末调研试题含解析

2019-2020学年汕头市名校数学高二第二学期期末调研试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线
22
22
1
y x
a b
-=的渐近线方程为2
y x
=±，则其离心率为（）
A．3
2
B．
6
C．3D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据渐近线得到2
a b
=，得到离心率. 【详解】
双曲线
22
22
1
y x
a b
-=的渐近线方程为2
y x
=±，则2
a b
=，3
=
c b，
6
2
c
e
a
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.
2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()
A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3
C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项.
【详解】
由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.
故选:A.
【点睛】
本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题.
3．过点()1,0且与直线20x y -=垂直的直线方程是（ ）
A ．210x y --=
B ．220x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y +-= 【答案】B
【解析】
【分析】
先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.
【详解】
由题得直线的斜率为2,-
所以直线的方程为02(1)y x -=--，
即：220x y +-=
故选B
【点睛】
本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．如图是函数()y f x =的导函数'()f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A ．在(3,1)-上()f x 是增函数
B ．在(1,3)上()f x 是减函数
C ．在(1,2)上()f x 是增函数
D ．在4x =时，()f x 取极大值
【答案】C
【解析】
分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.
详解：根据导函数图象可知，
在()3,1-上()f x 先减后增，A 错；
在()1,3上()f x 先增后减，B 错；
在()1,2上()()‘0,f x f x >是增函数，C 对；
在4x =时，()f x 取极小值，D 错，故选C.
点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.
5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 、B 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为22.M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ．6
C ．63+
D ．62-
【答案】C
【解析】
【分析】
根据M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，故OM 平行于1AF ,ON 平行于2AF ，再由向量点积为0得到四边形12AF BF 是矩形，通过几何关系得到点A 的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.
【详解】
因为M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，故OM 平行于1AF ,ON 平行于2AF ，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM 垂直于ON ，故得到2AF 垂直于2BF ，由AB 两点关于原点对称得到，四边形12AF BF 对角线互相平分，所以四边形12AF BF 是矩形，设角2AOF θ=,根据条件得到
tan θ=
1sin ,cos ,33
θθ==
,3c OA c A ⎛=∴ ⎝⎭
将点A 代入双曲线方程得到：22
42244222222819180189099c c a a c c e e a b a b c ⎧-=⎪⇒-+=⇒-+=⎨⎪+=⎩
()1e >
解得29e e =±=
故答案为C.
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a
=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).
6．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)⋃+∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
构造新函数()()f x g x x
=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f x g x x
=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x
=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃.
故选A .
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造
()()f x g x x
=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e
=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e
=，等便于给出导数时联想构造函数. 7．复数满足
(为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算法则，可求出，从而可求出在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案.
【详解】
由题意，，则复数在复平面内所对应的点为，在第四象限.
【点睛】
本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.
8．已知命题p ：∃ m ∈R ，使得()f x = ()21m - 221m m x -+是幂函 数，且在()0+∞，
上单调递增．命题q ：“∃ x ∈R ，21x x -<”的否定是“∀ x ∈R ，21x x ->”，则下列命题为真命题的是 （ ） A ．()p q ⌝∨
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复合命题的真值表进行判断即可，注意p 中的幂函数的系数为1，而q 中的小于的否定是大于或等于．
【详解】
命题:p 令211m -=，解得1m =，则()2f x x =为幂函数，且在()0,∞+上单调递增，因此p 是真命题， 命题:q “x R ∃∈，21x x -< ”的否定是“x R ∀∈，21x x -≥”，因此q 是假命题，
四个选项中的命题为真命题的是()p q ∧⌝，其余的为假命题，故选C ．
【点睛】
（1）幂函数的一般形式是a y x =，而指数函数的一般形式是()0,1x y a a a =>≠；
（2）我们要熟悉常见词语的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”等．
9．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40
B ．-20
C ．20
D ．40 【答案】D
【解析】
令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x
+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，
选3个提出
1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x
，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 10．已知函数32()312()f x x mx nx m N *=-++∈在1x =-处取得极值，对任意,()270x R f x +'∈>恒成立，则1240344035(
)()...()()2018201820182018f f f f ++++= A ．4032
B ．4034
C ．4035
D ．4036 【答案】C
【解析】
分析：根据函数()()32*312f x x mx nx m N =-++∈在1x =-处取得极值解得360m n ++=，由于*m N ∈，对任意(),270x R f x +'∈>恒成立，则0<，确定m n 、的值。

再由三次函数的二阶导数的几何意义，确定()f x 的对称中心，最后求解。

详解：已知函数()()32*312f x x mx nx m N =-++∈在1x =-处取得极值，故()'?
10f -=，解得360m n ++=。

对任意(),270x R f x +'∈>恒成立，则2366240x mx m --+>，对任意x R ∈恒成立，则()
*04m 21m N m <⇒-<<∈⇒=，所以9n =-.所以函数表达式为()323912f x x x x =--+，()'?2369f x x x =--，()’’66f x x =-，令()’’0f x =，解得1x =，由此()11f =，由三次函数的性质，
11（，）
为三次函数的拐点，即为三次函数的对称中心,，所以()()12f x f x +-=，
1240344035...40352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.故选C 。

点睛：在某点处的极值等价于在某点处的一阶导函数的根，二阶导函数的零点的几何意义为函数的拐点，三次函数的拐点的几何意义为三次函数的对称中心。

二阶导函数的零点为拐点，但不是所有的拐点都为对称中心。

11．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg
【答案】D
【解析】
根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确；
回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；
该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；
该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误．
故选D ．
12．给出以下四个说法：
①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；
③在回归直线方程0.212ˆy x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；
④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．
其中正确的说法是(
) A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数2R 判断②是否正确，根据回归直线的知识判断③是否正确，根据22⨯联表独立性检验的知识判断④是否正确.
【详解】
残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误.相关指数越大，拟合效果越好，故②正确.回归直线方程
斜率为0.2故解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy
平均增加0.2个单位，即③正确.2K 越大，有把握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选D.
【点睛】
本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()32x x f x e e x x -=-+-，若()()2320f m f m --≤，则m 的取值范围是___________.
【答案】(]
[),31,-∞-+∞
【解析】
【分析】 求导得到()261x x f x e e x -'=++-，利用均值不等式判断()0f x '>，得到函数单调递增，故
232m m -≤，解得答案.
【详解】
()2226161610x x f x e e x x x -'=++-≥-+=+>，
∴函数()f x 在R 上单调递增，又()()2320f m f m --≤，
()()232f m f m ∴-≤，可得232m m -≤，解得m 1≥或3m ≤-.
故答案为：(]
[),31,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性解不等式，均值不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 14．已知(i)i 1i a +=--，其中a 为实数，i 为虚数单位，则=a ___________.
【答案】1-
【解析】
【分析】
将左边的复数利用乘法法则表示为一般形式，然后利用复数相等，得出虚部相等，求出a 的值．
【详解】 ()11a i i ai i +=-+=--，所以1a =-，故答案为1-．
【点睛】
本题考查复数相等条件的应用，在处理复数相等时，将其转化为“实部与实部相等，虚部与虚部相等”这一条件，考查对复数概念的理解，属于基础题．
15．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ⋅>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
对函数进行求导，然后分类讨论函数的单调性，由题意可以求出a 的取值范围，然后对四个判断逐一辨别真假即可.
【详解】
'()()x x f x e ax f x e a =-⇒=-，(0)1f =.
当0a ≤时，'()0f x >，函数是单调递增函数，而(0)1f =，所以函数只有一个零点，不符合题意；
当0a >时，当ln x a >时，'()0f x >，函数单调递增，当ln x a <时，'
()0f x <，函数递减，故函数的最小值为(ln )ln (1ln )f a a a a a a =-=-，要想函数有两个零点，则必有 (ln )ln (1ln )0f a a a a a a a e =-=-<⇒>，故判断①不对；
对于②：122121212120,0ln()2ln ln()x x e ax e ax x x a x x a x x -=-=∴+=⋅⋅=+⋅， 取2
2
e a =，(2)0
f =，所以122x x +>，故判断②不对； 对于④：
构造函数111()()(2ln )F x f x f a x =--，
11112ln 2ln '1()220a x a x x x e F x e a e
a e a a e -=-+-=+->=，所以函数1()F x 是0(0,)x 上单调递增，
故1011()()0()(2ln )0F x F x f x f a x <=⇒--<⇒11()(2ln )f x f a x <-，
而12()()f x f x =，所以21122ln 2ln x a x x x a <-⇒+<，故本判断是正确的；
对于③：因为12122ln ln()x x a x x +=+⋅，而122ln x x a +<，所以有121x x ⋅<，故本判断是错误的，故正确的判断的个数为1.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的零点、极值点，考查了推理论证能力.
16．若直线l 经过点()11A -，，且一个法向量为()3,3n =，则直线l 的方程是________.
【答案】0x y +=
【解析】
【分析】
根据法向量得直线斜率，再根据点斜式得直线方程
【详解】
因为直线一个法向量为()3,3n =，所以直线l 的斜率为1-，
因此直线l 的方程是1(1),0y x x y -=-++=
故答案为：0x y +=
【点睛】
本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下22⨯列联表.
（1）将22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.
【答案】 (1)答案见解析；(2)
35
. 【解析】 分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出2K 的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。

详解：（1）补充列联表如下：
由列联表知()2
21003040102050
10.82850504060
3
K ⨯⨯-⨯=
=
>⨯⨯⨯ 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关. （2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有206260⨯=人，女性有406460
⨯=人.
记男性观众分别为12,a a ，女性观众分别为1234,,,b b b b ，随机抽取2人，基本事件有1
2
PF MF PH
PH
=
=
共15种
记至少有一位男性观众为事件A ，则事件A 包含
()()()()()()()()()111221223132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a b a b a a a 共9个基本事件
由古典概型，知()93155
P A =
= 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题。

解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表； （2）计算2K 的值；
（3）查值比较2K 的值与临界值的大小关系，作出判断。

18．如图（1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r 分米的半圆和矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元.
（1）写出y 关于r 的函数解析式；
（2）当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？
【答案】（1）212(1614)y r r r π=++≤≤；
（2）当r =分米时，该首饰盒制作费用最低. 【解析】
分析：该几何体下面是一个长方体，上面是半个圆柱，由体积求得a ，然后分别求出上半部分和下半部分的面积，从而可得y 关于r 的解析式，注意要由2r a r ≤≤可求得r 的取值范围． （2）利用导数可求得()y f r =的最小值．
详解：（1）由题知2
32
1
442282
r r ar r ar ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，
∴33
22
42284r r a r r
ππ--==.
又因2r a r ≤≤r ≤ ∴()()2
2
248844y ar ar r
r r r ππ=+++⨯+
22241620ar r r π=++
3
222
22420164r r r r r ππ-=⨯++
()2121614r r r π=++≤≤. （2）令()()212
1614f r r r
π=++， ∴()()2
12
'3228f r r r π=-
++，
令()'0f r =则r =
∵
()()
328110878878π
ππππ--=<++++，
r ≤≤()'0f r >，函数()f r 为增函数.
∴r =
时，()f r 最小.
答：当r =
. 点睛：本题考查导数的实际应用．解题关键是求出费用y 关于r 的函数解析式，解题中要注意求出r 的取
值范围．然后就可由导数的知识求得最小值． 19．某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：
将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：
根据该校以为的经验，数学成绩x 与英语成绩y 线性相关.已知这20名学生的数学平均成绩为88.65，英语平均成绩91，考试结束后学校经过调查发现学号为7的A 同学与学号为8的B 同学（分别对应散点图中的,A B ）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.
()1取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；
()2取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数） 附：20位同学的两科成绩的参考数据：
20
20
21
1
161850,158545i i
i i i x y
x ====∑∑
参考公式：1
2
2
1
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
nx
==-⋅=
=--∑∑
【答案】()190分；()277分. 【解析】 【分析】
()1计算出剩下18名学生的数学、英语成绩之和，于是求得平均分；
()2可先计算出18
21i i x =∑，再利用公式可计算出线性回归方程，代入学号为8的同学成绩72x =，即得答案.
【详解】
()1由题20名学生的数学成绩之和为88.65201773⨯=，英语成绩之和为91201820⨯=
取消两位作弊同学的两科成绩后，其余18名学生的数学成绩之和为177381721620--= 其余18名学生的英语成绩之和为18201001001620--=
∴其余18名学生的数学平均分x ，英语平均分y 都为
1620
9018
=； ()2不妨设取消的两名同学的两科成绩分别为()()19192020,,,x y x y
18
1i =∑
20
2
2221817215854565615184146800i i i x x ==--=--=∑
18
20
1
1
81007200146550i
i
i i
i i x y x y ===--=∑∑
18
118
2
2
1
18146550189090750
0.751468001890901000
18i i
i i
i x y x y
b x
x
==-⋅-⨯⨯∴=
=
==-⨯⨯-∑∑
900.759022.5a y bx =-=-⨯=
∴数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归方程0.7522.5y x =+
代入学号为8的同学成绩72x =，得0.757222.576.577y =⨯+=≈
∴本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为77分.
【点睛】
本题主要考查平均数及方差，线性回归方程的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及运算技巧，难度中等.
20．已知函数()2
ln f x x ax =-（a ∈R ）．
（1）讨论y ＝f （x ）的单调性；
（2）若函数f （x ）有两个不同零点x 1，x 2，求实数a 的范围并证明12x x e >． 【答案】（1）见解析；（2）10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，证明见解析
【解析】 【分析】
（1）先求得函数的单调区间，然后求函数的导数，对a 分成0,0a a ≤>两种情况，分类讨论函数的单调区间.（2）令()0f x =
，分离常数a ，构造函数()2
ln x
g x x =
，利用导数求得()g x 的单调区间和最大值，结合图像求得a 的取值范围.构造函数()()e F x g x g x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（x >，利用导数证得()0F x >在
(
)
,e +∞成立，从而证得()e g x g x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
在
(
)
,e +∞上成立.根据()g x 的单调性证得12x x e >.
【详解】
函数的定义域为()0,x ∈+∞
()2121
2ax f x ax x x
-=
'+=- 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上为增函数； 当0a >时，()0f x '=，12x a =
，()102f x a ⎛⎫ '⎪ ⎪⎝
⎭在，有()0f x '>， 在()12f x a ⎛⎫
+∞ ⎪ ⎝'⎪⎭
在，有()0f x '<， 即()()11022f x f x a a ⎛⎫
⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在，上为增函数，在，上为减函数， 综上：当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数；
当0a >时，()()11022f x f x a a ⎛⎫
⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在，上为增函数，在，上为减函数.
（2）()2
ln f x x ax =-有两个不同的零点，即2ln 0x ax -=有两个不同的根，
即2ln x
a x
=
有两个不同的根， 即()2ln x
y a g x x
==与 有两个不同的交点；
()3
12ln x
g x x -'=，()()()
0,g x e e +∞在，为增函数，为减函数， ()
1
2g e e
=，当1x >时，()0g x >
()g x 图像如图所示：
故10,
2a e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
.
由上设120x x <<< 令()()e F x g x g x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（x > ()()()
()422322ln 1x e x e e F x g x g x x x e --⎛⎫=+= ⎪⎝'''⎭
当x >
()0F x '>，故()()e F x g x g x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
在)
+∞上为增函数，
0F
=，从而有(
))
0F x >+∞在成立，
即()e g x g x ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，而)
2x ∈+∞
则()22e g x g x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，又因为()()12g x g x >
所以()()122e g x g x g x ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
，
又(12
,
e
x x ∈，(
)(0g x 在上为增函数， 故12
e
x x >
，即证12x x e >. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数研究零点问题，考查利用导数证明不等式，综合性很强，属于难题.
21．已知双曲线2
213
x y -=的右焦点是抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线y kx m =+与该抛物线相交
于A 、B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，求AOB ∆(O 为坐标原点)的面积.
【答案】【解析】
分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为
2k =，
联立直线方程，可得y 的二次方程，解得12y y ，，利用割补法表示AOB ∆的面积为121
12
y y ⨯⨯-，带入即可得到结果.
详解：∵ 双曲线2
213
x y -=的左焦点的坐标为()2,0
∴22y px =的焦点坐标为()2,0，∴22
p
=，4p = 因此抛物线的方程为28y x =
设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x ≠，则2118y x =，2
228y x =
∴121212
8
y y k x x y y -=
=-+
∵()2,2M 为AB 的中点，所以124y y +=，故2k = ∴直线AB 的方程为2y x m =+ ∵ 直线过点()2,2M ， ∴2m =-，
故直线AB 的方程为22y x =-，其与x 轴的交点为()1,0C
由2228y x y x
=-⎧⎨=⎩得：2480y y --=，223y =±， ∴AOB ∆的面积为
121
1232
y y ⨯⨯-=. 点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 22．过点10
(
,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线交于点,M N ，
求PM PN ⋅的最小值及相应的α值.
【答案】最小值为34
，此时α＝2π.
【解析】
设直线为10
cos {()2
sin x t t y t α
α
=
+=为参数，代入曲线并整理得 2
2
3
(1sin )(10cos )02
t t αα+++=则
1223
2
1sin PM PN t t α
⋅==+ 且，解得，所以当时，即
或
时，
PM PN ⋅的最小值为，此时
或．。